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福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查(文数)


福建省福州市 2011 届高三上学期期末质量检查

数学试题(文科)
(满分 50 分:完卷时间:120 分钟) 一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M = { y | y = x 2 + 1, x ∈ R}, N = { y | y = x + 1, x ∈ R}, 则 M ∩ N 等于( A. (0,1)(1,2) , C. { y | y = 1或y = 2} 2.复数 (1 + i )(1 ? ai ) ∈ R ,则实数 a 等于 A.1 B.—1 C.0 D. ±1 3.如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的 茎叶图(其中 m 为数字 0—9 中的一个) ,去掉一个最高分和一 个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1 , a2 ,则 一定有 A. a1 > a2 B. a2 > a1 ( C. a1 = a2 ) D. a1 , a2 的大小不确定 B.|(0,1)(1,2)| , D. { y | y ≥ 1} ( ) )

?x ≥ 1 ? 4.已知实数 x, y满足 ? y ≤ 2 , 则x + y 的最小值为 ?x ? y ≤ 0 ?
A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图,在一个边长为 3cm 的正方形内部画一个边长为 2cm 的 正方形,向大正方形内随机投点,则所投的点落入小正方形 内的概率为 ( )





2 9 4 C. 9
A.

1 3 2 D. 3
B. ( )

6.已知向量 a = (1,1), b = (2, x ), 若a + b与4b ? 2a 平行,则实数 x 的值为 A.—2 B.0 C.1 D.2

7.将函数 y = cos 2 x 的图象上的所有点向左平移 单位长度,所得图象的函数解析是 A. y = cos(2 x +

π
6

个单位长度,再把所得图像向上平移 1 个 ( )

π
6

) +1

B. y = cos(2 x ?

π
3

) +1

-1-

C. y = cos(2 x +

π
3

) +1

D. y = cos(2 x ?

π
6

) +1
( )

8.已知 p :| x |< 2; q : x 2 ? x ? 2 < 0, 则?p是?q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 9.若双曲线 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必条件

x2 y2 ? = 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为 a2 b2
( )

A. 5

B.5

C. 2

D.2

10.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树 与两墙的距离分别是 am(0 < a < 12) 、4m,不考虑树的粗细, 现在用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的共圃 ABCD, 设此矩形花圃的面积为 Sm2,S 的最大值为 f ( a ) ,若将这 棵树围在花圃的,则函数 u = f ( a ) 的图象大致是 ( )

11.黑板上有一道有正解的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只 能看到:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a = 2, ……,解得 b = 根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件 .... A. A = 30 , B = 45 C. B = 60 , c = 3 B. c = 1, cos C = (

6,


1 3

D. C = 75 , A = 45

12.定义:平面内横坐标为整数的点称为“左整点” ,过函数 y = 整点”作直线,则倾斜角大于 45°的直线条数为 A.10 B.11 C.12 二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分)

9 ? x 2 图象上任意两个“左
( D.13 )

-2-

13.若抛物线 y 2 = 2 px 的焦点与椭圆

x2 y2 + = 1 的右焦点重合,则 p 的值为 12 3

*



14.如图所示的算法流程图,其输出的结果是
2 2

15.在数列 {an }中, 若an ? an +1 = p, ( n ≥ 2, n ∈ N , p为常数) , 则 {an } 称为“等方差数列” ,下列是对“等方差数列”的 判断: ①若 {an } 是等方差数列,则 {an } 是等差数列; ② {( ?1) n } 是等方差数列; ③若 {an } 是等方差数列,则 {akn }( k ∈ N , k 为常数) 也是
* 2

等方差数列;其中正确命题序号为 确的命题序号填在横线上)

。 (将所有正

16.若函数 f ( x ) = 3ax ? 2a + 1 在区间[—1,1]上没有零点,则函数

g ( x) = (a + 1)( x 3 ? 3 x + 4) 的递减区间是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 数列 {a n } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,其前 n 项的和为 S n . (I)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项和S n ; (II)设 bn = 2 , 求数列{bn } 的通项公式 bn 及前n项和Tn .
n

-3-

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 sin ω x + 2 3 sin ω x sin(
2

π
2

? ω x) (ω > 0) 的最小正周期为 π .

(I)求 ω 的值; (II)求函数 f ( x )在区间[0,

2π ] 上的取值范围。 3

19. (本小题满分 12 分) 一个袋中有 4 个大小质地都相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,黑球 1 个,现 从袋中有放回地取球,每次随机取一个。 ... (I)求连续取两次都是白球的概率; (II)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,求连续取两次分数 之和大于 1 分的概率。

20. (本小题满分 12 分) 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和 其它费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5) ,其它费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时。 (I)请将从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行速度 x(海里/小时)的函数; (II)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

-4-

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x 2 + mx + n 的图像过点(1,3) ,且 f ( ?1 + x ) = f ( ?1 ? x ) 对任意 实数 x 都成立,函数 y = g ( x)与y = f ( x) 的图像关于原点对称。 (I)求 f ( x)与g ( x) 的解析式; (II)若 F ( x ) = g ( x ) ? λ f ( x ) 在[—1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围。

22. (本小题满分 14 分) 如图,ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD⊥AB,Q 为线段 OD 的中 点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 (I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (II)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,

EM = λ1 MB, EN = λ2 NB, 求证 : λ1 + λ2 为定值。

-5-

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1.D 2.A 3.B 4.A 5. C 6.D

7.C

8.A

9.A

10.C

11.D

12.B

所以

2π = π ,解得 ω = 1 . 2ω

7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = 2 sin( 2 x ?

π
6

) +1

-6-

因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

2π π π 7π ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 3 6 6 6

9分

π 1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ,因此 0 ≤ 2 sin(2 x ? ) + 1 ≤ 3 , ? ? 6 2 6? ?
12 分

即 f ( x ) 的取值范围为 [0,3] .

19.解: (Ⅰ)连续取两次所包含的基本事件有: (红,红)(红,白 1)(红,白 2)(红, , , , 黑)(白 1,红) ; (白 1,白 1) (白 1,白 2)(白 1,黑)(白 2,红) , ; , (白 2,白 1)(白 2,白 2)(白 2,黑)(黑,红)(黑,白 1)(黑,白 2)(黑,黑) , , ; , , , , 所以基本事件的总数 M = 16 . 2分 设事件 A:连续取两次都是白球,则事件 A 所包含的基本事件有: (白 1,白 1) (白 1,白 2)(白 2,白 1)(白 2,白 2)共 4 个 , , 所以, P ( A) =

4分

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)连续取两次的事件总数为 M = 16 , 设事件 B:连续取两次分数之和为0分, 则 P(B) =

4 1 = . 16 4

6分

1 ; 16 4 1 = 16 4

8分

设事件 C:连续取两次分数之和为 1 分, 则 P(B) = 10 分

设事件 D:连续取两次分数之和大于1分, 则 P ( D ) = 1 ? P ( B ) ? P (C ) =

11 16

12 分

(Ⅱ)解法 2:设事件 B:连续取两次分数之和为 2 分, 则 P(B) =

6 ; 16

8分

4 16 1 设事件 D:连续取两次分数之和为 4 分,则 P ( D ) = 16
设事件 C:连续取两次分数之和为 3 分,则 P (C ) = 设事件 E:连续取两次分数之和大于1分, 则 P ( E ) = P ( B ) + P (C ) + P ( D ) =

10 分

11 16

12 分

2 20.解: (Ⅰ)由题意,每小时的燃料费用为 0.5 x (0 < x ≤ 50) ,

从甲地到乙地所用的时间为

300 小时, x

2分 6分 7分

300 300 , (0 < x ≤ 50) + 800 ? x x 300 300 1600 故所求的函数为 y = 0.5 x 2 ? + 800 ? = 150( x + ) , (0 < x ≤ 50) . x x x
则从甲地到乙地的运输成本 y = 0.5 x 2 ?

-7-

(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ) y = 150 ? x + 当且仅当 x =

? ?

1600 ? 1600 = 12000 , 9分 ? ≥ 150 × 2 x × x ? x
11 分 12 分

1600 ,即 x = 40 时取等号. x

故当货轮航行速度为40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. (Ⅱ)解法 2:由(Ⅰ) y = 150( x +

1600 )(0 < x ≤ 50) . 9分 x

1600 1600 (0 < x ≤ 50), f ' ( x ) = 1 ? 2 , x x 则x ∈ (0,40)时, f ' ( x ) < 0, f ( x )单调递减; 令f ( x ) = x + 则x ∈ (40,50)时, f ' ( x ) > 0, f ( x )单调递增;∴ x = 40时, f ( x )取最小值80. ymin = 12000.
……11 分 故当货轮航行速度为40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. 21.解: (Ⅰ)解法 1:由题意知:f(x)=x2+mx+n 的对称轴为 x=-1, 故? 12 分

? f (1) = 1 + m + n = 3 ?m = 2 ? m ,∴ ? . f(x)=x2+2x ? = ?1 ?n = 0 ? 2 ?

2分

设函数 y=g(x)图象上的任意一点 P(x,y) 关于原点的对称点为 Q(x0,y0) ,P 依题意得 ?

? x0 = ? x ? y0 = ? y

4分

因为点 Q(x0,y0) 在函数 y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x, g(x)=-x2+2x, 7分 (Ⅰ)解法 2::取 x=1,由 f(-1+x)=f(-1-x)得 f(0)=f(-2) 由题意知: ?

? 1+ m + n = 3 ?m = 2 ,∴ ? . f(x)=x2+2x ?n = 4 ? 2m + n ? n = 0

2分

下同解法 1. (Ⅰ)解法 3:∵f(-1+x)=(-1+x)2+m(-1+x)+n, f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n, 又 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数 x 都成立, ∴2mx=4x 恒成立,m=2. . 而 f(1)=1+m+n=3+n=3,∴n=0. f(x)=x2+2x 2分

下同解法 1. (Ⅱ)解法 1:F(x)=g(x)- λ f(x)= -x2+2x- λ ( x2+2x)=-(1+ λ )x2+2(1- λ )x ∵F(x)在[-1,1]上是连续的递增函数, ∴ F ' ( x ) = ?2(1 + λ ) x + 2(1 ? λ ) ≥ 0 在[-1,1]上恒成立 8分

-8-

即?

??2(1 + λ ) + 2(1 ? λ ) ≥ 0 ? 2(1 + λ ) + 2(1 ? λ ) ≥ 0

9分

∴ λ ≤0 时,F(x)=g(x)- λ f(x)在[-1,1]上是增函数 12 分 2 2 (Ⅱ)解法 2:F(x)=g(x)- λ f(x)= -x +2x- λ ( x +2x)=-(1+ λ )x2+2(1- λ )x ∵F(x)在[-1,1]上是连续的递增函数, ∴ F ' ( x ) = ?2(1 + λ ) x + 2(1 ? λ ) ≥ 0 在[-1,1]上恒成立 8分 9分

1? x 2 = ? 1 在 (?1,1] 上恒成立 1+ x 1+ x 2 ? 1 上为减函数, 又函数 y= 10 分 1+ x 2 ? 1 取最小值 0, 11 分 当 x=1 时 y= 1+ x
∴λ ≤

∴ λ ≤0 时,F(x)=g(x)- λ f(x)在[-1,1]上是增函数. 12 分 8分 (Ⅱ)解法 3:⑴当 λ = ?1 时,F(x)=4x,符合题意.

⑵当 λ < ?1 ,即 ? (1 + λ ) > 0 时,由二次函数图象和性质,

?? (1 + λ ) > 0 ? 只需满足 ? 2(1 ? λ ) ,解得: λ < ?1 ? ≤ ?1 ? ? 2(1 + λ ) ?
⑶当 λ > ?1 ,即 ? (1 + λ ) < 0 时,由二次函数图象和性质,

10 分

?? (1 + λ ) < 0 ? ,解得: ? 1 < λ ≤ 0 只需满足: ? 2(1 ? λ ) ?? ? 2(1 + λ ) ≥ 1 ?
综上, λ ≤0 时,F(x)=g(x)- λ f(x)在[-1,1]上是增函数. 12 分 22.解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系,∵ 动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 + 12 = 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1. ∴曲线 C 的方程为

x2 2 +y =1 5

6分

(Ⅱ)证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM = λ1 MB ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .
-9-

∴ x1 =

y0 2λ1 , y1 = . 1 + λ1 1 + λ1

10 分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (

y 1 2λ1 2 ) + ( 0 )2 = 1, 5 1 + λ1 1 + λ1
2

去分母整理,得 λ1 + 10λ1 + 5 ? 5 y 0 = 0 .
2

11 分

同理,由 EN = λ2 NB 可得:

λ2 2 + 10λ2 + 5 ? 5 y 0 2 = 0 .
∴ ∴

12 分

λ1 , λ2 是方程 x 2 + 10 x + 5 ? 5 y 0 2 = 0 的两个根, λ1 + λ2 = ?10 .
14 分

(Ⅱ)证法 2:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y = k ( x ? 2) . 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 + 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x + 20k 2 ? 5 = 0 . 10 分
∴ x1 + x 2 =

20k 2 20k 2 ? 5 , x1 x 2 = . 1 + 5k 2 1 + 5k 2

11 分

又 ∵ EM = λ1 MB , 则 ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ λ1 = 同理,由 EN = λ2 NB , ∴ λ2 =

x1 , 2 ? x1

x2 . 2 ? x2

12 分

∴ λ1 + λ2 =

x1 x 2( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 + 2 = = ? = ?10 . 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 + x2 ) + x1 x2

14 分

- 10 -


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