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高三数学模拟试题(理科)及答案1

高三

数学(理)模拟卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、考场座号填写清楚,并认真核准条形码上的考 场座 位号、姓名及科目。 2.选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题部分必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书 写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书 写的答案无 效;在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠,不 破损。 参考公式:如果事件 A 与 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 与 B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) P( B)

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

1.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 | z1 |?| z2 | ,则实数 a 的值为 A.2 B.-2 C.2 或-2 D.± 2或0 2.设集合 A={(x,y)|2x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=4},满 足 C ? (A B)的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3、某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
A.8 C. 4 ? 4 2 B.2 D. 6 ? 4 2

4、已知双曲线 x2 ? my 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 实数 m 的值是 A. 4 B.
1 4

C. ?

1 4

D.-4

5、已知等差数列{ an }的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 l5,所有偶 数项之和为 25,则这个数列的项数为 A.10 B.20 C.30 D.40 6、 在△ ABC 中,?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为
钝角三角形的概率为

1

1 1 1 B. C. 6 3 2 7、下列说法正确的是 1 A.函数 f ( x ) ? 在其定义域上是减函数 x B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
A.

D.

2 3

开始 k=1,S=0 S=S+2k

C.命题“ ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.给定命题 P、q,若 P ? q 是真命题,则 ? P 是假命题 8、执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为 2 25 2 (4 ? 1) (B) (426 ? 1) (C) 250 ? 1 (D) 251 ? 1 (A) 3 3 9 、 已 知 实 数 a , b 满 足 a 2 ? b2 ? 4a ? 3 ? 0 , 函 数
f ( x ? ) a ? s i n x 1? b c o s x ?( a,b ) ,则 ?( a,b )的最小 的最大值记为

k=k+2 否

k≥50 是 输出 S

值为 A.1 B.2 C. 3 ? 1 D.3

结束 10、已知数列 {an },{bn }满足a1 ? b1 ? 1, an ?1 ? an ? 项的 和为 A.

bn?1 ? 2, n ? N ? , 则数列{ban } 的前 10 bn
1 3
9

4 9 (4 ? 1) 3

B.

4 10 (4 ? 1) 3
2

C. (4 ? 1)

D. (4 ? 1)
10

1 3

11、过点 M (2, ?2 p) 作抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的两条切线,切点分别为 A,B,若线段 AB 中点的纵坐标为 6,则抛物线的方程为 A. x ? 2 y
2

B. x ? 4 y
2 2

C. x ? 2 y或x ? 4 y
2

D. x ? 3 y或x ? 2 y
2 2

12、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足①对任意 x,都有 f ( x ? 3) ? f ( x) 成立;②当

3 3 3 1 x ? [0, ]时, f (x ) ? ? | ? 2x |,则 f (x ) ? 在区间[-4,4]上根的个数是 2 2 2 |x |
A.4 B.5 C.6 D.7

第 II 卷(非选择题
2

共 90 分)

二、填空题(只要求写出最后结果,并把结果写在答卷页的相应位置上,每题 5 分,共 20 分)

13、某社区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收 人家庭 90 户,为了调查购买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容 量为 l00 的样本,则中等收入家庭应抽取的户数是 。
? x ? 1, ? 14、已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x, 那么点 P 到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
离的最小值为
5



a? ? 15 、 在 二 项 式 ? x 2 ? ? 的 展 开 式 中 , x 的 一 次 项 系 数 是 ? 10 , 则 实 数 a 的 值 x? ? 为 . 16、如图所示, “嫦娥二号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进 入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形

轨道Ⅲ绕月飞行, 若用 2c1 和 2c2 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距, 用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆 轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;③ P

c1 c2 c c ? ;④ 1 ? 2 . a1 a2 a1 a2

F Ⅲ Ⅱ Ⅰ

其中正确式子的序号是 . 三、解答题(本题共 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a.b.c,且满

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3bc ? 0 , sin A sin B ? cos 2
AM 的长为 7 .

C , BC 边上中线 2
C

A
60?

B

18、某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如 图所示的转盘一次, 并获得相应金额的返券, 假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动 转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他获 得返券的金额记为 X (元).求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 19、 如图, 已知 E , (本小题满分 12 分) F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O , PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; 第 19 题图
3

(Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时,求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

20、 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2:x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F1,直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭 圆 C1 的方程及点 P 的坐标.
21、已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax ? x,a ? R. (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; 2

(2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围; 若不存在,说明理由.
选做题(本小题满分 10 分。请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所 做的第一题记分) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM·MB=DF·DA. 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的轴的正半轴重

? 2 t?4 ?x ? ? 2 合.设点 O 为坐标原点, 直线 l : ? (参数t ? R) 与曲线 C 的极坐标方程为 2 ? y? t ? ? 2
? sin2 ? ? 4 cos? .
( 1 )求直线 l 与曲线 C 的普通方程; ( 2 )设直线与曲线相交于 A , B 两点,求证:
OA ? OB ? 0

24.选修 4—5:不等式选讲(1)已知 x , y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

(2) 已知 a,b,c ? R ,且 a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥

?

1 . 3

4

高三

数学(理)模拟卷参考答案

一、选择题 1、C 2、B 3、D 4、C 5、A 6、C 7、D 8、A 9、B 10、D 11、C 12、B 二、填空题 13、60 14、2 15、1 16、②③
13]11

1

2 2 2 2 2 2 三、解答题 17.解: (Ⅰ)由 a ? b ? c ? 3bc ? 0 得 a ? b ? c ? ? 3bc

? cos A ?

? b2 ? c 2 ? a 2 3 ? , A? . 6 2bc 2

???? 4 分

1 1 ? cos C C ,得 sin B ? 即 sin B ? 1 ? cos C ????6 分 2 2 2 5 则 cos C ? 0 ,即 C 为钝角,故 B 为锐角,且 B ? C ? ? 6 ? 5 ? 2 则 sin( ? ? C ) ? 1 ? cos C ? cos( C ? ) ? ?1 ? C ? ? 故 B ? .???8 分 6 6 3 3
2 由 sin A sin B ? cos

2 2 (Ⅱ)设 AC ? x , 由余弦定理得 AM ? x ?

2 x2 x 1 ? 2 x ? ? (? ) ? 7 ??10 分 4 2 2

解得 x ? 2 ,故 S ?ABC ?

1 3 ?2?2? ? 3 ????????12 分 2 2

18、解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C.
则 P ( A) ? 分 (1)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

1 1 1 , P ( B ) ? , P (C ) ? . 6 3 2

??????2

5

? P ? P( A) ? P( B) ?

1 1 1 ? ? 6 3 2 1 .??????6 分 2

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是

(2) 由题意得, 该顾客可转动转盘 2 次.随机变量 X 的可能值为 0, 30, 60, 90, 120.?7 分

P( X ? 0) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ; P( X ? 30) ? ? ? 2 ? ; P( X ? 60) ? ? ? ? ? ? 2 2 4 2 3 3 2 6 3 3 18
1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ; P( X ? 120 ) ? ? ? 3 6 9 6 6 36
??????8 分

P( X ? 90) ?

所以,随机变量 X 的分布列为:

P X
其数学期望

0

30

60

90

120

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

????10 分

1 1 5 1 1 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36
19、解:法 1: (Ⅰ )连结 BD , ∵PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴PA ? BD , 又∵BD ? AC , AC PA ? A , ∴BD ? 平面 PAC , 又∵E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴EF // BD , ∴EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴ 平面 PAC ? 平面 NEF ;---------------------------------------4 分 (Ⅱ )连结 OM , ∵PC // 平面 MEF ,平面 PAC 平面 MEF ? OM ,

???12 分

PM OC 1 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 -----8 分 第 19 题图 PA AC 4 (Ⅲ )∵EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴NO ? EF , ∴?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ---------------------------------------10 分 ∵ 点 M 是 PA 的中点,∴AM ? NC ? 2 ,
∴PC // OM ,∴ 所以在矩形 MNCA 中,可求得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 ,--------11 分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ?

MO 2 ? ON 2 ? MN 2 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33

∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

33 .-----------------------------12 分 33

6

法 2: (Ⅰ ) 同法 1; (Ⅱ ) 建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) ,C (4, 4,0) ,E (4, 2,0) ,

F (2, 4,0) ,∴PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2,2,0) ,
设点 M 的坐标为 (0,0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) , 所以 ?

? ?n ? ME ? 0

? ?n ? E F ? 0 6 6 y ? 1 , z ? ,故 n ? (1,1, ) , m m

,即 ?

?4 x ? 2 y ? mz? 0 ,令 x ?1 ,则 ??2 x ? 2y ? 0

∵PC // 平面 MEF ,∴PC ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ?

24 ? 0 ,解 m

得m ?3, 故 AM ? 3 ,即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点;故 ----------------8 分 PM : MA ? 1: 3 (Ⅲ ) N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向 量为 m ? ( x, y, z) , 则?

?m ? EN ? 0 ? ? ?m ? EF ? 0

,即 ?

?2 y ? 2 z ? 0 ,令 x ? 1 , ??2 x ? 2 y ? 0

则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) , 当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) , ∴cos ? m, n ??

1?1? 3 33 , ?? 33 3 ? 11
33 .-------12 分 33
?? 1 分

∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

? y ? 2 x ? m, 2 20、 (1)解法 1:由 ? 2 消去 y ,得 x ? 8x ? 4m ? 0 . ? x ? 4y
2

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点 ∴ ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? ?4 . ∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .?? 4 分 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ? x0 , y0 ? , 由 y ? ∴直线 l 的斜率 k ? y '

? 3分

1 2 1 x ,得 y ' ? x , 4 2

x ? x0

?

1 1 解得 x0 ? 4 .? 2 分 x0 . ?? 1 分 依题意得 x0 ? 2 , 2 2
7

把 x0 ? 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 ? 4 . ∴4 ? 2? 4 ? m , 解得 m ? ?4 . 分 (2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F 1 ? 0,1? ,

∵点 ? x0 , y0 ? 在直线 l 上, ?? 4

?? 3 分 ∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .

依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? .
' l 设点 F 1 ? x0 , y0 ? , 1 ? 0,1? 关于直线 的对称点为 F

?? 5 分
y

? y0 ? 1 ? 2 ? ?1, ? ? x ? 4, x0 则? ?? 7 分解得 ? 0 ? ? y0 ? ?1. ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? ? 2 2
∴点 F 1 ? 4, ?1? .
'

F1 O F2 P0

P x F1
'

??? 8 分 ??? 8 分

' ?3 ? ∴直线 l 与直线 F , ?1? . 1F 2 : y ? ?1 的交点为 P 0 ? 2 ? ? 由椭圆的定义及平面几何知识得:

' ' 椭圆 C1 的长轴长 2a ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4 ,?? 10 分

a ? 2. ∴e ? 其中当点 P 与点 P 0 重合时,上面不等式取等号. ∴
2 2

1 1 ? . a 2

故当 a ? 2 时, emax ? 1 ,此时椭圆 C1 的方程为 y ? x ? 1 ,点 P 的坐标为 ? 3 , ?1? .? 12 分 ? ? 2 4 3 ?2 ? 解法 2: ∵抛物线 C2 的焦点为 F1 ? 0,1? , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? 5分

y2 x2 ? 1? a ? 1? , 设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 a a ?1
? y ? 2 x ? 4, 由? 消去 y ,得 ? 5a 2 ? 4 ? x 2 ? 16 ? a 2 ? 1? x ? ? a 2 ? 1??16 ? a 2 ? ? 0 .(*) ? y2 x2 ? ? 1 ? 2 a2 ? 1 ?a

? 6分

由 ? ? ?16 a 2 ? 1 ? ? 4 5a 2 ? 4 a 2 ? 1 16 ? a 2 ? 0 ,

?

?

??

2

?

??

??

?

得 5a ? 20a ? 0 .
4 2

? 8分

解得 a ? 4 .
2

∴a ? 2.

∴e ?

1 1 ? . a 2
????? 10 分

当 a ? 2 时, emax

1 y 2 x2 ? ,此时椭圆 C1 的方程为 ? ? 1. 2 4 3

把 a ? 2 代入方程(*) ,解得 x ?

3 , y ? ?1 . 2
8

∴点 P 的坐标为 ? , ?1? .? 12 分

?3 ?2

? ?

21、 (1)解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? . f ? ? x ? ? ① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? .? 1 分 x x

1? x ,∵ x ? 0, ∴ f ' ? x ? ? 0 x

∴ 函数 f ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ??? .? 3 分 ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 ? ∵ x ? 0, ∴ ax 2 ? x ? 1 ? 0 . (ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

ax 2 ? x ? 1 ? 0, x

∴ ? ? 1 ? 4a .

1 2 时,得 ax ? x ? 1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 , 4
?????2 分

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ??? . (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 4
????? 3 分

x1 ?
若?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , x2 ? . 2a 2a

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x ?? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 4
????? 4 分

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ??? ,

若 a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ?? ? 时,

f ? ? x ? ? 0,
∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? ? ?

1 ? 1 ? 4a 2a

? ? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? 单调递减区间为 ? ? ? ?. ?, 2a ? ? ?
????? 5 分

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a ? ? ? ?, 2 a ? ?

单调递减区间为 ?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ? ?; 2a ? ?

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ??? ,无单调递减区间. ???? 6 分

9

(2)解:由(1)得当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,故函数 f ? x ? 无极值; ????? 7 分 当 a ? 0 时 , 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 0, ?

? 1 ? 1 ? 4a ? ? ? ,单调递减区间为 2a ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ? ? ?; 2 a ? ?
则 f ? x ? 有极大值,其值为 f ( x2 ) ? ln x2 ?

1 2 1 ? 1 ? 4a ax2 ? x2 ,其中 x2 ? . ? 8分 2 2a x2 ? 1 .??? 11 分 2

2 2 而 ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ,即 ax2 ? x2 ? 1 , ∴ f ( x2 ) ? ln x2 ?

x ?1 1 1 ( x ? 0) ,则 h' ( x) ? ? ? 0 , ????? 10 分 2 x 2 x ?1 则 h( x) ? ln x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数.又 h(1) ? 0 ,则 h( x) ? 0 等价于 x ? 1 . 2 x ?1 ? 0 等价于 x2 ? 1 . ∴ f ( x2 ) ? ln x2 ? 2 ?? 11 分 2
设函数 h( x) ? ln x ?
2 即在 a ? 0 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的大根大于 1,设 ? ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ,由于 ? ( x) 的图象

是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 且 经 过 点 (0, ?1) , 对 称 轴 x ?

1 ? 0 , 则 只 需 ? (1) ? 0 , 即 2a
?? 12 分

a ? 1 ? 1 ? 0,解得 a ? 2 ,而 a ? 0 ,故实数 a 的取值范围为 ? 0, 2? .
说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分. 1. 由 于

1 ? 1 ? 4a 1 1 1 ? 4a 1 1 1 4 ? ? ? ? ? 在 ? 0, ??? 是 减 函 数 , 而 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? 1 时, a ? 2 ,故 ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,从而实数 a 的取值范围为 2a 2a

?0, 2? .
2. 直接解不等式

1 ? 1 ? 4a ? 1 ,而 a ? 0 ,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为 2a

?0, 2? .
22、解: (I)连结 OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA 是∠BAF 的角平分线,∴∠OAC=∠FAC, ∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD.??????3 分 ∵CD⊥AF,∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.????5 分 (Ⅱ)连结 BC,在 Rt△ACB 中,
10

CM⊥AB,∴CM2=AM·MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF·DA. 易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM·MB=DF·DA????10 分 23. (I)直线 l : y ? x ? 4, ( II ) 设 曲线 C : y 2 ? 4 x , ??????5分

A(

1

x,

1

y)

,2 B,

(由 x 2 x2 ? 1

? y 2 ? 4 x, , ) ?y ? y ? x ? 4,
6 ,







x2 ?1 x ? 2 ?

? 1 ?, , x1 1 x1 6 ? x 2 0 2

∴y1y2=(x1-4) (x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16 ∴ OA ? OB ? x1x2+ y1y2= 2x1x2-4(x1+x2)+16=0??10 分 24 . ( 1 ) ∵

( x3 ? y3 ) ? ( x2 y ? xy2 ) ? x2 ( x ? y) ? y 2 ( y ? x) ? ( x ? y)( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵ x, y ? R ? ,∴ ( x ? y)2 ? 0, x ? y ? 0 ,∴ ( x ? y)2 ( x ? y) ? 0 , ∴ x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 .5分 (2)由 a+b+c=1, 得 1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3(a2+b2+c2) ∴a2+b2+c2≥

1 . (当且仅当 a=b=c 时取等号) ????10 分 3

11


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