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高考知识点函数的奇偶性与周期性

第3节 最新考纲 函数的奇偶性与周期性 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图象理解 和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简 单函数的周期性. 知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= -f(x),那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称 奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个 函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. [常用结论与微点提醒] 1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义,即 f(0)有意义,那么一定有 f(0)=0. (2)如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具 有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a(a>0). (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a(a>0). f(x) (3)若 f(x+a)=- 1 ,则 T=2a(a>0). f(x) 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y=x2 在 x∈(0,+∞)时是偶函数.( (2)若函数 f(x)为奇函数,则一定有 f(0)=0.( ) ) ) ) (3)若 T 是函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( (4)若函数 y=f(x+b)是奇函数, 则函数 y=f(x)的图象关于点(b, 0)中心对称.( 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称, 故 y=x2 在(0, +∞)上不是偶函数, (1)错. (2)由奇函数定义可知,若 f(x)为奇函数,其在 x=0 处有意义时才满足 f(0)=0, (2)错. (3)由周期函数的定义,(3)正确. (4)由于 y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知 y=f(x)的图象 关于(b,0)对称,正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ ) 2.(必修 1P35 例 5 改编)下列函数中为偶函数的是( A.y=x2sin x C.y=|ln x| B.y=x2cos x D.y=2-x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足 f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称, A选 项为奇函数;B 选项为偶函数;C 选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D 选 项既不是奇函数,也不是偶函数. 答案 B 3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 A.-3 1 B.3 1 C.2 1 D.-2 ) 1 1 解析 依题意 b=0,且 2a=-(a-1),∴a=3,则 a+b=3. 答案 B 4. 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 , 当 x∈[ - 1 , 1) 时 , f(x) = 2 ?-4x +2,-1≤x<0, ?3? ? 则 f ?2?=________. ? ? ?x,0≤x<1, ?3? ? 1? 解析 ∵f(x)的周期为 2,∴f ?2?=f ?-2?, ? ? ? ? 又∵当-1≤x<0 时,f(x)=-4x2+2, ?3? ? 1? ? 1?2 ∴f ?2?=f ?-2?=-4×?-2? +2=1. ? ? ? ? ? ? 答案 1 5.(2017· 山东卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[- 3,0]时,f(x)=6-x,则 f(919)=________. 解析 ∵f(x+4)=f(x-2), ∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即 f(x+6)=f(x), ∴f(919)=f(153×6+1)=f(1), 又 f(x)在 R 上是偶函数, ∴f(1)=f(-1)=6-(-1)=6,即 f(919)=6. 答案 6 考点一 函数的奇偶性 【例 1 】 (1)(2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 若函数 f(x) = xln(x + a+x2 ) 为偶函数,则 a = ________. 解析 f(x)为偶函数,则 y=ln(x+ 所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)为奇函数, a+x2)=0, 则 ln(a+x2-x2)=0,∴a=1. 答案 1 (2)判断下列函数的奇偶性: ①f(x)= 3-x2+ x2-3; ②f(x)= lg(1-x2) ; |x-2|-2 2 ?x +x,x<0, ③f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. 2 ?3-x ≥0, 解 ①由? 2 得 x2=3,解得 x=± 3, ?x -3≥0, 即函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}, 从而 f(x)= 3-x2+ x2-3=0. 因此 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x), ∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数. 2 ?1-x >0, ②由? 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称. ?|x-2|≠2, ∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1-x2) . -x lg[1-(-x)2] lg(1-x2) 又∵f(-x)= =- =-f(x), x -x ∴函数 f(x)为奇函数. ③显然函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关

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