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2014届高三数学辅导精讲精练42


2014 届高三数学辅导精讲精练 42
1.设 A=[-2,4),B={x|x2-ax-4≤0},若 B?A,求实数 a 的取值范围. 分析 决. 解析 因 x2-ax-4=0 有两个实根 a2 a 4+ 4 ,x2=2+ a2 4+ 4 , 观察到方程 x2-ax-4=0 有两个实根,故此题不妨用求根公式来解

a x1=2-

故 B?A 等价于 x1≥-2 且 x2<4,即 a 2- a2 a 4+ 4 ≥-2 且2+ a2 4+ 4 <4,

解之得 0≤a<3. 2.已知方程 x2+(3m-1)x+(3m-2)=0 的两个根都属于(-3,3),且其中至 少有一个根小于 1,求 m 的取值范围. 解析 原方程即为(x+1)(x+3m-2)=0,所以方程两根分别为-1,2-3m,

1 5 而-1 在(-3,1)上,则由题意,另一根满足-3<2-3m<3?-3<m<3. 3. 已知方程 4x2+2(m-1)x+(2m+3)=0(m∈R)有两个负根, m 的取值范 求 围.

解析

?Δ=4?m-1? -4×4?2m+3?≥0, 依题意有?-?m-1?<0, ?2m+3>0,

2

∴m≥11. 4.求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x2+2(m-1)x+2m+6=0. (1)有两个实根,且一个比 2 大,一个比 2 小; (2)有两个实根 α,β,且满足 0<α<1<β<4; (3)至少有一个正根. 解析 设 y=f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.

(1)依题意有 f(2)<0,即 4+4(m-1)+2m+6<0,得 m<-1.

?f?0?=2m+6>0, (2)依题意有?f?1?=4m+5<0, ?f?4?=10m+14>0,
7 5 解得-5<m<-4. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能:

?Δ≥0, ?f?0?>0, ①有两个正根,此时可得? ?2?m-1?>0, ? -2 ?m≤-1或m≥5, 即?m>-3, ?m<1,
∴-3<m≤-1.

②有一个正根,一个负根,此时可得 f(0)<0,得 m<-3. ?6+2m=0, ③有一个正根,另一根为 0,此时可得? ?2?m-1?<0, ∴m=-3. 综上所述,得 m≤-1. 5.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 解析 (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间

?f?-1?=2>0, (-1,0)和(1,2)内,则? f?1?=4m+2<0, ?f?2?=6m+5>0
f?0?=2m+1<0, 5 1 ∴实数 m 的范围是(-6,-2).

?m<-2, ?m∈R, ?? 1 m<-2, ? 5 ?m>-6
1

5 1 ?-6<m<-2.

?f?1?>0, (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? Δ≥0, ?0<-m<1
f?0?>0,

?

? ? 1 ?m>-2, ?m≥1+ 2或m≤1- ?-1<m<0
1 m>-2, 1 -2<m≤1- 2.

? 2,

1 ∴实数 m 的范围是(-2,1- 2].

6. 已知二次方程 mx2+(2m-1)x-m+2=0 的两个根都小于 1, m 的取值 求 范围. 解析
2

方法一

二次方程两个根都小于 1,其充要条件为 ① ②

??2m-1? +4m?m-2?≥0, ?m[m+?2m-1?-m+2]>0, ? ?-2m-1<1. ③ ? 2m

①即为 8m2-12m+1≥0,它的解集是(-∞,

3- 7 3+ 7 ]∪[ 4 ,+∞). 4

1 ②即为 m(2m+1)>0,它的解集是(-∞,-2)∪(0,+∞). 1 ③的解集是(-∞,0)∪(4,+∞). 3+ 7 1 所以,m 的取值范围是(-∞,-2)∪[ 4 ,+∞). 方法二 二次方程 mx2+(2m-1)x-m+2=0 有两个根的充要条件是 Δ≥0.

设两根为 x1,x2,由于 x1,x2 都小于 1,即 x1-1<0,x2-1<0,其充要条件 为:

??x1-1?+?x2-1?<0, ? ??x1-1??x2-1?>0, ?x1+x2-2<0, 即? ?x1x2-?x1+x2?+1>0. 因此,方程两个根都小于 1 的充要条件是:

? 2m-1 ?- -2<0, ? m ?-m+2+2m-1+1>0, ? m m
以下同方法一(略).

?2m-1?2+4m?m-2?≥0,

7.如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原 点的右侧,试求 m 的取值范围. 解析 ∵f(0)=1>0,

(1)当 m<0 时,二次函数图像与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符合题 意. ?Δ≥0, ? (2)当 m>0 时,则?3-m ? m >0, ?

解得 0<m≤1.

综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}. 8.已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数 y=f(x)在区间[- 1,1]上有零点,求 a 的取值范围. 解析 函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点, 即方程 f(x)=2ax2+2x-3-a=0

在[-1,1]上有解. a=0 时, 不符合题意, 所以 a≠0, 方程 f(x)=0 在[-1,1]上有解?f(-1)· f(1)≤0

?af?1?≥0, ? 或?Δ=4+8a?3+a?≥0, ?-1∈[-1,1] ? a
af?-1?≥0, 1≤a≤5 或 a≤

?

-3- 7 -3- 7 或 a≥5?a≤ 或 a≥1. 2 2

所以实数 a 的取值范围是 a≤

-3- 7 或 a≥1. 2


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