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2015-2016学年高中数学 第1章 1.3第1课时 利用导数判断函数的单调性课时作业 新人教B版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 第 1 章 1.3 第 1 课时 利用导数判断函数的 单调性课时作业 新人教 B 版选修 2-2

一、选择题 1.函数 f(x)=(x-3)e 的单调增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) [答案] D [解析] f′(x)=(x-3)′e +(x-3)(e )′=(x-2)e ,令 f′(x)>0,解得 x>2,故 选 D. 2.函数 f(x)=2x-sinx( A.是增函数 B.是减函数 C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上减 D.在(0,+∞)上减,在(-∞,0)上增 [答案] A [解析] f′(x)=2-cosx>0 在(-∞,+∞)上恒成立.故选 A. 3.函数 y=xlnx 在区间(0,1)上是( A.单调增函数 B.单调减函数 ) )
x x x x

) B.(0,3) D.(2,+∞)

? 1? ?1 ? C.在?0, ?上是减函数,在? ,1?上是增函数 ? e? ?e ? ? 1? ?1 ? D.在?0, ?上是增函数,在? ,1?上是减函数 e ? ? ?e ?
[答案] C 1 [解析] f′(x)=lnx+1,当 0<x< 时,f′(x)<0, e 1 当 <x<1 时,f′(x)>0. e

? 1? ?1 ? ∴函数在?0, ?上是减函数,在? ,1?上是增函数. ? e? ?e ?
4.函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

1

[答案] D [解析] 当 x∈(-∞,0)时,f(x)为减函数,则 f′(x)<0,当 x∈(0,+∞)时,f(x) 为减函数,则 f′(x)<0.故选 D. 5.三次函数 y=f(x)=ax +x 在 x∈(-∞,+∞)内是增函数,则( A.a>0 C.a<1 [答案] A [解析] 由题意可知 f′(x)≥0 恒成立,即 3ax +1≥0 恒成立,显然 B,C,D 都不能 使 3ax +1≥0 恒成立,故选 A. 6.若在区间(a,b)内有 f′(x)>0,且 f(a) ≥0,则在(a,b)内有( A.f(x)>0 C.f(x)=0 [答案] A [解析] ∵在区间(a,b)内有 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在区间(a,b)内是递增的, ∵f(a)≥0,∴f(x)>f(a)≥0.故选 A. 7.(2015·湖南文,8)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( ) B.f(x)<0 D.不能确定 )
2 2 3

)

B.a<0 1 D.a< 3

2

A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 [答案] A [解析] 求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.函 数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),函数的定义域为(-1,1),函数 f(-x)=ln(1-x)-ln(1 + x) =- [ln(1 + x) - ln(1 - x)] =- f(x) ,所以函数是奇函数. f′(x) = 2 2,已知在(0,1)上 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,1)上单调递增,故选 A. 1-x 8 .设函数 F(x) = 1 1 + = 1+x 1-x

f?x?
e
x

是定义在 R 上的函数,其中 f(x) 的导函数 f ′(x) 满足 )

f ′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则(
A.f(2)>e f(0),f(2015)>e B.f(2)<e f(0),f(2015)>e C.f(2)<e f(0),f(2015)<e D.f(2)>e f(0),f(2015)<e [答案] C [解析] ∵函数 F(x)=
2 2 2 2 2015

f(0) f(0) f(0) f(0)

2015

2015

2015

f?x?
e
x

的导数

f ′?x?ex-f?x?ex f ′?x?-f?x? F′(x)= = <0, x 2 x
?e ?
x

e

∴函数 F(x)=

f?x?
e

是定义在 R 上的减函数, < ,故有 f(2)<e f(0).
2

∴F(2)<F(0),即

f?2? f?0?
e
2

e

0

同理可得 f(2015)<e

2015

f(0).故选 C.

二、填空题 9.函数 f(x)=x -15x -33x+6 的单调减区间为________. [答案] (-1,11) [解析] 本题主要考查求导公式和单调区间.
3 2

f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),
由(x-11)(x+1)<0 得-1<x<11 ∴f(x)的单调减区间为(-1,11).
3

10.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,则实数 a 的取值 范围为________. [答案] a≥1 lnx+1 [解析] 由 f(x)>1 得 ax-lnx-1>0,即 a> 在(1,+∞)上恒成立.设 g(x)=

x

lnx+1 lnx ,g′(x)=- 2 .

x

x

∵x>1,∴g′(x)<0,∴g(x)单调递减. 所以 g(x)<g(1)=1 在区间(1,+∞)恒成立. 11.若函数 y=x -ax +4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x -2ax,由题意知 3x -2ax≤0 在区间(0,2)内恒成立, 3 即 a≥ x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2 三、解答题 12. (2015·会宁县校级期中)已知函数 f(x)=ax +bx (x∈R)的图象过点 P(-1,2), 且 在点 P 处的切线恰好与直线 x-3y=0 垂直. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)∵y=f(x)过点 P(-1,2),且在点 P 处的切线恰好与直线 x-3y=0 垂直,
? ?-a+b=2 ∴? ?3a-2b=-3 ?
3 2 2 2 3 2



∴a=1,b=3, ∴f(x)=x +3x . (2)由题意得:f′(x)=3x +6x=3x(x+2)>0, 解得 x>0 或 x<-2. 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞). 即 m+1≤-2 或 m≥0, 故 m≤-3 或 m≥0.
2 3 2

一、选择题 1.已知 f(x)=-x -x,x∈[m,n],且 f(m)·f(n)<0,则方程 f(x)=0 在区间[m,n] 上( ) A.至少有三个实数根
3

4

B.至少有两个实根 C.有且只有一个实数根 D.无实根 [答案] C [解析] ∵f′(x)=-3x -1<0, ∴f(x)在区间[m,n]上是减函数,又 f(m)·f(n)<0,故方程 f(x)=0 在区间[m,n]上 有且只有一个实数根.故选 C. 2.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象 可能为( )
2

[答案] D [解析] 函数 y=f(x)在区间(-∞,0)上单调增,则导函数 y=f′(x)在区间(-∞, 0)上函数值为正,排除 A、C,原函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上先增再减,最后再增,其 导函数 y=f′(x)在区间(0,+∞)上函数值先正、再负、再正,排除 B,故选 D. 3.(2015·新课标Ⅱ理,12)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0, 当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(-1,0) [答案] A [解析] 记函数 g(x)= B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞) )

f?x? xf′?x?-f?x? , 则 g′(x)= , 因为当 x>0 时, xf′(x) x x2

-f(x)<0,故当 x>0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)单调递减;又因为函数 f(x)(x ∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶函数,所以 g(x)在(-∞,0)单调递减,且 g(-1)=g(1) =0.当 0<x<1 时,g(x)>0,则 f(x)>0;当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,综上所述,使得

f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选 A.
1 x 1 4.已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导函数 f′(x)< ,则 f(x)< + 的解 2 2 2 集为( ) B.{x|x<-1} D.{x|x>1}
5

A.{x|-1<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1}

[答案] D 1 x+1 [解析] 该题给出条件 f′(x)< ,要求学生能够联想到不等式 f(x)< 与它的关系, 2 2 从而转化为研究函数的单调性问题. 设 F(x)=f(x)- 是减函数.而 F(1)=0,∴f(x)< 二、填空题 5.若函数 f(x)=x +x +mx+1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围是________.
3 2

x+1
2

1 , 则 F′(x)=f′(x)- <0, ∴F(x) 2

x+1
2

的解集为{x|x>1}.

?1 ? [答案] ? ,+∞? ?3 ?
[解析] f′(x)=3x +2x+m,依题意可知 f(x)在 R 上只能单调递增,所以 Δ =4- 1 12m≤0,∴m≥ . 3 6.已知函数 f(x)=x -ax -3x 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. [答案] (-∞,0] [解析] ∵f(x)=x -ax -3x,∴f ′(x)=3x -2ax-3,又因为 f(x)=x -ax -3x
2 3 2 2 3 2 3 2 2

在区间[1,+∞)上是增函数,f ′(x)=3x -2ax-3≥0 在区间[1,+∞)上恒成立,

a ? ? ≤1, ∴?3 ? ?f ′?1?=3×12-2a-3≥0,
故答案为(-∞,0].

解得 a≤0,

1 2 7. 若 f(x)=- x +bln(x+2)在(-1, +∞)上是减函数, 则 b 的取值范围是________. 2 [答案] b≤-1 [解析] f(x)在(-1,+∞)上为减函数,∴f ′(x)≤0 在(-1,+∞)上恒成立,∵

f ′(x)=-x+
立,∴b≤-1.

b b 2 ,∴-x+ ≤0,∵b≤x(x+2)=(x+1) -1 在(-1,+∞)上恒成 x+2 x+2

三、解答题 8.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x-lnx; (2)f(x)= +sinx+3. 2 1 1 [解析] (1)函数的定义域为(0, +∞), 其导数为 f′(x)=1- , 令 1- >0, 解得 x>1.

x

x

x

6

∴(1,+∞)是函数 f(x)的单调递增区间. 1 同理令 1- <0,解得 0<x<1.

x

∴(0,1)是 f(x)的单调递减区间. 1 (2)f′(x)= +cosx. 2 1 2π 2π 令 +cosx>0,解得 2kπ - <x<2kπ + (k∈Z), 2 3 3 2π 2π ∴(2kπ - ,2kπ + )(k∈Z)是 f(x)的单调递增区间. 3 3 1 2π 4π 令 +cosx<0,解得 2kπ + <x<2kπ + (k∈Z), 2 3 3 2π 4π ∴(2kπ + ,2kπ + )(k∈Z)是 f(x)的单调递减区间. 3 3 9.(2015·天津文,20)已知函数 f(x)=4x-x ,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求 证:对于任意的实数 x,都有 f(x)≤g(x). [解析] (1)由 f(x)=4x-x ,可得 f′(x)=4-4x , 当 f′(x)>0,即 x<1 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(1,+∞). 1 (2)设 P(x0,0),则 x0=4 ,f′(x0)=-12,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y= 3
4 3 4

f′(x0)(x-x0), 即 g(x)=f′(x0)(x-x0), 令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x)=f(x)-f′(x)(x
-x0), 则 F′(x)=f′(x)-f′(x0). 由于 f(x)=4-4x 在(-∞, +∞)单调递减, 故 F′(x) 在(-∞,+∞)单调递减.又因为 F′(x0)=0,所以当 x∈(-∞,x0)时,F′(x)>0,所以 当 x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0. 所以 F(x)在(-∞,x0)单调递增,在(x0,+∞)单调递减, 所以对任意的实数 x,F(x)≤F(x0)=0, 对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x).
3

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