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排列组合解法新


排列组合解法

排列组合问题联系实际生 动有趣,但题型多样, 动有趣,但题型多样,思路灵 因此解决排列组合问题, 活,因此解决排列组合问题, 首先要认真审题, 首先要认真审题,弄清楚是排 列问题、 列问题、组合问题还是排列与 组合综合问题; 组合综合问题;其次要抓住问 题的本质特征, 题的本质特征,采用合理恰当 的方法来处理。 的方法来处理。

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个 1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个 没有重复数字五位奇数. 没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求, 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 应该优先安排,以免不合要求的元素占了 这两个位置. 这两个位置. 1 先排末位共有 C3 1 然后排首位共有 C4 1 3
3 A4 最后排其它位置共有 1 1 3 C4C3 A4 = 288 由分步计数原理得

C4

A4

C3

1

位置分析法和元素分析法是解决排列 组合问题最常用也是最基本的方法, 组合问题最常用也是最基本的方法,若 以元素分析为主,需先安排特殊元素, 以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素.若以位置分析为主, 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 需先满足特殊位置的要求,再处理其它 位置。若有多个约束条件, 位置 。 若有多个约束条件 , 往往是考 虑一个约束条件的同时还要兼顾其它 条件

练习题:7种不同的花种在排成一列的花 练习题:7种不同的花种在排成一列的花 :7 盆里,若两种葵花不种在中间, 盆里,若两种葵花不种在中间,也不种 在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 在两端的花盆里,问有多少不同的种法?

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且 7人站成一排 丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看 成一个复合元素, 成一个复合元素,同时丙丁也看成一个 复合元素,再与其它元素进行排列, 复合元素,再与其它元素进行排列,同 时对相邻元素内部进行自排。 时对相邻元素内部进行自排。由分步计 5 2 2 数原理可得共有 A5 A2 A2 = 480 种不同 的排法。 的排法。
甲 乙 丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 要求某几个元素必须排在一起的问题 可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 捆绑法来解决问题 即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列 再与其它元素一起作排列,同时要 为一个元素 再与其它元素一起作排列 同时要 注意合并元素内部也必须排列. 注意合并元素内部也必须排列

练习题:某人射击8 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好 命中4 枪连在一起的情形的不同种数为? 有3枪连在一起的情形的不同种数为?

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相 一个晚会的节目有 ,2 ,3个独唱 舞蹈节目不能连续出场, 个独唱, 声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种? 则节目的出场顺序有多少种?
分两步进行第一步排2个相声和3 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
A 5 种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个 5 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6

元素中间包含首尾两个空位共有 A

4 6



不同的方法,由分步计数原理, 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序 4 A 5 A 6 种。 共有 5

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行 排队再把不相邻元素插入中间和两端

练习题:某班新年联欢会原定的5 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单,开演前又增加了两个新节目. 目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻, 新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻, 那么不同插法的种数为? 那么不同插法的种数为?

四.重排问题求幂策略

4.把 名实习生分配到7个车间实习, 例4.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少 种不同的分法
解:完成此事共分六步: 完成此事共分六步: 种分法. 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二 名实习生分配到车间也有7种分依此类推, 名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步 6 计数原理共有 7 种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象,元素不受位置的约束, 对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排 各个元素的位置,一般地n不同的元素没有 各个元素的位置,一般地n不同的元素没有 n 限制地安排在 地安排在m 限制地安排在m个位置上的排列数为 m 种

练习题: 练习题: ?某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又 某班新年联欢会原定的5 某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单, 增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中, 增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为 ? 层大楼一楼电梯上来8名乘客人, 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层 下电梯,下电梯的方法? 下电梯,下电梯的方法?

五.环排问题线排策略

8人围桌而坐 共有多少种坐法? 人围桌而坐, 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 围桌而坐与坐成一排的不同点在于, 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于, 坐成圆形没有首尾之分, 坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 并从此位置把圆形展成直线其余7 并从此位置把圆形展成直线其余7人 共有( )!种排法即 共有(8-1)!种排法即 7 !
C D B E F G H A A B C D E F G H A

一般地,n个不同元素作圆形排列 共有 一般地 个不同元素作圆形排列,共有 个不同元素作圆形排列 共有(n-1)!种 种 排法.如果从 个不同元素中取出m个元素作 如果从n个不同元素中取出 排法 如果从 个不同元素中取出 个元素作 1 m 圆形排列共有 An
n

练习题: 颗颜色不同的钻石, 练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈

六、数字排序问题查字典策略
例6.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多 少个没有重复的比324105大的数? 324105大的数 少个没有重复的比324105大的数? 5 4 3 2 1 N = 2 A5 + 2 A4 + A3 + A2 + A1 = 297 解:
数字排序问题可用查字典法, 数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从 高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数, 高位向低位查 , 依次求出其符合要求的个数 , 根据分类计数原理求出其总数。 根据分类计数原理求出其总数。

练习: 练习:由0,1,2,3这四个数字可以组成 没有重复数字且不能被5 没有重复数字且不能被5整除的四位数的个 数是? 数是?

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排, 7.8人排成前后两排,每排4 人排成前后两排 其中甲乙在前排, 丙在后排, 丙在后排,共有多少排法
:8人排前后两排 相当于8人坐8把椅子, 人排前后两排, 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成 一排.甲乙2 再排后4 一排.甲乙2 个特殊元素有 A 2 种,再排后4个位置上的特殊 4 1 A 4 种,其余的5人在5个位置上任意排列有 A 5 种, 其余的5人在5 元素丙有 5 2 1 5 则共有 A 4 A 4 A 5 种。

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题 可归结为一排考虑 一般地 元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑 元素分成多排的排列问题 可归结为一排考虑, 再分段研究. 再分段研究

练习题:有两排座位,安排23人就坐,前排11个座位, 23人就坐 11个座位 练习题:有两排座位,安排23人就坐,前排11个座位,后 12个座位 个座位, 甲乙2人规定坐在前排,丙丁2 排12个座位,现甲乙2人规定坐在前排,丙丁2人规定坐在 后排,那么不同排法的种数为多少? 后排,那么不同排法的种数为多少?

八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至 8.有 个不同的小球,装入4个不同的盒内, 少装一个球,共有多少不同的装法. 少装一个球,共有多少不同的装法. C52 第一步从5个球中选出2 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元素共有 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不 A4 种方法, 同的盒内有 种方法,根据分步计数原理 4 装球的方法共有 C52 A 4 4 解决排列组合混合问题, 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导 思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1 练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1 人现从中选4人完成四种不同的任务, 人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成 一种任务,且正副班长有且只有1人参加, 一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同 的选法有多少种? 的选法有多少种?

九.平均分组问题除法策略
6本不同的书平均分成 本不同的书平均分成3 每堆2 例9. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少 分法? 分法? C62C42C22 种方法,但这里出现重 种方法, 解: 分三步取书得 复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ABCDEF, 复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步 AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为 第二步取CD,第三步取EF 取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为 C62C42C22 中还有 (AB,CD,EF),则 (AB,CD,EF),则 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB, A 3 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF) CD)共有 而这些分法仅是(AB,CD,EF) CD)共有 3 2 2 C62C4 C2 / A 3 种分法。 3 种分法。 一种分法, 一种分法,故共有

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况, 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分 n为均分的组数 避免重复计数。 为均分的组数) 组后要一定要除以 A n ( n为均分的组数)避免重复计数。 n
练习题: 练习题: 13个球队分成 个球队分成3 一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法? 1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法? 2.10名学生分成 名学生分成3 其中一组4 另两组3 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在 同一组,有多少种不同的分组方法 ? 同一组, 3.某校高二年级共有六个班级 某校高二年级共有六个班级, 名学生, 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到 该年级的两个班级且每班安排2 该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ______

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一 10.有10个运动员名额,分给7个班, 个运动员名额 有多少种分配方案? 个,有多少种分配方案? 因为10个名额没有差别,把它们排成一排。 10个名额没有差别 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。 相邻名额之间形成9个空隙。 个空档中选6 相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个 位置插个隔板,可把名额分成7 对应地分给7 位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7 个班级, 个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 6 种 C9 分法。 分法。

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数), 个相同的元素分成m 为正整数) 每份至少一个元素,可以用m 块隔板,插入n 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个 元素排成一排的n 个空隙中, 元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为
m Cn ??1 1

练习题: 练习题: 10个相同的球装 个盒中,每盒至少一有多少装法? 个相同的球装5 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?


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