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高三数学第一轮复习:圆锥曲线的综合应用知识精讲.doc


高三数学第一轮复习:圆锥曲线的综合应用
【本讲主要内容】
圆锥曲线的综合应用 直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线的定义、性质,与其它知识的联系

【知识掌握】 【知识点精析】
1、直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解 的情况讨论。 (1)若方程组消元后得到一个一元二次方程,则根据 ? 来讨论。 (2)若方程组消元后得到一个一元一次方程,则直线与圆锥曲线相交于一个公共点。 值得注意的是,直线与二次曲线只有一个公共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物 线与平行(或重合)于其对称轴的直线;双曲线与平行于渐近线的直线,它们都只有一个公 共点,但不相切,而是相交。 说明:在研究直线和圆锥曲线交点个数问题时,不要仅由 ? 来进行判断,一定要注意平 方项的系数对交点个数的影响。 (3)直线与圆锥曲线的位置关系,还可以利用数形结合,以形助数的方法解决。 2、弦长公式: 设弦 AB 端点坐标为 ? x1, y1 ?、 ? x2,y2 ? ,直线的斜率为 k ,则

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? 或 ?

AB ? 1 ?

1 1 ? 2 ? y1 ? y2 ? ?1 ? 2 ? ?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 。 2 ? k ? k ??

说明:涉及弦长问题时,利用弦长公式及韦达定理求解,涉及弦的中点及中点弦问题, 利用平方差法较为简单。 3、二次曲线求最值的方法: (1)代数法:列出函数式,利用“配方法、判别式法、不等式法”等代数方法求解。 几何法:利用二次曲线的几何性质结合图形迅速求解。 说明: 解答圆锥曲线综合问题时应根据曲线的几何特征, 熟练运用圆锥曲线的知识将曲 线的几何特征转化为数量关系(如方程、函数等) ,再结合代数、三角知识解答,解题时要 特别重视对数学思想方法的运用。 要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。 应用判别式, 可以确定直线和圆锥曲线的位 置关系,确定曲线的范围,求几何极值等。应用韦达定理,可以解相交时的弦长问题,弦的 中点问题,与线段的和与积有关的定值或最值问题。

【解题方法指导】
例 1、讨论 ? m ? 3? x ? ?5 ? m? y ? 1 表示的曲线。
2 2

[解析] (1)当 m<3 时, m ? 3 ? 0,5 ? m ? 0 ,曲线为焦点在 y 轴上的双曲线;

(2)当 m ? 3 时,方程为 2 y 2 ? 1 ,两条平行于 x 轴的直线; ( 3 )当 3 ? m ? 5 时, m ? 3 ? 0,m ? 5 ? 0 ,曲线为椭圆型,若 3 ? m ? 4 时,则

0 ? m ? 3 ? 5 ? m,

1 1 ? ? 0 ,曲线为焦点在 x 轴上的椭圆;若 m ? 4 时,曲线 m? 3 5? m

为圆 x 2 ? y 2 ? 1;若 4 ? m ? 5 时,曲线为焦点在 y 轴上的椭圆; (4)当 m ? 5 时, 2 x ? 1 ,两条平行于 y 轴的直线;
2

(5)当 m ? 5时,曲线为焦点在 x 轴上的双曲线。 评述:本题考查参数取值范围对曲线形状的影响,一般情况下按 x 2、y 2 的系数为 0 的 情况分类讨论。

1 2 x ? m ,点 A、B 及 P ? 2, 4? 均在抛物线上,且直线 2 PA、PB 的倾斜角互补,求证直线 AB 的斜率为定值。
例 2 、已知抛物线方程为 y ? ?

x2 [解析]将 P ? 2, 4? 代入抛物线方程得 m ? 6 ,∴抛物线方程为 y ? ? ? 6 。 2
设直线 PA 方程为 y ? 4 ? ?k ? x ? 2? ,则直线 PB 方程为 y ? 4 ? k ? x ? 2? ,把它们分 别代入方程得 x ? 2kx ? 4k ? 4 ? 0 和 x ? 2kx ? 4k ? 4 ? 0 。设 A? x1,y1 ?、B ? x2,y2 ? ,
2 2

则 x1 ? 2 ? 2k,x2 ? 2 ? ?2k , k AB ?

y1 ? y2 ? 4 ? kx1 ? 2k ? ? ? 4 ? kx2 ? 2k ? ? ? 2 为定值。 x1 ? x2 x1 ? x2

评述:本题考查定值问题。一般解决定点、定值问题,常用方法有两种:①从特殊入手, 求含变量定点(定值) ,再证明这个点(值)与变量无关;②直接推理、计算,并在计算的 过程中消去变量,从而得到定点(定值) 。 例 3、如图,某农场在 P 处有一堆肥料,今要把这堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到庄稼地

ABCD 中去,已知 PA ? 100m, PB ? 150m , ?APB ? 60? ,能否在庄稼地 ABCD 中确
定一条界线,使位于界线一侧的点,沿道路 PA 送肥较近,而另一侧的点,沿道路 PB 送肥 较近,如果能,请说出这条界线是一条什么曲线,并求出其方程。

D A

C

B

P

[解析]庄稼地 ABCD 中的点可分为三大类:第一类沿 PA 送肥较近;第二类沿 PB 送 肥较近,第三类沿 PA 或 PB 送肥一样远近。由题设知,界线是第三类点的轨迹。设 M 是 界线上的任一点,则 PA ? MA ? PB ? MB ,即 MA ? MB ? PB ? PA ? 50 (定值) , 故所求界线是以 A、B 为焦点的双曲线的一支。以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐 标原点,建立平面直角坐标系,则所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 , 其 中 a=25 , a 2 b2

2c=|AB| ? 1002 ?1502 ? 2 ?100 ?150cos60? ? 50 7 ,即 c ? 25 7 ,b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3750 ,∴所求 的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1。 625 3750

评述:解决与圆锥曲线有关的应用问题的关键是建立坐标系,合理建立曲线模型,然后 转化为相应的数学问题,作出定量或定性的分析与判断。

【考点突破】
【考点指要】 圆锥曲线的综合应用是历年高考命题的热点,每年都要考,考点中要求掌握椭圆、双曲 线、抛物线的定义,椭圆、双曲线、抛物线的标准方程以及它们的几何性质,三类曲线和直 线的位置关系。 椭圆、 双曲线、 抛物线的定义是每年的必考内容, 多出现在选择题和填空题, 分值大约是 9~10 分;直线和圆锥曲线的位置关系,出现在综合题中,分值大约 12~13 分, 考查综合能力的应用,近几年常与平面向量知识相综合,体现了较强的综合性。 在选择题、填空题中,主要考查曲线的几何性质及求简单的曲线方程等基础知识、基础 技能、基本方法,每年都有考题。解答题必有一题是解析几何题,综合考查学生的“四大” 能力,常作为把关题或压轴题,其重点是直线与圆锥曲线的位置关系、求曲线的方程、关于 圆锥曲线的最值问题,考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理诸方面 的能力,对思维能力,思维方法的要求较高,一般学生不易解答完整。 考查通常分为三个层次: 层次一:考查圆锥曲线的定义、性质的应用; 层次二:考查直线与圆锥曲线的位置关系; 层次三:考查圆锥曲线与方程、函数、不等式、平面向量、数列等知识的综合问题; 层次四:考查圆锥曲线的实际应用问题。 解决问题的基本方法和途径:配方法、判别式法、不等式法、待定系数法、轨迹方程法、 数形结合法、分类讨论法、等价转化法、构造函数法。

【典型例题分析】
例 4、已知三点 P ?5,2?、F , 0?、F2 ? 6, 0? 。 1 ? ?6 (1)求以 F1、F2 为焦点,且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、F1、F2 关于直线 y ? x 的对称点分别为 P?、F1?、F2? ,求以 F1?、F2? 为焦 点且过点 P? 的双曲线的标准方程。

[解析] (1) 由题意, 可设所求椭圆的标准方程为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 其半焦距 c ? 6 。 a 2 b2
2

∵ 2a ? PF1 ? PF2 ? 11 ? 2 ? 1 ? 2 ? 6 5 , ∴ a ? 3 5 , b ? a ? c ? 45 ? 36 ? 9 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ?1。 所以所求椭圆的标准方程为 45 9
(2)点 P ?5,2?、F , 0?、F2 ? 6, 0? 关于直线 y ? x 的对称点分别为 1 ? ?6

P? ? 2,5 ?、F1? ? 0, ? 6 ?、F2? ? 0, 6? 。

x2 y2 设所求双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a1 ? 0,b1 ? 0) , a1 b1
由题意知,其半焦距 c1 ? 6 , ∵ 2a1 ? P?F1? ? P?F2? ?

112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5 ,

∴ a1 ? 2 5 , b12 ? c12 ? a12 ? 36 ? 20 ? 16 , 所以所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 ? ?1。 20 16

评述:本题考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算 能力。 例 5、已知抛物线 C : y ? x ,从原点 O 出发且斜率为 k0 的直线 l0 交抛物线 C 于一异于 O
2

点的点 A 1 作 一 斜 率 为 k1 的 直 线 l1 交 抛 物 线 C 于 一 异 于 A 1 的点 1 ? x1 , y1 ? , 过 A

A2 ? x2, y2 ? , ? , 过 An 点 作 一 斜 率 为 kn 的 直 线 ln 交 抛 物 线 C 于 一 异 于 An 的 点 An?1 ? xn?1, yn?1 ? ,且知 kn ? k0n?1(k0 ? 0且k0 ? 1) 。
(1)求 x1、x2、x3 以及 xn 与 xn ?1 之间的递推关系; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式; (3)在 0 ? k 0 ? 1 时,求 lim yn 的值。
n ??

[解析] ( 1 )过 O ? 0, 0 ? 且斜率为 k0 的直线 l0 的方程 y ? k0 x ,它与 y ? x2 交于点

A1 ? k0, k02 ? ,同理可得 A2 ? k1,k12 ? 、A3 ? k2,k2 2 ? 。
2 3 故 x1 ? k0,x2 ? k1 ? k0 。∵ kn ? ,x3 ? k2 ? k0

yn ?1 ? yn 且 yn ? xn 2,yn?1 ? xn?12 , xn ?1 ? xn

n?1 n ?1 ∴ kn ? xn?1 ? xn ,又 kn ? k0 ,故有 xn?1 ? xn ? k0 。

n?1 (2)由 xn?1 ? xn ? k0 得

xn?1 k k ? 1?x ? 0 ?? ? n ? 0 ?, n ?1 n k0 1 ? k0 k0 ? k0 1 ? k 0 ?

∴?

? xn k ? 1 1 为首项的等比数列, ? 0 ? 是以 ? 为公比, n k0 1 ? k0 ? k0 1 ? k0 ?
n ?1

x k 1 ? 1? ? 0 ? ∴ n ?? ? n k0 1 ? k0 1 ? k0 ? k0 ?
2

k0n ?1 ? ? ?1? k0 ,即 xn ? 。 1 ? k0
n

n n ?1 ? k0 ? ? ?1? k0 ? 1 ?k 2n? 2 ? 2 ? ?1?n k0 n? 2 ? k0 2 ? , (3)∵ yn ? xn ? ? ? ? 2 ? 0 ? 1 ? k0 ? ? ? ? ?1 ? k0 ?

2

? k ? 又 0 ? k 0 ? 1 ,∴ lim yn ? ? 0 ? 。 n ?? ? 1 ? k0 ?
评述: 圆锥曲线的综合性试题能在圆锥曲线的框架中考查对其他知识的理解、 应用程度, 也能在其中考查到圆锥曲线自身的知识的运用情况。 解答这部分试题, 需要有较强的代数运 算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换 ,并在运算 过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整。

2

【达标测试】
一、选择题: 1、 椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c , 直线 y ? 2 x 与椭圆一个交点的横坐标 a 2 b2


恰为 c ,则椭圆的离心率为( A.

2? 2 2

B.

2 2 ?1 2

C.

3 ?1

D.

2 ?1

2、已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光 线必经过椭圆的另一个焦点。 今有一个水平放置的椭圆型台球盘, 点 A、B 是它的两个焦点, 长轴长为 2 a ,焦距为 2c 。当静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线击出, 经椭圆壁反弹后再回到点 A 时,小球经过的路程是( ) A. 4 a B. 2 ? a ? c ? C. 2 ? a ? c ? D. 以上三种情况都有可能

3、图中的椭圆 C1、C2 与双曲线 C3、C4 的离心率分别为 e1、e2、e3、e4 ,则它们的大小 关系是( ) B. e2 ? e1 ? e3 ? e4 D. e2 ? e1 ? e4 ? e3

A. e1 ? e2 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e4 ? e3

y C1 O C2 C4 C3

x

2 2 4、对于每个自然数 n ,抛物线 y ? n ? n x ? ? 2n ? 1? x ? 1 与 x 轴交于 An , Bn 两点,以

?

?

An Bn 表示两点间的距离,则 A1B1 ? A2 B2 ????? A1999 B1999 的值是(
A.



1998 1999

B.

2000 1999

C.

1998 2000

D.

1999 2000

5、P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 右支上一点,F1、F2 分别是其左、 右焦点, a 2 b2
) D. a ? b ? c

且焦距为 2c ,则 ?PF1 F2 的内切圆圆心的横坐标为( A. a 6、若双曲线 ( A. ) B. b C. c

x2 y 2 ? ? 1 的一条准线与抛物线 y 2 ? 8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 8 b2

2

B. 2 2

C. 4

D. 4 2

7、设 a ? 0,f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ? x ? 在点 P x0,f ? x0 ? 处切线的倾斜角 的取值范围为 ? 0, ? ,则 P 到曲线 y ? f ? x ? 对称轴距离的取值范围为(

?

?

? ?? ? 4?



A. ?0, ? a

? 1? ? ?

B. ?0, ? 2a

? ?

1? ?

C. ?0,

? ?

b ? 2a ? ?

D. ?0,

? ?

b ?1 ? 2a ? ?

8、若椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,线段 F1F2 被抛物线 a 2 b2


3 的两段,则此椭圆的离心率为( y 2 ? 2bx 的焦点分成 5:

A.

16 17

B.

4 17 17

C.

4 5

D.

2 5 5

二、填空题: 9、从集合 ?1 , 2, 3, ???, 11? 中任选两个元素作为椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 中的 m 和 n ,则能组 m2 n2

成落在矩形区域 B ? {( x, y)|| x| ? 11且| y| ? 9} 内的椭圆个数为_____。 10、若动点 ? x,y ? 在曲线 __。 11、直线 l:x ? y ? 9 ? 0 ,以椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 12 的焦点为焦点作另一椭圆,与直线 l 有 公共点且使所作椭圆长轴最短时,公共点的坐标是_____。 12、 对任意实数 k , 直线 y ? kx ? b 与椭圆 ? 则 b 的取值范围是_____。 三、解答题: 13、已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q ,过 Q 作直线 l 垂直于 x 轴,动点 P 在直线 l 上,且

x2 y2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为___ 4 b

? x ? 3 ? 2 cos? ( 0 ? ? ? 2?) 恒有公共点, y ? 1 ? 4 sin ? ?

??? ? ???? OP ? OQ ,记点 P 的轨迹为 C1 。
(1)求曲线 C1 的方程; (2)设直线 l 与 x 轴交于点 A ,且 OB ?PA OB 置关系,并证明你的结论。 14、直线 l:ax ? y ? 1 ? 0 与曲线 C:x ? 2 y ? 1 相交于 P、Q 两点。
2 2

??? ?

??? ? ??? ?

?

? ? 0 ,试判断直线 PB 与曲线 C1 的位

?

(1)当实数 a 为何值时, PQ ? 2 ? 1 ? a ;
2

(2)是否存在 a 的值,使得以 PQ 为直径的圆经过原点?若存在,求出 a 的值;若不 存在,请说明理由。

x2 15、 如图, 已知过点 D ? ?2, 点M 是 0? 的直线 l 与椭圆 ? y 2 ? 1交于不同的两点 A、B , 2
弦 AB 的中点。 (1)若 OP ? OA ? OB ,求点 P 的轨迹方程;

??? ?

??? ? ??? ?

(2)求

MD MA

的取值范围。

y P A D M O B

l

x

【综合测试】
一、选择题: 1、过抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点 F ,作互相垂直的两条焦点弦 AB 和 CD ,则

AB ? CD 的最小值为(
A. 19a

) C. 17a D. 16a

B. 8 5

x2 y2 x2 y2 2、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1 (m ? 0, a b m n

n ? 0) 有相同的焦点 ? ?c, 0? 和 ? c, 0 ? ,若 c 是 a 与 m 的等比中项, n2 是 2m2 与 c2 的等差
中项,则椭圆的离心率为( A. ) C.

1 2

B.

1 4

2 2

D.

3 3

x2 y 2 ? ? 1? mn ? 0 ? 的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 3、双曲线 m n

y 2 ? 4x 的焦点重合,则 mn 的值为(
A.

) C.

3 16

B.

3 8

16 3

D.

8 3

4、设双曲线以椭圆 的渐近线的斜率为( A. ?2 5、椭圆 C1: ?

x2 y 2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线 25 9
) B. ?

4 3

C. ?

1 2

D. ?

3 4

x2 4

y2 ? 1 的左准线为 l ,左、右焦点分别为 F1、F2 ,抛物线 C2 的准线为 l , 3

焦点是 F2 , C1 与 C2 的一个交点为 P ,则 PF2 的值等于( A.

) D. 8 )

4 3

B.

8 3

C. 4

6、若 x、y ? R ,且 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,则以下不等式中成立的是( A. x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0

7、 若一条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形,则我们称此曲线为双重对称曲线。 下列 四条曲线中,双重对称曲线的条数是( ) (1)

y 2 x2 ? ?1 4 5

(2) y ? tan x

(3) y ? 2cos ? 2 x ? A. 1

? ?

??
? 3?
B. 2
2

(4) y ? 2 x ? 1
2

C. 3

D. 4

8、已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一点,设点 P 到此抛物线的准线的距离为 d1 ,到直线

x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离为 d2 ,则 d1 ? d2 的最小值是(
A. 5 B. 4 C.



11 5 5

D.

11 5

二、填空题: 9、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的准线方程是_____, P 是此双曲线上任一点,过点 P 作实 4 5

轴的平行线,交两条渐近线于 Q、R 两点,则 PQ ? PR 等于定值,这个定值是_____。

10、过原点的直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于 A、B 两点, F1、F2 为椭圆的焦点,则四边形 8 4

AF1BF2 面积的最大值是_____。
11、下列图中的多边形均为正多边形, M 、N 是所在边上的中点,双曲线均以图中的 、 (2) 、 (3)中的双曲线的离心率分别为 e1、e2、e3 ,则离心率的 F1、F2 为焦点,设图(1) 大小关系是_____。

M F1 ( 1)

N F2 F1

M

N F2

F1

F2

(2 )

( 3)

12、将一张坐标纸折叠一次,使点 A ? 0, 5? 与点 B ? 4, 3? 重合,则折痕所在的直线 l 的方程 为_____,又若椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 2ax ? 8 y ? a2 ? 0 的左顶点在直线 l 上,则 a 的值为_ ____。 三、解答题: 13、已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点, 4

而 C2 的左、右顶点分别为 C1 的左、右焦点。 (1)双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点, 且 l 与 C2 的 两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB?6 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围。 14、已知常数 a>0,向量 m ? ? 0,a ?, ? a ? ,以 m ? ? n 为方向 n ? ?1, 0 ? ,经过定点 A? 0, 向量的直线与经过定点 B ? 0, a ? ,以 n ? 2? m 为方向向量的直线相交于点 P ,其中 ? ? R 。 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; M ? 0,

??? ? ??? ?

??

?

??

?

?

??

? ? ?

? 2? 2? 、N ? 0, ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

(2)若 a ? 围。

???? ? ???? 2 ,过 E ? 0,1? 的直线 l 交曲线 C 于 M 、N 两点,求 EM ? EN 的取值范 2
2 2

15、直线 l : y ? kx ? 1 和双曲线 x ? y ? 1的左支交于 A、B 两点,直线 m 过点 P ? ?2, 0? 和 AB 的中点 M ,求 m 在 y 轴上的截距 b 的取值范围。

达标测试答案
一、选择题: 1、 [答案]D [解析] 直线与椭圆交点 P 的横坐标为 c , 设 P? c, y
0

? ,代入直线 y ? 2 x ,得 y0 ? 2c 。
2

b2 b2 c ?c? 2 2 2 P 点代入椭圆得 y0 ? , ∴ 2c ? 即 2ac ? a ? c , 两边同除以 a , 得 2 ? 1? ? ? , a a a ?a?
得e ?

c ? 2 ?1。 a

2、 [答案]D [解析] 击出后第一次触壁可以是近焦点的一长轴端点, 也可以是远焦点的一长轴端点, 还可以是异于端点的一个点,三种情况下分别为 2 ? a ? c ? 、 2 ? a ? c ? 和 4 a 。 3、 [答案]B [解析]∵ C1、C2 是椭圆,∴ e ? ? 0,1? ,∵ C3、C4 是双曲线,∴ e ? ?1, ?? ? 。 比较 C1、C2 ,∵ a 相等而 C1 中的 b < C2 中的 b ,∴ C1 中的 c > C2 中的 c ,∴ C1 中有 e >

C2 中的 e 即 e1 ? e2 。同理 C4 的虚轴长> C3 的虚轴长,而实轴长均为 a ,∴ C4 的焦距> C3
的焦距,∴ e4 ? e3 ,综合而得 e2 ? e1 ? e3 ? e4 。 4、 [答案]D
2 2 ? ? y ? ? n ? n ? x ? ? 2n ? 1? x ? 1 2 2 [解析]由已知得 ? ,∴ ? n ? n ? x ? ? 2n ? 1? x ? 1 ? 0 , ? ?y ? 0

解得 x1 ?

1 1 , x2 ? 。 n ?1 n

因此 An Bn ? x2 ? x1 ?

1 1 1 , ? ? n n ? 1 n ? n ? 1?
? ? 1? ?1 1? 1 ? 1999 ? 1 。 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? 2? ? 2 3? ? 1999 2000 ? 2000

∴ A1 B1 ? A2 B2 ? ??? ? A1999 B1999 ? ?1 ?

5、 [答案]A [ 解 析 ] 内 切 圆 圆 心 M 到 各 边 的 距 离 分 别 为 MA、MB、MC , 则 有

CF1 ? AF1 , BF2 ? AF2 , PC ? PB ,因此 PF1 ? PF2 ? CF1 ? BF2 ? AF1 ? AF2 ? 2a 。又
AF1 ? AF2 ? 2 ,∴ AF1 ? a ? c ,因此 OA ? AF1 ? OF1 ? a ,故 M 点横坐标为 a 。

y C M A P B F2 x

O F1

6、 [答案]A

a2 c 4 ? ?2 ? c ? 4 ,∴ e ? ? ? 2。 [解析]由题意得 ? c a 2 2
7、 [答案]B [解析]∵ f ? ? x ? ? 2ax ? b ,∴ f ? ? x0 ? ? 2ax0 ? b ,∵切线的倾斜角 ? ? ? 0, ? , ∴ tan ? ??01 , , c ? 。而 f ? ? x0 ? ? 2ax0 ? b ??01 ? ,也就是 0 ? 2ax0 ? b ? 1 ,∵ f ?x ? ?ax ?bx ?
2

? ?? ? 4?

的对称轴方程是 x ? ?

b b , 故 设 P ? x0,f ? x0 ? ? 到 直 线 x ? ? 的距离为 d ,则 2a 2a

d ? x0 ?

1 b 1 。 ? |2ax0 ? b| (a ? 0) ,∵ 0 ? 2ax0 ? b ? 1 ,∴ 0 ? d ? 2a 2a 2a

8、 [答案]D

b ?c c 2 5 2 5。 [解析] 由已知得 整理得 c ? 2b , ∴ a ? b2 ? c2 ? 5b , ∴e ? ? ? , b a 5 3 ?c 2
二、填空题: 9、 [答案]72 [解析]依题意所求的椭圆个数为 8 ? 8 ? 8 ? 2 ? 8 ? 72 。

?b 2 ? ? 4 (0 ? b ? 4 ) 10、 [答案] ? 4 ?2b(b ? 4 ) ?
[解析]设 x ? 2sin ?,y ? b cos ? ,则

k ? x2 ? 2 y ? 4sin 2 ? ? 2b cos? ? ?4cos2 ? ? 2b cos? ? 4
b b? b2 ? ? ?4 ? cos ? ? ? ? 4 ? ? cos ? ? 1? 。当 0 ? ? 1 即 0 ? b ? 4 时, 4 4? 4 ?
b b b2 cos ? ? ,kmax ? 4 ? ;当 ? 1 即 b ? 4 时, cos? ? 1 ,kmax ? 2b 。 4 4 4
11、 [答案] ? ?5, 4?
2

[解析]如图,设椭圆与直线 l 的公共点为 P ,椭圆的焦点为 F1、F2 ,则其长轴长为

2a ? PF1 ? PF2 ,欲使 2a 的值最小,只需在直线上找一点 P 使其到两定点 F1、F2 的距离
之 和 最 小 。 椭 圆 x2 ? 4 y 2 ? 12 可 化 为

x2 y 2 ? ?1 , 则 其 焦 点 坐 标 分 别 为 12 3

F1 ? ?3, 0?、F2 ?3, 0? ,点 F1 ? ?3, 0? 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点为 F1? ? ?9,6 ? 。连结
F1? F2 交直线 l 于点 P ,则点 P 即为所求。又∵直线 F1? F2 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,由

?x ? 2 y ? 3 ? 0 解得点 P 的坐标为 ? ?5, 4? 。 ? ?x ? y ? 9 ? 0
y

F1'

P x

l

F1 O

F2

12、 [答案] ??13 , ? [解析]将椭圆方程代入直线方程得 1 ? 4sin ? ? 3k ? 2k cos ? ? b , 即 4sin ? ? 2k cos? ? 3k ? b ?1, 4 ? 4k sin ?? ? 4 ? ? 3k ? b ? 1 ,
2 2

则恒有 16 ? 4k 2 ?

3k ? b ? 1 ,

平方并整理得, k 2 ? 2 3 ?1 ? b ? k ? b2 ? 2b ? 15 ? 0 对 k ? R 恒成立,

? ? 12 ?1 ? b ? ? 4 x ? ?b 2 ? 2b ? 15 ? ? 0 ,
2

b2 ? 2b ? 3 ? 0 , ?b ? 3??b ?1? ? 0 , ?1 ? b ? 3 。
三、解答题: 13、 [解析] (1)设点 P 的坐标为 ? x,y ? ,则点 Q 的坐标为 ? x,-2? 。 ∵ OB ? 0 OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 ,∴ x ? 2 y ? 0 ,
2

??? ?

? ??? ?

????

??? ? ????

∴点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y 。
2

y l O P A Q x

(2)直线 PB 与曲线 C1 相切。设点 P 的坐标为 ? x0,y0 ? ,∴点 A 的坐标为 ? x0,0? 。 ∵ OB ? PA ,∴ OB ? ? 0, ? y0 ? 。∵ OB ? 0 ,∴直线 PB 的斜 ? y 0 ? ,∴点 B 的坐标为 ? 0, 率为 k ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

2 y0 。∵ x02 ? 2 y0 ,∴ k ? x0 ,∴直线 PB 的方程为 y ? x0 x ? y0 代入 x2 ? 2 y , x0

2 得 x2 ? 2x0 x ? 2 y0 ? 0 。∵ ? ? 4x0 ? 8 y0 ? 0 ,∴直线 PB 与曲线 C1 相切。

14、 [解析] (1)设 P、Q 的坐标分别为 ? x1, y1 ?、 ? x2,y2 ? ,则 ? x1, y1 ?、 ? x2,y2 ? 是方程 组?

01 ?ax ? y ? 1 ? ()
2 2 1 2) ? x ? 2 y ?(

的解。由方程组有两个不同的解的条件及弦长公式确定实数 a 的值。将

2 2 (1)代入(2) ,消去 y 得关于 x 的方程 1 ? 2a x ? 4ax ? 3 ? 0

?

?

(3)

若 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? ?
2

2 ,此时直线 l 与曲线 C 的渐近线平行,故 l 与 C 只可能有 2
2

2 a 0 ? 一个交点, ∴ 1 ? 2a ? 0 。 当1 ?
2

时, 由方程 ( 3) 的判别式 ? ? 0 , 得? (4)

6 6 。 ?a? 2 2

又 x1 ? x2 ?

?4a ?3 ,x1 x2 ? 2 1 ? 2a 1 ? 2a 2

且 y1 ? y2 ? ax1 ?1 ? ? ax2 ?1? ? a ? x1 ? x2 ? , ∴ PQ ?

?1 ? a ? ? x ? x ?
2 1 2
2

2

? 2 1 ? a 2 ,∴ ? x1 ? x2 ? ? 4 。
2

将(4)代入,解得 a ? ? 所求的实数 a ? ?1 。

1 6 6 2 ?a? (舍去) , a ? 1 ,∴ a ? ?1 ,满足 ? ,故 2 2 2

(2)反证法:假设存在实数 a ,使得以 PQ 为直径的圆经过原点 O ,则 OP ? OQ ,
2 得 y1 y2 ? ? x1 x2 ,∴ ? ax1 ?1?? ax2 ?1? ? ? x1 x2 ,即 1 ? a x1 x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 0 。将

?

?

x1 ? x2 ?

?4a ?3 2 ,x1 x2 ? 代入,解得 a ? ?2 ,与 a 为实数矛盾,故不存在实数 a , 2 2 1 ? 2a 1 ? 2a

使得以 PQ 为直径的圆经过原点。 15、 [解析] (1)①若直线 l ∥ x 轴,则点 P 为 ? 0, 0? ; ② 设 直 线 l: x ? m y ? 2 , 并 设 点 A、B 、M 、P 的 坐 标 分 别 为 A( x1 ,y1 ) 、

B( x2 ,y2 ) 、 M ( x0 ,y0 ) 、P( x,y)
则?

? x ? my ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 2

消去 x ,得 m 2 ? 2 y 2 ? 4my ? 2 ? 0 (Ⅰ)

?

?

由 直 线 l 与 椭 圆 有 两 个 不 同 的 交 点 , 可 得 ? ? (?4m) 2 ? 8(m2 ? 2) ? 0 , 即

??? ? ??? ? ??? ? 4m ,得 y ? y1 ? y2 ? 2 , 8(m2 ? 2) ? 0 ,∴ m 2 ? 2 。由 OP ? OA? OB 及方程(Ⅰ) m ?2
8 ? x?? 2 ? 8 ? m ?2 x ? x1 ? x2 ? ? my1 ? 2 ?? my2 ? 2 ? ? ? 2 ,即 ? 。 4 m m ?2 ?y ? ? m2 ? 2 ?
由于 m ? 0 (否则,直线 l 与椭圆无公共点) ,将上式方程组两式相除得, m ? ? 代入方程 x ? ?

2y , x

8 8 ,得 x ? ? , 2 m ?2 ? 2y ? ?? ? ? 2 ? x ?
2

整理,得 x ? 2 y ? 4 x ? 0( ? 2 ? x ? 0) ,
2 2

综上所述,点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 4 x ? 0( ? 2 ? x ? 0) 。
2 2

(2)①当直线 l ∥ x 轴时, A、B 分别是椭圆长轴的两个端点,则点 M 在原点 O 处, ∴ MD ? 2, MA ?

2 ,∴

MD MA

? 2。

②由方程(Ⅰ) ,得 y0 ? ∴

y1 ? y2 2m ? 2 , 2 m ?2






MD MA

?

2m m ?2
2

?

2 2 1? 2 m



∵ m ? 2 ,∴ ?
2

MD 2 2 ? ? ?1, 0 ? ,∴ 1 ? 2 ? ? 0, 1? ,∴ ? 2 m m MA

?

2, ?? ,

?

综上所述,

MD MA

?? ?? 。 ? 2,

?

【综合测试答案】
一、选择题: 1、 [答案]D [ 解 析 ] 设 AB 的 倾 斜 角 为 ? , 利 用 AB ?

4a 4a , CD ? ,∴ 2 sin ? cos 2 ?

AB ? CD ? 16a 。
2、 [答案]A [解析]由已知得 c ? am 且 2n ? 2m ? c ,又由于 a ? b ? m ? n ? c ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴m ?
2

c c c 1 c2 c2 ? m 2 ? c 2 ,∴ m 2 ? ,∴ m ? ,∴ c 2 ? a ? ,∴ ? 。 2 2 a 2 2 4

3、 [答案]A [解析]抛物线焦点为 ?1 , 0? ,可知双曲线焦点在 x 轴上,∴ m ? 0,n ? 0 。由离心率

1 ? m? ?m ? n ? 1 ? 3 ? ? 4 为 2,得 ? m ? n ,得 ? ,∴ mn ? 。 3 16 ? 4 ?n ? ? ? m ? ? 4
4、 [答案]C

?c ? 5 ? 2 ?a 2 ? 20 a ?a ? ?? 2 ? 4 ,∴ ? ? 4 [解析]双曲线中 c ? 5 ,准线 x ? ,∴渐近线 c ? ?b ? 5 ?c 2 2 2 ? ?b ? c ? a b 1 的斜率 k ? ? ? ? 。 a 2
2

5、 [答案]B 6、 [答案]B [解析] x ? y ? 2 x ? 0 即 ( x ? 1) ? y ? 1 表示的是以 ? ?1 , 0? 为圆心,1 为半径的
2 2 2 2

圆内的点的集合。 A 表示的是以 ? ?3, 0? 为圆心,1 为半径的圆内的点的集合; B 表示的是 以 ? ?3, 0? 为圆心,1 为半径的圆外的点的集合; C 表示的是以 ? ?2, 0? 为圆心,1 为半径的 圆内的点的集合; D 表示的是以 ? ?2, 0? 为圆心,1 为半径的圆外的点的集合。 7、 [答案]B [解析] (1)既是以 y 轴为对称轴的轴对称图形又是以原点 ? 0, 0 ? 为对称中心的中心对 称图形; (2)是以 ?

k? ? ? k? ? ? ?k ? Z ? 为 (3)既是以 x ? , 0 ? 为对称中心的中心对称图形; 2 6 ? 2 ?

对称轴的轴对称图形,又是以 ?

? k? 5 ? (4)是以 x 轴为 ? ?, 0 ? 为对称中心的中心对称图形; ? 2 12 ?

对称轴的轴对称图形。 (1) (3)既是轴对称图形,又是中心对称图形。 8、 [答案]C [解析]如图,由抛物线的定义知 d1 ? PF ,d1 ? d2 ? PF ? PA ,可证由点 F 向直

?x ? 0 ? 线 x ? 2 y ? 12 ? 0 引垂线时,与抛物线在第一象限的交点在区域 ? y ? 0 内,则 ? x ? 2 y ? 12 ? 0 ?
d1 ? d2 的最小值为 F ?1, 0? 到 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离,其值为
y A P p pF pp pp pp x+2y-12=0

1 ? 12 1 ?2
2 2

?

11 5。 5

二、填空题: 9、 [答案] x ? ?
2

O p x=-1 p p

x

4 ;4 3
2 2

[解析] a ? 4,b ? 5,c ? 9,c ? 3 。准线方程为 x ? ?

a2 4 ? ? ,设 P ? x0,y0 ? c 3

是双曲线

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 上任一点,则 0 ? 0 ? 1,又渐近线方程为 ? ? 0 ,当 4 5 4 5 4 5

y=y0 时,求得

,于是

。 10、 [答案]8 [解析]四边形 AF 1BF 2 的面积等于两个全等的三角形 ?AF 1 F2 和 ?BF 1 F2 的面积之和, 当 A、B 分别与短轴端点重合时,它们的面积最大( F1F2 为底) ,则四边形面积的最大值为

1 2 ? ? 2c ? b ? 2bc ? 8 。 2
y A F1 B
11、 [答案] e1 ? e3 ? e2 [解析]设 F 1F 2 ? 2c ,则对于(1)图

O

F2

x

2a ? MF2 ? MF1 ?

? ?

3 ?1 c ,

? ?

∴ e1 ? 3 ? 1 ;对于(3)图

2a ? MF2 ? MF1 ?

3 ?1 c ,

∴ e3 ? 3 ? 1 ,∴ e1 ? e3 ;对于(2)图

2a ? MF2 ? MF1 ?

10 ? 2 c, 2

∴ e2 ?

10 ? 2 ,∴ e1 ? e3 ? e2 。 2
5 2

12、 [答案] 2 x ? y ? 0 ; a ? [解析]k AB ? ?

1 ,AB 的中点 ? 2, 4 ? , ∴ l 的方程为 y ? 4 ? 2 ? x ? 2? , 即 2x ? y ? 0 。 2 5 椭圆的左顶点 ? a ? 2,1? 代入直线方程得 a ? 。 2

三、解答题: 13、 [解析] (1)设双曲线 C2 的方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1? 3 ,再由 a 2 ? b2 ? c2 2 a b

得 b ? 1 ,故 C2 的方程为
2

x2 ? y 2 ? 1。 3 x2 ? y 2 ? 1得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0 ,由直线 l 与椭圆 4
1 ① 4

(2)将 y ? kx ? 2 代入

C1 恒有两个不同的交点得 ?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0 ,即 k 2 ?
将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1得 ?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 ,由直线 l 与双曲线 C2 恒有 3

2 ? ?1 ? 3k ? 0 两个不同的交点 A 、 B 得 ? ,即 2 2 2 ? ?? 2 ? ( ?6 2 k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0 1 k 2 ? 且k 2 ? 1 ② 3

设 A? xA , yA ?、B ? xB,yB ? ,则 xA ? xB ? 由 OA? OB ? 6得x A x B ? y A y B ? 6 , 而

6 2k ?9 , ,xA xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? ?

? ? k 2 ? 1? ?

3k 2 ? 7 ?9 6 2k ? ? 2 k ? ? 2 , 3k 2 ? 1 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

于是

15k 2 ? 13 3k 2 ? 7 ? 0, ? 6 ,即 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

13 1 2 或k ? ③ 15 3 1 1 13 2 ? k 2 ? 1, 由①、②、③得 ? k ? 或 4 3 15
解此不等式得 k ?

13 ? ? 3 1 ? ? 1 3 ? ? 13 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 3 , ??? ? 2 ,3 ? ??? ? 15, ?。 15 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 14、 [解析] (1)设点 P 的坐标为 ? x,y ? ,则 AP ? ? x,y ? a ?, BP ? ? x,y ? a ? , ? 故 k 的取值范围为 ? ?1, ?
又 m ? ? 0,a ?, n ? ?1, 0 ? ,则 m ? ? n ? ? ?,a?, n ? 2 ? m ? ?1, 2? a? 。由题知向量 AP 与向

?

??

?

??

?

?

??

??? ?

量 m ? ? n 平行,故 ? ? y ? a ? ? ax 。又向量 BP 与向量 n ? 2? m 平行,故 y ? a ? 2? ax 。 两方程联立消去参数 ? ,得点 P ? x,y ? 的轨迹方程是 ? y ? a ?? y ? a ? ? 2a2 x2 , 即 y 2 ? a2 ? 2a 2 x2 。 (2)∵ a ?

??

?

??? ?

?

??

2 ,故点 P 的轨迹方程为 2 y 2 ? 2 x2 ? 1 ,此时点 E ? 0,1? 为双曲线的焦 2
? ? ? ? 2? 2? 、 N 0 , ? ? ? ?, ? 2 ? 2 ? ? ? ?

l 与双曲线交于 M ? 0, 点。 ①若直线 l 的斜率不存在, 其方程为 x ? 0 ,

此时 EM ? EN ? ?

???? ? ???? ? 2 ? ? ? 2 1 1 ? 2 ?1 ? ?? ? ? 2 ?1 ? ? ?1 ? 2 ? 2 。②若直线 l 的斜率存在,设其方程为 ? ?? ?

y ? kx ? 1 ,代入 2 y 2 ? 2 x2 ? 1 ,化简得 2 ? k 2 ? 1? x 2 ? 4kx ? 1 ? 0 。∵直线 l 与双曲线交于
2 两 点 , ∴ ? ? (4k ) 2 ? 8( k 2 ? 1) ? 0 且 k ? 1 ? 0 , 解 得 k ? ?1 。 设 两 交 点 为

M ? x1,y1 ?、N ? x2,y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

?2k 1 。 ,x1 x2 ? 2 k ?1 2 ? k 2 ? 1?

此时 EM ? EN ? ? x1,y1 ? 1? ? ? x2,y2 ? 1?

???? ? ????

? ? x1,kx1 ? ? ? x2,kx2 ? ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ?

k 2 ?1 ? 2 ? k 2 ? 1?

1? 2 ? ?1 ? 2 ? 。 2 ? k ?1 ?

2 当 ?1 ? k ? 1 时, k ? 1 ? 0 ,故 EM ?EN ?

???? ? ??? ?

1? 2 ? 1 ?1 ? 2 ? ? ? ;当 k ? 1 或 k ? ?1 2 ? k ?1 ? 2

时, k ? 1 ? 0 ,故 EM ? EN ?
2

? ?

???? ? ???? 1 2 1 (1 ? 2 ) ? ,综上所述, EM ? EN 的取值范围是 2 k ?1 2

1? ?1 ? ? ? ??? , ? ?? 。 ? ??, 2? ?2 ? ?
15、 [解析] 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

2 2 2 消去 y , 得 ? k ? 1? x ? 2kx ? 2 ? 0 , 其中 k ? 1 ? 0 , ? x ? ?1? ,

否则直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1只有一个交点。
2 2

? ?? ? 4 k 2 ? 8(1 ? k 2 ) ? 0 ? 2k ? 依 题 意 有 ? x1 ? x 2 ? , 解 得 1 ? k ? 2 。 设 M ? x0 , y0 ? , 则 ?0 1? k 2 ? ?2 ? x1 x 2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
x ?x k ? x0 ? 1 2 ? ? 1 ? ? ? k 2 1? k 2 , 由 P ? ?2, 0 ,M? , Q ? 0, b? 三 点 共 线 , 可 得 , ? ? 2 2 ? 1 1 ? k 1 ? k ? ? ? y ? kx ? 1 ? 0 0 ? 1? k 2 ?
b? 2 。 令 f ? k ? ? ?2k 2 ? k ? 2 , 则 f ? k ? 在 1, 2 上 为 减 函 数 , ∴ ?2k ? k ? 2
2

?

?

f ( 2 ) ? f (k ) ? f (1) , 且 f ? k ? ? 0 , ∴ ?(2 ? 2 ) ? f (k ) ? 1 , ∴ b ? ?(2 ? 2 ) 或
b ? 2。


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