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《线性代数I》常见证明题型及常用思路


《线性代数》常见证明题型及常用思路 仅供参考! ! ! ! 二、证明题

题型 1.关于 ?1 ,?, ?m 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设 ?? 1 1 ? ? ? ?m? m

? 0 ,然后根据题设条件,通过解方程组

或其他手段:如果能证明 ?1 ,?, ?m 必全为零,则 ?1 ,?, ?m 线性无 关; 如果能得到不全为零的 ?1 ,?, ?m 使得等式成立, 则 ?1 ,?, ?m 线 性相关。 (2)?1 ,?, ?m 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 (3)如果 ?1 ,?, ?m ? F ,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
n

( 4 ) 如 果 我 们 有 两 个 线 性 无 关 组 ,

?1 ,?,?m ?W1, ?1,?, ?t ?W2 , 且 W1 ,W2 是同一个线性空间的两
个子空间,要证 ?1 ,?, ? m , ?1 ,?, ?t 线性无关。这种情况下,有些 时候我们设

?1?1 ? ? ? ?m? m ? ?1?1 ? ? ? ?t ?t ? 0, ? ? ?1?1 ? ? ? ?m? m , ? ? ?1?1 ? ? ? ?t ?t 。
根 据 题 设 条 件 往 往 能 得 到

? ?? ?0

, 进 而 由

?1 ,?,?m ?W1, ?1 ,?, ?t ?W2 的线性无关得到系数全为零。
题型 2. 关于欧氏空间常用结论 (1)内积的定义 (2)单位正交基的定义

(3)设 B ? {?1 ,?, ? n } 是单位正交基,

uB ? ( x1 ,?, xn ), vB ? ( y1,?, yn ) 。则 (u, v) ? x1 y1 ? ? ? xn yn 5
题型 3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明) :常用来证明关于秩的不等式

r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B ); r ( AB) ? min{r ( A), r ( B)}; r ( A) ? r ( AT ) ? r ( AT A); ? AT ? max{r ( A), r ( B)} ? r ( A, B) ? r ? T ? ? r ( A) ? r ( B); ?B ? ?A ? r? ? ? r ( A) ? r ( B); B ? ? ?A ? r ( A) ? r ( B) ? r ? ? ? r ( A) ? r ( B) ? r (C ); C B ? ? Am?n B ? 0 ? r ( A) ? r ( B) ? n
(5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩 的不等式) 例:证明: r ( Am?n ) ? r ( B) ? n ? r ( AB) 。 证:

?E ? ? En n ? r ( AB) ? r ? n ? r ? ? AB ? ? ? A ? E ?B ? ? r? n ? ? r ( A) ? r ( B) A 0 ? ?

? ? AB ?

上面第二个等号是用 A 左乘第一个分块矩阵的第一行,然后加到第 二行所得;第三个等号是用 ? B 又乘第二个分块矩阵的第一列,然后 加到第二列所得。 (6)利用齐次线性方程组解的结构( dim N ( Am?n ) ? n ? r ( A) ) , 此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。 (7)利用向量组的秩与维数 主要是两个结论: (i)矩阵的秩=列秩=行秩 (ii) dim ker ? 的维数 (8)利用行列式秩 (9)利用相抵标准形 题型 4. 关于可逆矩阵常用结论 (1)结论: A 可逆 ? AX ? b 有唯一解 ?|

? dim Im ? ? dim ker ? ? r (? ) ? ? 的定义域

A |? 0 。

(2)结论: A, B ? M n ( F ) 可逆 ? AB 可逆。 (3)结论: A 可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。 (4)结论: A 可逆当且仅当 0 不是它的特征值。 题型 5. 关于矩阵对角化的常用结论 (1)结论: A 相似于 B ? ?C

s.t. A ? C ?1BC 。

(2)结论:任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。

(3)特征值与特征向量的定义 (4)结论: ? 是 A 的特征值 ?| ? E ? A |? 0 。 (5)结论:属于不同特征值的特征向量线性无关。 (6)结论:特征多项式的常数项就是它的行列式,它的第 n-1 次项 的系数就是对角线上元素之和。 (7)结论: AX

? ? X ? ?h( x) ? F[ x], h( A) X ? h(? ) X 。

(8)结论:课本 P242 定理 7.8。 (9)结论:课本 P242 推论。 (10)结论:课本 P243 定理 7.10。 (11)结论:实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。 题型 6. 关于二次型的常用结论: (1)定义:二次型的矩阵。 (2)定义:相合关系。 (3)实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。 (4)定义:课本 P263 定义 7.12 与 P269 定义 7.12 (5)实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。 (6)结论:课本 P264 定理 7.17、7.18、7.19 (7)结论:课本 P269 定义下面的内容

重要建议:最好把课本第七章内容全部记住!


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