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内蒙古包头一中2013届高三上学期期中考试数学文试卷

内蒙古包头一中 2013 届高三上学期期中考试数学文试卷

包头一中 2012—2013 学年度第一学期期中考试

高三年级文科数学试题

命题人:高明旺

审题人:李红梅

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题

给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 i3 (1? i)2 ? ( )

A.2

B.-2 C. 2i D. ?2i

2. ? 是第四象限角, tan? ? ? 5 ,则 sin? ? ( ) 12

A. 1 5

B. y ? ? 12 13

C. 5 13

D. ? 5 13

3. 设数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( )

A.15

B. 16

C.49

D.64

4. 已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则向量 c 等于( )

A.- 1 a+ 3 b 22

B. 1 a- 3 b 22

C.- 3 a- 1 b 22

D.- 3 a+ 1 b 22

5. 对任意实数 a、b、c,在下列命题中,真命题是( ) A.“ ac ? bc ”是“ a ? b ”的必要条件 B. “ ac ? bc ”是“ a ? b ”的充分条件 C.“ ac ? bc ”是“ a ? b ”的充分条件 D. “ ac ? bc ”是“ a ? b ”的必要条件

6.



Sn 是等差数列?a n? 的前

n

项和,若

a5 a3

?

5 ,则 S9 9 S5

?(



A.1

B.-1

C.2

?2x ? y ? 4,

7.



x,

y

满足

? ?

x

?

y

?

1,

则z ? x? y

(

)

??x ? 2 y ? 2,

D. 1 2

A.有最大值 3,无最小值 C.有最小值-1,最大值 7
3

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值.

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8. 函数 y ? 2sin(? ? 2x) (x ?[0 , ? ]) 为增函数的区间是( 6

A. [0 , ? ] 3

B. [ ? , 7? ] 12 12

C. [? , 5? ] 36

) D. [5? , ? ]
6

9. 已知向量 a ? ( 3,1) ,b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a b ? 3 ,则 b ? ( )

A.( 3 , 1 ) 22

B.( 1 , 3 ) 22

C.( 1 , 3 3 ) 44

D.(1,0 )

10. 函数 y ? sin 4 x ? cos2 x 的最小正周期为

A. ? 4

B. ? 2

C.?

D.2?

()

11.函数 f (x) ? ln x ? 2x ? 5 的零点个数为 ( )

A.1

B.2

C.0

D.3

12.函数 f(x)= sin x (0≤x≤2? )的值域是( ) 5 ? 4 cos x

A.[- 1 , 1 ] 44
C.[- 1 , 1 ] 22

B.[- 1 , 1 ] 33
D.[- 2 , 2 ] 33

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13. 设 a ? 0,b ? 0. 若 3是3a与3b的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为_______ ab

14.

数列{

1 4n 2-1

}的前

n

项和为

Sn,则

S12

? _______

15.已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, Sn ? 2an?1 ,则 an ? __________

16. 给出下列四个函数:

(1) y ? sin x ? cos x

(2) y ? sin x ? cos x

(3) y ? sin x cos x

(4) y ? sin x cos x

其中在 (0, ? ) 上既无最大值又无最小值的函数是______(写出全部正确结论的序 2

号)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、

证明过程和演算步骤.

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17.(本小题满分 10 分)

已知 tan(? ? ? ) ? 1

4

2

(1)求 tan? 的值;(2)求 sin 2? ? cos2 ? 的值。 1? cos 2?

18. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x)? a x2 ? ( b? 8 ) x? a? a,b 当 x ? ( ?3, ? 2 )时 , f (x )? 0; 当
x ?( ? ?, ?3) ( 2 ,? ?时) , f (x) ? 0 (1)求 f (x) 在[?1,1]上的值域 (2)c 为何值时, ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R

19. (本小题满分 12 分)

△ ABC 中,D 为 BC 边上一点, BD ? 33 , sin B ? 5 , cos ?ADC ? 3 , 求 AD.

13

5

20. (本小题满分 12 分)

在数列?an? 中,已知 a1

?

1 4

,

an?1 an

?

1 4

, bn

?

2

?

3log 1
4

an

(n ? N *). .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)求证:数列 ?bn ? 是等差数列;

(3)设数列?cn? 满足 cn ? an ? bn ,求?cn? 的前 n 项和 Sn .

21.(本小题满分 12 分) 已知向量 a=(2,1),b=(x,y).
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(1) 若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2) 若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

22. (本小题满分 12 分)
已 知 数 列 ?an? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 n ? N * , 都 有 an ? 0 且

Sn

?

? an

? 1? ? an
2

?

2?



令 bn

?

ln an?1 ln an

.

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)使乘积 b1 ? b2 ? ???? bk 为整数的 k(k ? N * ) 叫“龙数”,求区间 ?1, 2012?内的
所有“龙数”之和;

包头一中 2012—2013 学年度第一学期期中考试

高三年级文科数学参考答案

一、选择题

1~5:ADABD 6~10: ABCBB 二.填空题

11~12:AC

12
13.4 14.
25

?1

15. an

?

?

?1

? ?

2

? ???

3 2

n?2
? ??

n ?1 n?2

三.解答题

17.

(1)解: tan(? 4

??)

tan ? ? tan?

?

1?

4 tan

?

tan ?

? 1? tan? 1? tan?

4

由 tan(? ? ? ) ? 1 ,有 1? tan? ? 1

4

2 1? tan? 2

16. (2)(4) … ………………………3 分

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解得 tan? ? ? 1 3

…………………………5 分

(2)解法一: sin 2? ? cos2 ? 1? cos 2?

?

2sin? cos? ? cos2 ? 1? 2 cos2 ? ?1

? 2sin? ? cos? 2 cos?

? tan? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 5 …………………10 分 2 32 6

解法二:由(1), tan? ? ? 1 ,得 sin? ? ? 1 cos?

3

3

∴ sin2 ? ? 1 cos2 ? 9

1? cos2 ? ? 1 cos2 ? 9

∴ cos2 ? ? 9 10

于是 cos 2? ? 2cos2 ? ?1 ? 4 …………………………7 分 5

sin 2? ? 2sin? cos? ? ? 2 cos2 ? ? ? 3

3

5

…………………………9 分

代入得

sin 2?

? cos2 ?

?

?3? 9 5 10

??5

1? cos 2?

1? 4

6

5

…………………………10 分

18.
解:由题目值 f (x) 的图像是开口向下,交 x 轴于点 A(?3, 0) 和 B(2, 0) 的抛物线,

对称轴方程为 x ? ? 1 2

那么有

??0 ? ?? 0

? ?

a(?3)2 ? (b ? 8) ? (?3) ? a ? a ? 22 ? (b ? 8) ? 2 ? a ? ab

ab

…………………………3 分

解得

?a ??b

? ?

0 8



?a ?? b

? ?

?3 5

…………………………5 分

经检验知

?a ??b

? ?

0 8

不符合题意,舍去

所以 f (x) ? ?3x2 ? 3x ?18

…………………………6 分

(1)由题意知,函数在[?1, ?0.5] 内为减函数,在[?0.5,1] 内为增函数

故 f (?0.5) ? 75 , f (1) ? 12 4
所以 f (x) 在[?1,1]内的值域是[12, 75] 4

…………………………9 分

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(2)令 g(x) ? ?3x2 ? 5x ? c

要使 g(x) ? 0的解集为 R,则需方程 ?3x2 ? 5x ? c ? 0 的根的判别式 ? ? 0 即

25+12c≤0,解得 c ? ? 25 12

…………………………12 分

19. 解: 由 cos ?ADC ? 3 ? 0知B ? ?

5

2

…………………………1 分

由已知得 cos B ? 12 ,sin ?ADC ? 4 ,…………………………4 分

13

5

从而 sin ?BAD ? sin(?ADC ? B)

由正弦定理得

=sin ?ADC cos B ? cos?ADCsin B ? 4 ? 12 ? 3 ? 5 ? 33 .…………………………8 分
5 13 5 13 65

AD ? BD , sin B sin ?BAD

所以 AD ?

BD ? sin B sin ?BAD

33? 5

=

13 33

=25 .

…………………………12 分

65

20【答案】解:(Ⅰ)∵ an?1 ? 1 an 4

∴数列{

an

}是首项为

1 4

,公比为

1 4

的等比数列,

∴ an

?

(1)n (n ? N*) .…………………………………………………………………………3 4



(Ⅱ)∵ bn ? 3log 1 an ? 2 ………………………………………………………………… 4 分
4



bn

?

3 log 1
4

(1)n 4

?

2

?

3n

?

2

.……………………………………………………

5分

∴ b1 ? 1,公差 d=3

∴数列{bn}是首项 b1 ? 1,公差 d ? 3的等差数列.……………………………………6 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, an

?

(1)n 4

, bn

?

3n

?

2

(n?

N*



∴ cn

?

(3n

?

2) ? (1)n , (n ? 4

N*)

.…………………………………………………………7



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Sn

? 1?

1 4

?

4 ? ( 1 )2 4

?

7? (1)3 4

??? (3n ? 5)? (1)n?1 4

? (3n ?

2)? (1)n 4





于是

1 4

Sn

? 1? (1)2 4

?

4? (1)3 4

?

7 ? ( 1 )4 4

??? (3n

? 5) ? (1)n 4

? (3n ?

2) ? ( 1)n?1 4



…………………………………………………………………………………………… 9 分

两式①-②相减得

3 4

Sn

?

1 4

? 3[(1)2 4

?

( 1 )3 4

??? (1)n ] ? (3n ? 2) ? (1)n?1

4

4

= 1 ? (3n ? 2) ? (1)n?1 .………………………………………………………………………11 分

2

4



Sn

?

2 3

? 12n ? 8 3

? (1)n?1(n ? 4

N*)

.………………………………………………12

分.

21 【答案】解:(1) 设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y.

Ω

={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1

)}

共包含 12 个基本事件;……………………………………………… 3 分

其中 A={(0,0),(2,1)},包含 2 个基本事件.

则 P( A) ? 2 ? 1 .………………………………………………… 6 分 12 6

(2) 设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,

b 的夹角是钝角,可

得 a·b<0,即 2x+y<0,且 x≠2y.

?

?

{(x,

y)

|

??1 ?? ?1

? ?

x y

? ?

2, 1.

}

第 18 题答案图

??1 ? x ? 2,

B

? {(x,

y)

|

???1 ? ??2x ?

y y

? 1, ? 0,

}

??x ? 2 y.

则 P(B) ?

?B

?

1?(1 ? 22

3)?2 2

?

1

.………………………………12 分

??

3?2

3

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22.

(1)解:由于 Sn

?

? an

? 1? ? an
2

? 2?

?

an2

? an 2

?2





n

? 1 时,

a1

?

S1

?

a12

? a1 2

?

2



…………… 1 分

整理得 a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,

解得 a1 ? 2 或 a1 ? ?1.

∵ an ? 0 ,

∴ a1 ? 2 .

…………… 2 分

当n

?

2 时, an

?

Sn

? Sn?1

?

an2

? an 2

?2

?

a2 n?1

? an?1 2

?2



…………… 3 分

化简得

an2

?

a2 n?1

?

an

?

an?1

?

0



∴ ?an ? an?1 ??an ? an?1 ?1? ? 0 .

∵ an ? 0 ,

∴ an ? an?1 ? 1 .

∴数列?an? 是首项为 2 ,公差为1的等差数列.

∴ an ? 2 ? ?n ?1? ? n ?1.

(2)解:∵ bn

?

ln an?1 ln an

?

ln ?n ? 2? ln ?n ?1?



∴ b1 ? b2 ? ??? ? bk

? ln 3 ln 4 ln 2 ln 3

ln ?k ? 2? ln ?k ?1?

…………… 5 分 …………… 6 分

? ln ?k ? 2?
ln 2

? log2 ?k ? 2? .

…………… 8 分

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令 log2 ?k ? 2? ? m ,则 k ? 2m ? 2(m 为整数),

由1 ? 2m ? 2 ? 2012 ,得 3 ? 2m ? 2014 ,

…………… 9

∴ m ? 2,3, 4, ,10 .

∴在区间?1, 2012?内的 k 值为 22 ? 2, 23 ? 2, , 210 ? 2 ,

………… 10 分

其和为 ?22 ? 2? ? ?23 ? 2? ? ? ? ? 210 ? 2 ? ? ? 22 ? 23 ? ? 210 ? 2?9

? ? 22 ? 1? 29

?

?18

1? 2

? 2026 .

…………… 11 分 …………… 12 分

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