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2015新课标高考数学(文)一轮复习讲义(带详细解析):第四编_平面向量

2015 数学(文)一轮复习讲义(带详细解析) :第四章 平面向量

§4.1 平面向量的概念及线性运算
一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中正确的是________. → → ①AB=DC → → → ②AD+AB=AC → → → ③AB-AD=BD → → ④AD+CB=0 → → → 解析 ①显然正确;由平行四边形法则知②正确;AB-AD=DB → → → → 故③不正确;④中AD+CB=AD+DA=0 答案 ①②④ 2.设四边形 ABCD 中,有 DC ? 解析 由 DC ?

1 AB,且 | AD |?| BC |, 则这个四边形是 2

.

1 AB 知四边形 ABCD 是梯形,又 | AD |?| BC |, 2

所以四边形 ABCD 是等腰梯形. 答案 等腰梯形 → → → → → 3.在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD=____________(用 b,c 表示). 解析 如图所示,在△ABC 中, → → → AD=AB+BD. 又 BD ? 2 DC ,? BD ?

2 BC . 3

? BC ? AC ? AB ? b ? c,
2→ 2 2 1 ∴? AD ? AB ? BC=c+ (b-c)= b+ c. 3 3 3 3 2 1 答案 b+ c 3 3 4.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不 包括边界). 若 OP ? aoOP 1 ? bOP 2 , 且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a,b 满 足 a______0,b______0(用“>”,“<”或“=”填空). 解析 由于点 P 落在第Ⅲ部分,且 OP ? aoOP 1 ? bOP 2, 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知 a>0,b<0. 答案 > < → → → 5.设OB=xOA+yOC,且 A、B、C 三点共线(该直线不过端点 O),则 x+y=________. 解析 ∵A、B、C 三点共线,∴存在一个实数 λ, → → → → → → AB=λAC,即OB-OA=λ(OC-OA). → → → OB=(1-λ)OA+λOC. → → → → 又∵OB=xOA=xOA+yOC,∴x+y=(1-λ)+λ=1. 答案 1

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6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上的一点,若 AD ? 2DB, CD ? 解析 由图知 CD ? CA ? AC

1 CA? CB, 则 λ=________. 3
① ②

CD ? CB ? BD
→ → 且AD+2BD=0. → → → ①+②×2 得 3CD=CA+2CB, 2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3 2 答案 3 7,设向量 a,b 满足:|a|=3,|b|=4,a· b=0,以 a,b,a-b 的模为边长构 成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为________. 解析 由|a|=3,|b|=4 及 a·b=0 知 a⊥b,故 a,b,a-b 构成直角三角 形,且|a-b|=5.又其内切圆半径为

3? 4?5 ? 1. 如图所示.将内切圆向 2

上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有 4 个交点. 答案 4 8.设 D 是正△P1P2P3 及其内部的点构成的集合,点 P0 是△P1P2P3 的中心.若集合 S={P|P∈D,|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3},则 集合 S 表示的平面区域是________. 解析 如图所示,AB、CD、EF 分别为 P0P1、P0P2、P0P3 的垂直平 分线,且 AB、CD、EF 分别交 P1P2、P2P3、P3P1 于点 A、C、D、E、 F、B.若|PP0|=|PP1|,则点 P 在线段 AB 上,若|PP0|≤|PP1|,则点 P 在 梯形 ABP3P2 中. 同理,若|PP0|≤|PP2|,则点 P 在梯形 CDP3P1 中. 若|PP0|≤|PP3|,则点 P 在梯形 EFP1P2 中. 综上可知,若|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3,则点 P 在六边形 ABFEDC 中. 答案 六边形区域 → → → → → → 9.,设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA+BA=2BP,则PC+PA=________. → → → → → → 解析 因为BC+BA+BA=2BP,所以点 P 为线段 AC 的中点,即PC+PA=0. 答案 0 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) → → 10.在△OAB 中,延长 BA 到 C,使AC=BA → 1→ → → 在 OB 上取点 D,使DB= OB.DC 与 OA 交于 E,设OA=a,OB=b, 3 → → 用 a,b 表示向量OC,DC. → 1 → → 解 因为 A 是 BC 的中点,所以OA= (OB+OC), 2 → → → 即OC=2OA-OB=2a-b; → → → → 2→ DC=OC-OD=OC- OB 3 2 5 =2a-b- b=2a- b. 3 3 11.已知:任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点, 证明 方法一 如图, ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点,
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EF ?

1 ( AB ? DC ). 2

→ → → → ∴EA+ED=0,FB+FC=0, → → → → 又∵BF+BF+FE+EA=0, → → → → ∴EF=AB+BF+EA → → → → 同理EF=ED+DC+CF 由①+②得, → → → → → → → → → 2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC.

① ②

1 ? EF ? ( AB ? DC ). 2
方法二 连结 EB, EC, 则 EC ? ED ? DC,

? EF ? ?

1 ( EC ? EB) 2

1 ( ED ? DC ? EA ? AB) 2 1 ? ( AB ? DC ). 2

12.已知点 G 为△ ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB、 AC 两边分别交于 M、 N 两点,且 1 1 AM ? x AB, AN ? y AC, 求x+y的值. 解 根据题意 G 为三角形的重心, → 1 → → AG= (AB+AC), 3

1 1 ? ( ? x) AB ? AC, 3 3
→ → → 1 → → → MG=AG-AM= (AB+AC)-xAB 3

GN ? AN ? AG ? y AC ? AG 1 ? y AC ? ( AB ? AC) 3 1 1 ? ( y ? ) AC ? AB, 3 3

由于 MG 与 GN 共线,根据共线向量基本定理知,存在实数 λ,使得 1 ?→ 1→ MG ? ?GN, 即? ?3-x?AB+3AC 1 1 1 1 -x=- λ -x 3 3 3 3 1 1 ? ? ,因此 = ? ?( y ? ) AC ? AB?, 即 1 1 1 ? 1? 3 3 ? ? - y- =λ y- 3 3 3 ? 3?

? ? ?

1 1 即 x+y-3xy=0 两边同除以 xy 整理得 + =3. x y

§4.2 平面向量的坐标运算
一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1 3 1.已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a- b=__________. 2 2

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1 1? ?3 3? ?1 3 1 3? 1 3 1 3 a- b= (1,1)- (1,-1)=? ?2,2?-?2,-2?=?2-2,2+2?=(-1,2). 2 2 2 2 答案 (-1,2) m 2.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则 =________. n 解析 ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n), a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1). 2m-n 3m+2n 由于 ma+nb 与 a-2b 共线,则有 = , 4 -1 m 1 ∴n-2m=12m+8n,∴ =- . n 2 1 答案 - 2 3.(已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为__________. 解析 ∵a=(-3,2),b=(-1,0), ∴λa+b=(-3λ-1,2λ), a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2). 1 由(λa+b)⊥(a-2b)知 4λ+3λ+1=0.∴λ=- . 7 1 答案 - 7 4. 已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1), m∈R}, Q={b|b=(1,1)+n(-1,1), n∈R}是两个向量集合, 则 P∩Q=________. 解析 ∵P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R} ={a|a=(1,m)},Q={b|b=(1-n,1+n),n∈R}, ?1=1-n, ?n=0, ? ? 由? 得? ∴a=b=(1,1), ? ? ?m=1+n, ?m=1, ∴P∩Q={(1,1)}. 答案 {(1,1)} 1 ? 5. 已知向量 a=? b=(x,1), 其中 x>0, 若(a-2b)∥(2a+b), 则 x 的值为____________. ?8,2x?, 1 解析 a-2b=(8-2x, x-2),2a+b=(16+x,x+1), 2 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然 2a+b≠0, 1 故有(8-2x, x-2)=λ(16+x,x+1) 2 解析 8-2x=λ(16+x) ? ? 即?1 ,解得 x=4(x>0). ? ?2x-2=λ(x+1) 答案 4 6.已知向量 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b⊥(a+λb),则实数 λ 的值是______________. 解析 a+λb=(2,4)+λ(1,1)=(2+λ,4+λ). ∵b⊥(a+λb),∴b· (a+λb)=0, 即(1,1)· (2+λ,4+λ)=2+λ+4+λ=6+2λ=0, ∴λ=-3.答案 -3 7.已知四边形 ABCD 的顶点 A(0,2) 、B(-1,-2) 、C(3,1) ,且

BC ? 2 AD ,则顶点 D 的坐标为________. 解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ? BC =(3,1)-(-1,-2)=(4,3).
→ → → 设 D(x,y),∵AD=(x,y-2),BC=2AD,
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7? 7 ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y= .答案 ? ?2,2? 2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC.已知 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为______________. → → 解析 设 D 点的坐标为(x,y),由题意知BC=AD, 即(2,-2)=(x+2,y),所以 x=0,y=-2,∴D(0,-2).答案 (0,-2) 9.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=________. 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0. ① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0. ② 7 7 7 7 ? 解①②得 x=- ,y=- .答案 ? ?-9,-3? 9 3 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) → → → → → 10.已知 A(-2,4) 、B(3,-1) 、C(-3,-4)且CM=3CA,CN=2CB,求点 M、N 及MN的 坐标. 解 ∵A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),

? CA ? (1,8),CB ? (6,3), ? CM ? 3(CA) ? (3,24),CN ? 2CB ? (12,6).
设 M(x,y) ,则有 CM =(x+3,y+4) , ?x+3=3 ?x=0 ? ? ∴? ,∴? , ?y+4=24 ?y=20 ? ? ∴M 点的坐标为(0,20). 同理可求得 N 点坐标为(9,2), 因此 MN =(9,-18) , 故所求点 M、N 的坐标分别为(0,20)、(9,2),

MN 的坐标为(9,-18).
11.已知 A (-2, 4) , B (3, -1) , C (-3, -4) .设 AB = a,BC = b, 且 CM ? 3 c,, CN ? ? 2b. CA = c, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ? ? ?-6m+n=5 ?m=-1 ∴? ,解得? . ?-3m+8n=-5 ?n=-1 ? ? 12.在 点 P. ABCD 中,A(1,1) , AB =(6,0) ,点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于

→ (1)若AD=(3,5),求点 C 的坐标; → → (2)当|AB|=|AD|时,求点 P 的轨迹. 解 (1)设点 C 的坐标为(x0,y0), 又 AC ? AD ? AB =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5), ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)由三角形相似,不准得出 PC ? 2MP 设 P(x,y),则
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BP ? AP ? AB =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1), 1 AC ? AM ? MC ? AB ? 3MP 2 1 1 ? AB ? 3( AP ? AB) 2 2
? 3 AP ? AB ? (3( x ? 1),3( y ? 1)) ? (6,0) ? (3x ? 9,3 y ? 3),

? | AB |?| AD |, ∴
∴AC⊥BD.

ABCD 为菱形,

? AC ? BP,
即(x-7,y-1) · (3x-9,3y-3)=0. 即(x-7) (3x-9)+(y-1) (3y-3)=0, ∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1). ∴(x-5)2+(y-1)2=4(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆去掉与直线 y=1 的两个交点.

§4.3 平面向量的数量积
一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.向量 a=(cos 15° ,sin 15° ),b=(-sin 15° ,-cos 15° ),则|a-b|的值是__________. 解析 由题设,|a|=1,|b|=1, 1 a· b=-sin(15° +15° )=- . 2 1? ∴|a-b|2=a2+b2-2a· b=1+1-2×? ?-2?=3. ∴|a-b|= 3. 答案 3 → → → 2.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=a,AB=c,AC=b, 则 a· b+b· c+c· a=______________________. 解析 如图所示,a+c=b, a· b+b· c+c· a =b· (a+c)+a· c=b2+a· c =1+|a|·|c|cos〈a,c〉

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=1+cos 120° = . 答案

1 2

1 2

3.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则 a· b+b· b 的值为________. 解析 a· b+b· b=|a|· |b|· cos 60° +|b|2 1 =1×2× +4=5.答案 5 2 4.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角是________. 解析 ∵a· (b-a)=a· b-a2=2,∴a· b=2+a2=3 a· b 3 1 π π ∴cos〈a,b〉= = = ,∴a 与 b 的夹角为 . 答案 |a||b| 1×6 2 3 3 5.若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a· b=a· c”是“a⊥(b-c)”的 __________________条件. 解析 若 a⊥(b-c),则 a· (b-c)=0?a· b-a· c=0 ?a· b=a· c. 答案 充要 → → 6.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足OA· OB= → → → → OB· OC=OC· OA,则点 O 是△ABC 的________心. → → → → 解析 OA· OB=OB· OC, → → → → → → → 得OB· OA-OB· OC=0,即OB· (OA-OC)=0, → → → → ∴OB· CA=0,∴OB⊥CA. → → → → 同理可得OA⊥BC,OC⊥AB. ∴O 是三角形三条高线的交点. 答案 垂 7.直角坐标平面内三点 A(1,2) 、B(3,-2) 、C(9,7) ,若 E、F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF ? 解析 ? BC ? (6,9), .

1 2 ? BE ? BC ? (2,3), BF ? BC ? (4,6). 3 3
又 AB ? (2,?4),

? AE ? AB ? BE ? (4,?1), AF ? AB ? BF ? (6,2), ? AE ? AF ? 4 ? 6 ? (?1)? ? 22.

答案 22

8.平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=________. 解析 a=(2,0),故|a|=2,|a+2b|= (a+2b)2 = a2+4a· b+4b2. ∵a· b=|a|· |b|· cos 60° =1, ∴|a+2b|= 4+4+4=2 3. 答案 2 3 9.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 → → → → → AP =2PM =2PM,则 PA · (PB· (PB+PC)=________. 解析 M 是 BC 的中点,则

4 答案 - 9 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.向量 a=(cos 23° ,cos 67° ),向量 b=(cos 68° ,cos 22° ).
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PA ? ( PB ? PC) ? PA ? 2 PM ? PA ? AP ? ?( PA) 2 2 4 ? ?( MA) 2 ? ? . 3 9

(1)求 a· b; (2)若向量 b 与向量 m 共线,u=a+m,求 u 的模的最小值. 解 (1)a· b=cos 23° · cos 68° +cos 67° · cos 22° 2 =cos 23° · sin 22° +sin 23° · cos 22° =sin 45° = . 2 (2)由向量 b 与向量 m 共线, 得 m=λb (λ∈R),u=a+m=a+λb =(cos 23° +λcos 68° ,cos 67° +λcos 22° ) =(cos 23° +λsin 22° ,sin 23° +λcos 22° ), |u|2=(cos 23° +λsin 22° )2+(sin 23° +λcos 22° )2 1 2 =λ2+ 2λ+1=?λ+ ?2+ , 2? 2 ? 2 2 ∴当 λ=- 时,|u|有最小值为 . 2 2 11.已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120° . (1)求证:(a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1 (k∈R),求 k 的取值范围. (1)证明 ∵(a-b)· c=a· c-b· c =|a|· |c|· cos 120° -|b|· |c|· cos 120° =0, ∴(a-b)⊥c. (2)解 |ka+b+c|>1?|ka+b+c|2>1, ?k2a2+b2+c2+2ka· b+2ka· c+2b· c>1. ∵|a|=|b|=|c|=1,且 a、b、c 相互之间的夹角均为 120° , 1 ∴a2=b2=c2=1,a· b=b· c=a· c=- , 2 2 2 ∴k +1-2k>1,即 k -2k>0,∴k>2 或 k<0. 3x 3x? x? ? x ? π? 12.已知向量 a=? ?cos 2 ,-sin 2 ?,b=?cos2,sin2?,x∈?0,2?. 1 3 若函数 f(x)=a· b- λ|a+b|的最小值为- ,求实数 λ 的值. 2 2 π ? 解 ∵|a|=1,|b|=1,x∈? ?0,2?,cos x∈[0,1]. 3x x 3x x ∴a· b=cos cos -sin sin =cos 2x, 2 2 2 2 2 2 |a+b|= (a+b) = a +2a· b+b2 = 2+2cos 2x=2|cos x|=2cos x. ∴f(x)=cos 2x-λcos x=2cos2x-λcos x-1 λ λ2 cos x- ?2- -1, =2? 4? 8 ? ①当 λ<0 时,取 cos x=0,此时 f(x)取得最小值, 3 并且 f(x)min=-1≠- ,不合题意. 2 λ ②当 0≤λ≤4 时,取 cos x= , 4 此时 f(x)取得最小值, λ2 3 并且 f(x)min=- -1=- ,解得 λ=2. 8 2 ③当 λ>4 时,取 cos x=1,此时 f(x)取得最小值, 3 并且 f(x)min=1-λ=- , 2 5 解得 λ= ,不符合 λ>4 舍去,∴λ=2. 2
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§4.4 平面向量的应用
一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.已知 O 是四边形 ABCD 所在平面内任一点,且 | AO ? OB | → → =|DO+OC|, AB // CD ,则四边形 ABCD 的形状是____________________. 解析 由条件知 | AB |?| DC |, 又 AB // CD, ∴AB 綊 CD,∴四边形为平行四边形. 答案 平行四边形 2.)给出下列命题: ①向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相反或者相同; ②△ABC 中,必有 AB ? BC ? CA ? 0; ③四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB ? DC; ④若非零向量 a 与 b 方向相同或相反,则 a+b 与 a、b 之一方向相同. 其中正确的命题为________. 解析 ①中未注意零向量所以①错误,在④中 a+b 有可能为零向量,只有②③正确. 答案 ②③ 3.已知向量 OA =(1,-3) , OB =(2,-1) , OC =(m+1,m-2) ,若点 A、B、C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条件是 . 解析 若点 A、B、C 不能构成三角形,则只能共线. → → -OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), ? AB ? OB → → → AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1). 假设 A、B、C 三点共线, 则 1×(m+1)-2m=0,即 m=1. ∴若 A、B、C 三点能构成三角形,则 m≠1.
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答案 m≠1 4.已知向量 m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n (a>0,b>0),则 ab 的最小值是________. 解析 由已知 m∥n 可得(a-2)(b-2)-4=0, 即 2(a+b)-ab=0, ∴4 ab-ab≤0,解得 ab≥4 或 ab≤0(舍去), ∴ab≥16.∴ab 的最小值为 16. 答案 16 5.若向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=1,a· (a+b)=1,则向量 a,b 的夹角的大 小为________. 解析 设 a,b 的夹角为 θ. ∵a· (a+b)=1,∴a2+a· b=1. 2 又∵|a|= 2,a +a· b=1,∴a· b=-1. - 1 a· b 2 cos θ= = =- . |a||b| 2 2×1 3π 又∵0≤θ≤π,∴θ= . 4 3π 答案 4 6.已知向量 a=(1,sin θ),b=(1,cos θ),则|a-b|的最大值为________. 解析 ∵a-b=(0,sin θ-cos θ), π? ∴|a-b|=|sin θ-cos θ|= 2? ?sin(θ-4)?≤ 2. ∴|a-b|的最大值为 2. 答案 2 → 7.,给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和OB,它们的 夹角为 120° .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动,若 → → → OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是______. 解析 建立如图所示的坐标系, 则 A(1,0),B(cos 120°,sin 120°),

1 3 ). . 2 2 设∠AOC=α,则 OC =(cos α,sin α). y 3 → → → ?OC ? xOA=xOA+yOB=(x,0)+?-2, 2 y? ? ?
即 B(? , =(cos α,sin α). y x- =cos α, 2 ∴ 3 y=sin α. 2

? ? ?

?x= 3 +cos α, ∴? 2sin α ?y= 3 ,
∴x+y= 3sin α+cos α=2sin(α+30° ). ∵0° ≤α≤120° ,∴30° ≤α+30° ≤150° . ∴x+y 有最大值 2,当 α=60° 时取最大值. 答案 2

sin α

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8.在平行四边行 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC ? ? AE

? ? AF 设∠AOC=α ,其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=______.
解析 设 AB ? a, AD ? b, 1 那么 AE = a+b, 2 1 AF =a+2b, → 又∵AC=a+b, 2 AC =3, ( AE ? AF), 2 4 即 λ=μ= ,∴λ+μ= . 3 3 4 答案 3 9.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, 若 AD ? x AB ? y AC, 则 x=___________________________, y=__________. 解析 ? AD ? x AB ? y AC, 又 AD ? AB ? BD,

? AB ? BD ? x AB ? y AC, ? BD ? ( x ? 1) AB ? y AC.
又? AC ? AB,

? BD ? AB ? ( x ? 1) AB .
设 | AB |? 1, 则由题意知 | DE |?| BC |? 2. 又∵∠BED=60°,? | BD |?

2

6 , 2
2

显然 BD 与 AB 的夹角为 45°. ∴由 BD ? AB ? ( x ? 1) AB 得 6 ×1×cos 45° =(x-1)×12. 2 3 ∴x= +1. 2 同理,在 BD ? ( x ?1) AB ? y AC 两边与数量积可得 y= 3 . 2

3 3 2 2 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 答案 1+ 10.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 AP ? AB ? ? AC (λ ∈R).试当λ 为何值时,点 P 在第三象限内? 解 设 AP =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)

AB ? ? AC =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)
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=(3+5λ,1+7λ)

? AP ? AB ? ? AC
∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ) ?x-2=3+5λ, ?x=5+5λ, ? ? ∴? ∴? ?y-3=1+7λ. ?y=4+7λ. ? ? ∵P 在第三象限内 λ<-1, ? ? ? ?5+5λ<0, ∴? ∴? 4 ?4+7λ<0. ? ?λ<-7. ? ∴λ<-1,即 λ<-1 时,P 点在第三象限.

?π-θ?,sin?π-θ??. 11.已知向量 a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=? cos ? ?2 ? ?2 ??
(1)求证:a⊥b; k+t2 (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t, 使 x=a+(t2+3)b, y=-ka+tb, 满足 x⊥y, 试求此时 t 的最小值. π ? (1)证明 ∵a· b=cos(-θ)· cos? ?2-θ?+sin(-θ)· π ? sin? ?2-θ?=sin θcos θ-sin θcos θ=0. ∴a⊥b. (2)解 由 x⊥y 得 x· y=0, 2 即[a+(t +3)b]· (-ka+tb)=0, ∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a· b=0, 2 3 2 ∴-k|a| +(t +3t)|b| =0. 又|a|2=1,|b|2=1, ∴-k+t3+3t=0, ∴k=t3+3t. k+t2 t3+t2+3t 2 1 11 t+ ?2+ . ∴ = =t +t+3=? 2 ? ? t t 4 k+t2 1 11 故当 t=- 时, 有最小值 . 2 t 4 12.如图所示,有两条相交成 60° 的直线 xx′、 yy′,其交点是 O,甲、乙两辆汽车分别在 xx′、yy′上行驶,起 初甲离 O 点 30 km,乙离 O 点 10 km,后来两车均以 60 km/h 的速度, 甲沿 xx′方向,乙沿 yy′方向行驶. (1)起初两车的距离是多少? (2)t 小时后两车的距离是多少? (3)何时两车的距离最短? 解 (1)设甲、乙两车最初的位置为 A、B, → → → → 则 | AB |2 =|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|cos 60° =700. 故 | AB | = 700 km=10 7 km. (2)设甲、乙两车 t 小时后的位置分别为 P、Q, 则 | AP |? 60t,| BQ |? 60t. 当0 ? t ? 当t ?

1 时, | PQ |2 =(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos 60° ; 2

1 时, | PQ |2 =(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos 120° . 2
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上面两式可统一为 | PQ |2 =10 800t2-3 600t+700, 即 | PQ | =10 108t2-36t+7 km. (3)因为 | PQ | =10 108t2-36t+7=10 1 108(t- )2+4, 6

1 故当 t= ,即在第 10 分钟末时,两车距离最短,最短距离为 20 km. 6

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