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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第1课时 变化率与导数


高考调研

高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第三章 导数及其应用

第三章

导数及其应用

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第1课时 变化率与导数

第三章

第1课时

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2012· 考纲下载

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1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加 速度、光滑线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数 的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.

第三章

第1课时

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2. 熟记基本导数公式(c, xm(m 为有理数), sinx, cosx, ex,ax,lnx,logax 的导数),掌握两个函数和、差、积、 商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单 函数的导数.

第三章

第1课时

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请注意!

本章中导数的概念,求导运算、函数的单调性、极 值和最值是重点知识,其基础是求导运算,而熟练记忆 基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算 的基础,复习中要引起重视.

第三章

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第三章

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1.导数的定义 Δy 如果Δx→0时,Δy与Δx的比 (也叫函数的平均变化 Δx Δy 率)有极限(即 无限趋近于某个常数),我们就把这个极 Δx 限值叫做 函数y=f(x)在x=x0处的导数 ,记作y′|x=x0,即
f?x0+Δx?-f?x0? li m Δx f′(x0)= Δx→0

第三章

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2.导函数

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如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导 数,此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导 数f′(x),从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数 f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数,简称导数,也 f?x+Δx?-f?x? . Δy li m Δx →0 可记作y′.即f′(x)=y′=li m Δx= Δx Δx→0

第三章

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3.导数的几何意义

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(1)切线的斜率:设函数y=f(x)在点x0处可导,那么

它在该点的导数 等于函数所表示的曲线在相应点
M(x0,f(x0))处的切线斜率. (2)瞬时速度:设s=s(t)是位移函数,则 示物体在t=t0时刻的瞬时速度. (3)加速度:设v=v(t)是速度函数,则 v′(t0) 物体在t=t0时刻的加速度. 表示

s′(t0) 表

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4.常见基本初等函数的导数公式和常用的导数计算 公式: C′= 0 (C为常数);(xn)′= nxn-1 ,(n∈Q); (sinx)′= cosx ;(cosx)′= -sinx (ex)′= ex ;(ax)′= axlna (a>0,且a≠1).

1 1 log e x ;(logax)′= x a (a>0,且a≠1); (lnx)′=

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v′(x). · 法则1:[u(x)± v(x)]′= u′(x)±

· 法则2:[u(x)v(x)]′= u′(x)v(x)+u(x)v′(x). u′?x?v?x?-u?x?v′?x? (v(x)≠0) u?x? v2?x? · 法则 3:[ ]′= v?x? 5.复合函数的导数 设u=θ(x)在点x处可导,y=f(u)在点u=θ(x)处可
u′ 导,则复合函数f[θ(x)]在点x处可导,且f′(x)=f′u· x.

第三章

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1.设f(x)=x3-8x, f?2+Δx?-f?2? 则li m =______. Δx Δx→0 f?x?-f?2? li m =______. x-2 x→2 f?2-k?-f?2? li m =______. 2k k→0

答案

4

4

-2
第三章 第1课时

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解析

f′(x)=3x2-8,f′(2)=4.

f?2+Δx?-f?2? lim =f′(2)=4. Δx Δx→0 f?x?-f?2? f[2+?x-2?]-f?2? lim = lim =f′(2)=4. x-2 x-2 x→2 x-2→0 f?2-k?-f?2? f?2-k?-f?2? 1 lim =-2 lim 2k -k -k→0 k→0 1 =-2f′(2)=-2.

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2.计算: (1)(x4-3x3+1)′=______ (2)(xe2x)′=______ (3)(sinx· cosx)′=______

答案 4x3-9x2

e2x+2xe2x

cos2x

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14 3. 物体运动方程为 s= t -3, t=5 时的瞬时速度 则 4 为( ) A.5 C.125 B.25 D.625

答案 C

解析 s′|t=5=t3| t=5=125.

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4.(2010· 江西)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)= 2,则f′(-1)=( A.-1 C.2 ) B.-2 D.0

答案 B

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解析 由f(x)=ax4+bx2+c得f′(x)=4ax3+2bx,又 f′(1)=2,所以4a+2b=2,即2a+b=1,f′(-1)=- 4a-2b=-2(2a+b)=-2.故选B.

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5.(2011· 山东文)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切 线与y轴交点的纵坐标是( A.-9 C.9 ) B.-3 D.15

答案 C

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解析 y′=3x2,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率 是3,故切线方程是y-12=3(x-1),令x=0得y=9.

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题型一

变化率与导数定义

例1 已知函数y= x2+1 ①求函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率. ②求函数在x=1处的导数.

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2 【解析】 ①Δy= ?x0+Δx?2+1- x0+1

?Δx?2+2x0·Δx = , 2 2 ?x0+Δx? +1+ x0+1 2x0+Δx Δy ∴Δx= . 2 2 ?x0+Δx? +1+ x0+1

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②Δy= ?1+Δx?2+1- 1+1 ?Δx?2+2Δx = , 2 ?1+Δx? +1+ 2 Δx+2 Δy Δx= ?1+Δx?2+1+ 2, Δy 2 ∴li m = . 2 →0 Δx Δx

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2x0+Δx Δy 【答案】 (1) = Δx ?x0+Δx?2+1+ x2+1 0

2 (2) 2

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探究1 (1)利用导数定义求函数的导数时,先算函 Δy f?x+Δx?-f?x? 数的增量Δy,再算比值Δx= ,再求极限 Δx Δy y′=li m ; Δx Δx→0 (2)导数定义中,x在x0处增量是相对的,可以是Δx, 也可以是2Δx等,做题要将分子分母中增量统一为一 种.

第三章

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f?x0+Δx?-f?x0? (3)导数定义li m =f′(x0),也即 Δx Δx→0 f?x?-f?x0? li m =f′(x0). x→x0 x-x0

第三章

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f?x? 思考题1 (1)已知f(x)=ln(1+x),求lim . x x→0

【解析】 1.

f?0+x?-f?0? f?x? lim =lim =f′(0)= x x →0 →0 x x

【答案】 1

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(2)已知f′(a)=3,则 lim
h →0

f?a+3h?-f?a-h? = h

____________.

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[f?a+3h?-f?a?]-[f?a-h?-f?a?] 【解析】 原式=lim h h→0 =3f′(a)+f′(a)=4f′(a)=12.

【答案】 12

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题型二
例2 求下列函数的导数 (1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y=x2sinx; (3)y=3xex-2x+e; lnx (4)y= 2 x +1 (5)y=e2xcos3x; (6)y=ln x2+1

导数运算

第三章

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【解析】 (1)方法一 y=(3x3-4x)(2x+1) =6x4+3x3-8x2-4x,∴y′=24x3+9x2-16x-4. 方法二 y′=(3x3-4x)′· (2x+1)+(3x3-4x)(2x+ 1)′=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)· 2 =24x3+9x2-16x-4. (2)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.

第三章

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(3)y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3·x+3xex-2xln2 e =(ln3+1)· x-2xln2. (3e) ?lnx?′?x2+1?-lnx· 2+1?′ ?x (4)y′= ?x2+1?2 1 2 ?x 2x lnx x· +1?-lnx· x2+1-2x2· = = . ?x2+1?2 x?x2+1?2

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(5)y′=(e2x)′cos3x+e2x(cos3x)′ =2e2xcos3x+e2x(-3sin3x) =e2x(2cos3x-3sin3x). (6)设u= x2+1,v=x2+1, 1 1 2x x y′= 2 ·· 2 2 x +1=x2+1 x +1 1 1 2x x 2 或y=2ln(x +1),y′=2·2 = 2 . x +1 x +1

第三章

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探究2 则.

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(1)由本例要求熟记初等函数导数公式及法

(2)求复合函数的导数时,易搞不清如何复合而出 错,应先分析复合函数的结构,引入中间变量u将复合函 数分解为基本初等函数或较简单函数y=f(u)和u=φ(x), 然后用复合函数的求导法则求导,有时一个函数不能一 次分解完成,需要进行多步分解. (3)求导数时应先化简函数为初等函数的和差.

第三章

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思考题2 求下列函数的导数: ①f(x)=ln(x-1)2; π ②f(x)=cos( -2x); 3 ③f(x)=e-2xsin(2x).

第三章

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2?x-1? 2 ①f′(x)= . 2= ?x-1? x-1

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【解析】

π ②f′(x)=-sin(3-2x)(-2) π π =2sin(3-2x)=-2sin(2x-3). ③f′(x)=e-2x(-2)sin(2x)+2e-2xcos2x =-2e
-2x

sin(2x)+2e
-2x

-2x

cos2x

=-2 2e

π sin(2x-4).

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题型三

导数的几何意义

1 3 4 例3 已知曲线y=3x +3. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.

第三章

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【解析】 (1)∵y′=x2, ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4, ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0; 1 3 4 (2)设曲线y= x + 与过点P(2,4)的切线相切于点 3 3 1 3 4 2 A(x0,3x0+3),则切线的斜率k=y′| x=x0=x0.

第三章

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1 3 4 ∴切线方程为y-( x0+ )=x2(x-x0), 0 3 3 2 3 4 2 即y=x0· x0+ . x- 3 3 2 3 4 2 ∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3
3 即x0-3x2+4=0,解得x0=-1或x0=2. 0

故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0;

第三章

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2 (3)设切点为(x0,y0).故切线的斜率为k=x 0 =1,解

5 得x0=± 1,故切点为(1,3),(-1,1); 5 故所求切线方程为y- =x-1和y-1=x+1. 3 即3x-3y+2=0和x-y+2=0.

第三章

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探究3 ①在求曲线的切线方程时,注意两个“说 法”:求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线 方程,在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的 切线,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点. ②求过点P的曲线的切线方程的步骤为:先设出切 点坐标为(x0,y0),然后写出切线方程y-y0=f′(x0)· (x- x0),最后代入点P的坐标,求出(x0,y0).

第三章

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思考题3 (1)设函数f(x)=g(x)+lnx,曲线y=g(x)在x =1处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在x=1处切 线的斜率为________.
【解析】 由题意知,g(1)=3,g′(1)=2, 1 ∴f′(1)=g′(1)+1=3.

第三章

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(2)求过点(1,-1)的曲线y=x3-2x的切线方程.
【解析】 设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为
2 f′(x0)=3x0-2,

故切线方程为y-y0=(3x2-2)(x-x0), 0 即y-(x3-2x0)=(3x2-2)(x-x0), 0 0 又知切线过点(1,-1),代入上述方程, 得-1-(x3-2x0)=(3x2-2)(1-x0), 0 0 1 解得x0=1或x0=-2,
第三章 第1课时

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故所求的切线方程为y+1=x-1 5 或y+1=-4(x-1), 即x-y-2=0或5x+4y-1=0.

第三章

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1.求f(x)在x=x0处的导数f′(x0),有两种方法: f?x0+Δx?-f?x0? ①定义法:f′(x0)=li m Δx Δx→0 ②利用导函数求值,即先求f(x)在(a,b)内的导函数 f′(x),再求f′(x0).

第三章

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2.求复合函数的导数时,应选好中间变量,将复合 函数分解为几个基本函数,然后从外层到内层依次求 导. 3.若f(x)在x=x0处存在导数,则f′(x)即为曲线f(x) 在点x0处的切线斜率. 4.求曲线的切线方程时,若不知切点,应先设切 点,列关系式求切点.

第三章

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