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2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲直线平面垂直的判定及其性质课件理_图文

第5讲

直线、平面垂直的判定及其性质

最新考纲

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认

识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理; 2.能运用 公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的 简单命题.

知识梳理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义

任意 直线都垂直,就说直线l与 如果一条直线l与平面α内的_____ 平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示

判 一条直线与一个平面

两条相交直线 定 内的_____________
定 都垂直,则该直线与 理 此平面垂直

l ⊥a ____ ? ? l ⊥b ____ ? a∩b=O??l⊥α ? a?α _____ ? b?α ? _____

两直线垂直于 性质 同一个平面, 定理 那么这两条直

a⊥α ? _____ ? ??a∥b b⊥α ? ? _____

平行 线______ 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 直二面角, 两个平面相交,如果它们所成的二面角是________ 就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理 文字语言 判定 定理 一个平面经过另一个 垂线,则 平面的一条____ 图形表示 符号表示

l⊥α ? _____ ? ??α ⊥β l ? β _____? ? α⊥β _____ ? α∩β=a ? ________ ??l⊥α l ⊥ a _____ ? l?β ? _____

这两个平面互相垂直
如果两个平面互相垂

性质 直,则在一个平面内 交线的直 定理 垂直于它们____ 线垂直于另一个平面

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )

(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直 于另一个平面.( α⊥β.( )

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则
)

解析

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则有l⊥α或l与

α斜交或l?α或l∥α,故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,故(2)错误. (3)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线可能垂直于另一

平面,也可能与另一平面平行,也可能与另一平面相交,也可
能在另一平面内,故(3)错误. (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线,则α⊥β, 故(4)错误.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(必修2P56A组7T改编)下列命题中错误的是(

)

A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于 平面β B. 如果平面α不垂直于平面 β ,那么平面 α内一定不存在直

线垂直于平面β
C. 如果平面 α⊥平面 γ ,平面 β⊥平面 γ , α∩β = l ,那么 l⊥ 平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平 面β

解析

对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可

能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、 平行或在平面β内,其他选项易知均是正确的. 答案 D

3.(2016· 浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则( A.m∥l B.m∥n ) C.n⊥l D.m⊥n

解析 因为α∩β=l,所以l?β,又n⊥β,所以n⊥l,故选C.

答案 C

4.(2017· 湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线,α和β是
两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的 是( ) B.α⊥β且m∥α D.m⊥n且α∥β A.α⊥β且m?α C.m∥n且n⊥β 解析

由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,

可知C正确.

答案 C

5.( 必修 2P67 练习 2 改编 ) 在三棱锥 P - ABC 中,点 P 在平面 ABC中的射影为点O, (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.

(2) 若 PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , 则 点 O 是 △ABC 的
________心. 解析 (1)如图1,连接OA,OB,OC,OP, 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB, 所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.

图1

图2

(2)如图2,∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,

∴PC⊥平面PAB,AB?平面PAB,
∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P, ∴AB⊥平面PGC,又CG?平面PGC,∴AB⊥CG,

即 CG 为△ABC 边 AB 的高 . 同理可证 BD , AH 分别为 △ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.

答案 (1)外 (2)垂

考点一 线面垂直的判定与性质

【例 1 】 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,
PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD , AC⊥CD , ∠ABC = 60°, PA = AB = BC , E 是 PC 的中点.证明: (1)CD⊥AE;

(2)PD⊥平面ABE.

证明 (1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD,又∵AC⊥CD,且PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC. 又AE?平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA. ∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD, ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD,且PA∩AD=A,

∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,
∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.

规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有: ①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α?b⊥α); ③面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β);④面面垂直的性质

(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l?β?l⊥α).
(2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则 需借助线面垂直的性质 .因此,判定定理与性质定理的合理 转化是证明线面垂直的基本思想.

【训练 1】 (2017· 临沂模拟)如图所示, 已知 AB 为圆 O 的直径, 点 D 为线段 1 AB 上一点,且 AD=3DB,点 C 为圆 O 上一点, 且 BC= 3AC, PD⊥平面 ABC,PD=DB. 求证:PA⊥CD.

证明

因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AC⊥CB.

在 Rt△ABC 中,由 3AC=BC 得,∠ABC=30° .

设 AD=1,由 3AD=DB 得,DB=3,BC=2 3. 由余弦定理得 CD2=DB2+BC2-2DB· BCcos 30° =3, 所以 CD2+DB2=BC2,即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC,CD?平面 ABC, 所以 PD⊥CD,由 PD∩AB=D 得,CD⊥平面 PAB, 又 PA?平面 PAB,所以 PA⊥CD.

考点二 面面垂直的判定与性质 【例2】 (2015· 山东卷)如图,三棱台 DEF - ABC 中, AB = 2DE , G , H 分别为AC,BC的中点. (1)求证:BD∥平面FGH;

(2) 若 CF⊥BC , AB⊥BC ,求证:
平面BCD⊥平面EGH. 证明 (1)连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.

在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G为AC中点,

可得DF∥GC,且DF=GC,
则四边形DFCG为平行四边形. 从而M为CD的中点, 又H为BC的中点, 所以HM∥BD,又HM?平面FGH,BD?平面FGH, 故BD∥平面FGH.

(2)连接HE,因为G,H分别为AC,BC的中点, 所以GH∥AB. 由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点, 所以EF∥HC,EF=HC,

因此四边形EFCH是平行四边形,
所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC. 又HE,GH?平面EGH,HE∩GH=H, 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.

规律方法

(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的

定义;②面面垂直的判定定理. (2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一 个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转 化为线线垂直.

【训练2】 如图,在三棱锥P-ABC中,

平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,M,N
分别为AB,PA的中点. (1)求证:PB∥平面MNC; (2)若AC=BC,求证:PA⊥平面MNC. 证明 (1)因为M,N分别为AB,PA的中点,所以MN∥PB. 又因 为 MN? 平 面 MNC , PB ? 平面 MNC , 所以 PB∥ 平面

MNC.

(2)因为PA⊥PB,MN∥PB,所以PA⊥MN. 因为AC=BC,AM=BM,所以CM⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABC, CM?平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB.

所以CM⊥平面PAB.
因为PA?平面PAB,所以CM⊥PA. 又MN∩CM=M,所以PA⊥平面MNC.

考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度一 多面体中平行与垂直关系的证明 【例 3 - 1 】 (2016· 江苏卷 ) 如图,在直 三棱柱 ABC - A1B1C1 中, D , E 分别 为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上, 且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:

(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.

在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1. 又因为DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F, 所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为 A1C1⊥A1B1 , A1A? 平面 ABB1A1 , A1B1? 平面 ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D. 又因为 B1D⊥A1F , A1C1? 平面 A1C1F , A1F? 平面 A1C1F , A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
规律方法 (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助 线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直

的性质及判定的综合应用.

命题角度二 平行垂直中探索性问题 【例 3 - 2】 如图所示,平面 ABCD⊥平面 BCE ,四边形 ABCD 为矩形,BC=CE,点F为CE的中点. (1)证明:AE∥平面BDF.

(2) 点 M 为 CD 上任意一点,在线段 AE 上是否存在点 P ,使得
PM⊥BE ?若存在,确定点 P 的位置,并加以证明;若不存 在,请说明理由.

(1)证明 连接AC交BD于O,连接OF,如图①.

∵四边形ABCD是矩形,
∴O为AC的中点,又F为EC的中点, ∴OF为△ACE的中位线, ∴OF∥AE,又OF?平面BDF,AE?平面BDF, ∴AE∥平面BDF.

(2)解 当P为AE中点时,有PM⊥BE, 证明如下:取 BE中点H,连接DP,PH,CH,∵P为AE的中 点, H 为 BE 的中点,∴PH∥AB ,又 AB∥CD ,∴PH∥CD , ∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE, 平面ABCD∩平面BCE=BC,CD?平面ABCD,CD⊥BC.

∴CD⊥平面BCE,又BE?平面BCE, ∴CD⊥BE , ∵BC = CE , H 为 BE 的 中 点 , ∴CH⊥BE, 又CD∩CH=C, ∴BE⊥平面DPHC,又PM?平面DPHC, ∴BE⊥PM,即PM⊥BE.

规律方法

(1) 求条件探索性问题的主要途径:①先猜后

证,即先观察与尝试给出条件再证明;②先通过命题成
立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性. (2) 涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的 位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等 分点中某一个,也可以根据相似知识建点.

【训练 3 】 (2017· 石家庄模拟 ) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形, AB∥CD, AC= 3, AB=2BC=2,AC⊥FB.

(1)求证:AC⊥平面FBC. (2)求四面体FBCD的体积. (3)线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?若存在,

请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
(1)证明 在△ABC 中,因为 AC= 3,AB=2, BC=1,所以 AC2+BC2=AB2,所以 AC⊥BC. 又因为 AC⊥FB,BC∩FB=B, 所以 AC⊥平面 FBC.

(2)解

因为 AC⊥平面 FBC,FC?平面 FBC,所以 AC⊥FC.

因为 CD⊥FC,AC∩CD=C,所以 FC⊥平面 ABCD. 在等腰梯形 ABCD 中可得 CB=DC=1,所以 FC=1. 3 所以△BCD 的面积为 S= 4 . 1 3 所以四面体 FBCD 的体积为 VF-BCD=3S·FC= 12 .

(3)解

线段AC上存在点M,且点M为AC中点时,有EA∥平

面FDM.证明如下:

连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN.

因为四边形CDEF是正方形,所以点N为CE的中点.
所以EA∥MN.因为MN?平面FDM,EA?平面FDM, 所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,且M为AC的中 点,使得EA∥平面FDM成立.

[思想方法] 1.证明线面垂直的方法: (1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α ; m,n?α ,m∩n=A? ? ??l⊥α ; (2)判定定理 1: ? l⊥m,l⊥n ? (3)判定定理 2:a∥b,a⊥α ?b⊥α ; (4)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α ,a⊥l?a⊥β ;

2.证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;

(2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.
3.转化思想:垂直关系的转化

[易错防范] 1.证明线面垂直时,易忽视面内两条线为相交线这一条件. 2.面面垂直的判定定理中,直线在面内且垂直于另一平面易 忽视.

3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而
盲目套用造成失误. 4.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面 垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注 意线线垂直和线面垂直的相互转化.


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