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高二数学


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椭圆、 高二数学 椭圆、双曲线测试题
班级__________ 姓名___________ 学号___________

一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 填空题(
1、双曲线
x2 y2 ? = 1 的焦距是 m 2 + 12 4 ? m 2



x2 y2 ? = 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,在左支上过点 F1 的弦 AB 的长为 5,那么 2、双曲线 16 9 △ABF2 的周长是 。
3、已知椭圆

1 x2 y2 + = 1 的离心率为 ,则 a = 2 a +8 9



4、双曲线 3m

x 2 ? my 2 = 3 的一个焦点为 ( 0, 2 ) ,则 m 的值是



5、平面内有两个顶点 F1 , F2 和一动点 M,设命题甲: MF1 ? MF2 是定值;命题乙:点 M 的轨 迹是双曲线。则命题甲是命题乙的 ________________ 条件。 6、若方程

x2 y2 + = 1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4 ? t t ?1 ①若 C 为椭圆,则 1<t<4; ②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ③曲线 C 不可能是圆; ④若 C 表是椭圆,且长轴在 x 轴上,

则1 <

t<

3 .其中真命题的序号为 2

(把所有正确命题的序号都填上) 。

二、解答题(7 大题,共 70 分) 解答题( 大题,
7、 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A, 两点, 过 B 若⊿ ABF2 是正三角形,求这个椭圆的离心率。

8、中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 F1 F2 = 2 13 , 椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为 4,离心率之比为 3:7,求这两条曲线的方

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9、已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F ( ? 3, 0) ,右顶 点为 D (2, 0) ,设点 A ? 1, 1 ? . ? ? ? 2? (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;

10、设 F1、F2 为椭圆 16 x 求 ?PF1 F2 的面积。

2

+ 25 y 2 = 400 的焦点, P 为椭圆上的一点,且 ∠F1PF2 = 1200 ,

11、已知双曲线

x2 y2 ? 2 = 1 ( a > 0, b > 0 ) 的右焦点为 F,过点 F 作直线 PF 垂直于该双 a2 b
3 6 .求该双曲线的方程。 , ) 3 3

曲线的一条渐近线 l 于 P (

2 2 12、 已知椭圆 x 2 + y2 = 1( a > b > 0 ) 的离心率 e = 6 ,过点 A ( 0, ?b ) 和 B ( a, 0 ) 的直线与原点的 a b 3

距离为 3 。
2

⑴求椭圆的方程; ⑵已知定点 E ( ?1, 0 ) ,若直线 y = kx + 2 ( k ≠ 0 ) 与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由。

13、 在直线 l :x ? y + 9 = 0 上取一点 P , 过点 P 以椭圆 (1) P 点在何处时,所求椭圆长轴最短? (2)求长轴最短时的椭圆方程。

x2 y2 + = 1 的焦点为焦点作椭圆。 12 3

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1、8 、

2、26 、

3、 4或 ? 、

5 4

4、-1 、

5、必要不充分 、

6、② 、

7、 e = 、

3 3

2 2 8、椭圆方程是: x + y = 1 、

双曲线方程是:

49

36

x2 y 2 ? =1 9 4

2 2 9、椭圆方程是: x + y = 1 、

4

1

10、 、

16 3 3

11、解:设 F(c,0) l1 : y = b x, PF : y = ? a ( x ? c) 、 , a b

b ? a 2 ab ? y=ax 解方程组 ? 得 P( , ) ? c c ? y = ? a ( x ? c) ? b ?
为 x2 ? y =1
2
2

又已知 P( 3 , 6 ). ∴ a = 1, b = 3 3

2

∴双曲线方程

13、 1)椭圆 、 (

x2 y2 + = 1 的焦点为 F1 (?3 , 0) 、 F2 (3 , 0) ,则 F1 、 F2 在直线 l 的同侧, 12 3

作 F2 关于直线 l 的对称点

′ F2 (x0 y 0 ) x = ?9 y 0 = 12 F1 F2 ′ , 。则 0 , 。 的方程为 y = ?2( x + 3) 。与 x ? y + 9 = 0 联立解得 x = ?5 , y = 4 。∴ P (?5 , 4) 。

(2)Q 2a = PF1 + PF2 = 6 5 ,∴ a = 3 5 又 c = 3 ,∴ b = a ? c = 36 ,故所求椭圆的方程为
2 2 2

x2 y2 + =1 45 36

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1 2 、1 ) 直 线 A B 方 程 为 b x ? a y ? a b = 0 ( 依题意可得: ?c 6 ? = 3 ?a ? ab ? = ? a2 + b2 ?

3 2

解得:a =

3,b = 1

∴椭圆的方程为

x2 + y2 = 1 3 (2 )假 设 存 在 这 样 的 值 。 ? y = kx + 2 由? 2 得 (1 + 3 k 2 ) x 2 + 1 2 k x + 9 = 0 2 ?x + 3y ? 3 = 0

∴ ? = (1 2 k

)

2

? 3 6 (1 + 3 k 2

) > 0 L L L L L (1 )

12k ? ? x1 + x 2 = ? 1 + 3 k 2 ? 设 C ( x1 , y1 ) , D ( x 2 , y 2 ) , 则 ? L L L L L (2 ) 9 ? x ?x = ? 1 2 1 + 3k 2 ? 而 y 1 ? y 2= ( k x 1 + 2 ) ( k x 2 + 2 )= k 2 x 1 x 2 + 2 k ( x 1 + x 2 ) + 4 y1 y ? 2 = ?1 x1 + 1 x 2 + 1 即 y 1 ? y 2 + ( x 1 + 1 )( x 2 + 1 )= 0

要 使 以 C D 为 直 径 的 圆 过 点 E (- 1 , 0 ), 当 且 仅 当 C E ⊥ D E 时



∴ ( k 2 + 1 ) x 1 x 2 + ( 2 k + 1 )( x 1 + x 2 ) + 5 = 0 L L L L L L ( 3 ) 将 ( 2 ) 代 入 (3 ) 整 理 得 k = 经 验 证 k= 7 6

7 使 得 (1 ) 成 立 6 7 综 上 可 知 , 存 在 k= 使 得 以 C D 为 直 径 的 圆 过 点 E 6


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