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2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定


2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定

当门扇绕着一边转动时, 转动的一边与门框所在 的平面是怎样的位置关系呢?

活动板房各个面是怎样拼在一起的,它们都有什么关 系呢?

木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次,
如果水准仪的气泡都是居中的,就可以判定这个

桌面和水平面平行,这是什么道理?

1.理解直线与平面平行的判定定理.(重点) 2.会用判定定理证明简单的线面平行的问题.(难点)

3.理解并掌握两平面平行的判定定理及其应用 .(重点、
难点)

4.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能 力.

微课1
提示:

如何判定直线和平面平行?

根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判
定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限伸长,

平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢?
a

?

如图,直线ɑ与平面?内的直线b平行,回答以下问题:
1.直线ɑ在平面?内还是在平面?外? 直线ɑ在平面?外 2.直线ɑ与直线b共面吗? ɑ与b共面

a
b

?

3.假如直线ɑ与平面? 相交,交点会在哪? 在直线b上

直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.

a

?
判定直线与平面 平行的条件有几 个,是什么?

b

定理中的三个条件 ① a 在平面 ? 外,即 a ? ?;

② b 在平面? 内,即 b ? ?; ③ a 与 b 平行,即a / / b (平行).

a

?

b

a ??? ? 用符号语言可概括为:b ? ? ? ? a / /? a / /b ? ?

简称:线线平行?线面平行

【即时训练】

如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系
是 ( D )

A.相交
C.b?α

B.b∥α
D.b∥α或b?α

【提升总结】 对判定定理的再认识 ①它是证明直线与平面平行最常用最简易的方法; ②应用定理时,应注意三个条件是缺一不可的; ③要证明直线与平面平行,只要在这个平面内找出 一条直线与已知直线平行,把证明线面问题转化为 证明线线问题.

a

?

b

例1

求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行
A

于另外两边所在的平面.
分析:先写出已知,求证.

再结合图形证明.
已知:如图,空间四边形ABCD中, E,F分别是AB,AD的中点. 求证:EF//平面BCD.

E

F
D
C

B ?

【解题关键】
要证明直线EF与平面BCD平行,只要在这个平面 BCD内找出一条直线与直线EF平行,把证明线面问题 转化为证明线线问题. A 证明:连接BD. F E 因为AE = EB,AF = FD, D 所以EF//BD(三角形中位线的性质). C ? B 因为EF ? 平面BCD,BD ? 平面BCD, 由直线与平面平行的判定定理得 EF//平面BCD.

【变式练习】
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,证 明BD1∥平面AEC. 证明:连接BD交AC于O,连接EO, 在△BDD1中,
1 ∥ BD1. 所以EO = 2
D1 B1 C1

因为E,O分别为DD1与BD的中点, A1

E D
O

而EO ?平面AEC, BD1 ? 平面AEC, 所以 BD1 ∥平面AEC.
A

C B

2.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经 过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( A ) A.平行 C.平行或相交 B.相交 D.AC在此平面内

【提升总结】 1.要证明直线与平面平行可以运用判定定理.

线线平行
面内、平行”

线面平行

2.能够运用定理的条件是要满足六个字:“面外、

a?? b?? a // b

a // ?

3.运用定理的关键是找平行线;找平行线又经常 会用到三角形中位线定理.

微课2 提示:

如何判定平面与平面平行?

由两个平面平行的定义可得: 1.如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的所 有直线一定都和另一个平面平行;

2.反过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个
平面平行,那么这两个平面平行.
启示
线面平行 转化 面面平行

1.三角板ABC只有一条边BC与桌面平行,如图① 三角板ABC所在的平面与桌面α平行吗?
C B

?

A



提示:不平行

2.当三角板ABC的两条边BC,AB都平行桌面α时, 如图②三角板ABC所在的平面是否平行于桌面α?
C A

B

?



提示:平行

【易错点拨】
平行于同一直线的两个平面平行. ( × )
α a
β

平面?内有一条直线与平面?平行,?∥?吗? 提示: 直线AD平行于平面 BCC1B1,但平面ABCD与 平面BCC1B1不平行.
A
D1 A1 D B B1 C C1

在长方体的平面ABCD中,

结论 如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行,

这两个平面不一定平行.
a

β

平面?内有两条平行直线与平面?平行,?,?平行吗? 提示:如果平面β内的两条直线是平行直线,平面α

与平面β不一定平行.如图, AA1∥平面 AA1 ∥EF,

DCC1D1 ,

EF∥平面 DCC1D1 ,但平面AA1D1D与平面 DCC1D1 不平行.
E

D1 B1

C1

A1

D
A B

C

结论 如果一个平面内的两条平行直线与一个平面

平行,这两个平面不一定平行.
?

a
b

β

【易错点拨】
若平面α内有两条直线都平行于平面β,则α∥β.
( ×)
a b α

β

平面β内有两条相交直线与平面?平行,这两 个平面平行吗?
D
1

C B

1

提示:

A

1 1

平行
D A B

C

【易错点拨】
若平面α内有无数条直线都平行于平面β, 则α∥β. (×)

α

β 直线的条数不是关键, 相交才是关键.

平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面

平行,则这两个平面平行.
符号语言:
a ? ?,b ? ? ? ? a b?P ? ? ? / /? a / /? , b / /? ? ?

?

b
P

a

?

【提升总结】 定理中必需的三个条件 ① a,b在平面 ? 内,即 a ? ?,b ? ?;
② a, b 相交,即 a
线面平行?面面平行

b ? P;

b
?
P

a

③ 平行,即 a / /? , b / /? .

?

【互动探究】
1.证明:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一 个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行。 已知:a ? ? , b ? ? , a b ? P; b c ? ? , d ? ?;a / / c, b / / d . a ? P 求证:? / / ? .
证明:因为c ? ? , a ? ? , a / / c, 所以a / / ? . 同理b / / ? . 因为a ? ? , b ? ? , a 所以? / / ? .

d

?

c

b ? P, a / / ? , b / / ? ,

2.平面和平面平行的条件可以是( D ) A.α内有无穷多条直线都与已知平面平行 B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内

C.直线

a ? ? ,直线 b ? ?

,且a∥β,b∥α

D.α内的任何一条直线都与β平行

例2

已知正方体ABCD - A1B1C1D1,

求证:平面AB1D1 ∥平面C1BD. 证明:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,

所以D1C1∥ A1B1,D1C1 =A1B1
又AB∥ A1B1,AB=A1B1,所以D1C1∥AB,D1C1 =AB, 所以D1C1BA为平行四边形, 所以D1A∥ C1B. 由直线与平面平行的判定定理得 D1A∥平面C1BD,同理D1B1 ∥平面C1BD,
D A B C A1 D1 C1

B1

又D1A∩D1B1 = D1 ,
所以平面AB1D1 ∥平面C1BD.

【变式练习】
在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心, 求证:平面DEF//平面ABC. 证明:连接PD并延长交AB于点M P 连接PE并延长交BC于点N,连接PF并延 长交AC于O,连接MN,MO, F 因为D,E分别为△PAB、 E D A △PBC的重心所以 DE∥MN,又 O M 因为DE ? 面ABC,MN ? 面ABC N B 所以DE∥面ABC,同理:DF∥面ABC 又因为DE∩DF=D 所以面DEF∥面ABC

C

【提升总结】

1.应用定理时,“内”、“交”、“平行”三个
条件缺一不可. 2.要证明平面与平面平行,只要在这个平面内找 出两条相交直线与已知平面平行,把证明面面问

题转化为证明线面问题即可.

?

bP a

?

1.能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( D ) A.b?α,a∥b B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c C.b?α,A、B∈a,C、D∈b,且 AC=BD D.a? α,b?α,a∥b

【解析】 A 错误,若 b? α,a ∥b,则 a∥α 或 a? α;B 错 误,若 b? α,c ∥α,a ∥b,a∥c ,则 a∥α 或 a? α;C 错误,若满足此条件,则 a ∥α 或 a? α 或 a 与 α 相交;D 正确.

2.如果平面外一条直线上有两点到这个平面的距离 相等.那么这条直线与这个平面的位置关系是( C ) A.平行 C.平行或相交 B.相交 D.以上都不对

3.下列说法中正确的是( C ) A .如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行, 那么这两个平面平行 B .如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平 行,那么这两个平面平行 C .如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平 行,那么这两个平面平行 D .如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面 平行

【解析】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC ∥平面 A1C1,但平面 A1C1 与平面 BC1 相交,故 A 错误;同 理平面 BC1 中有无数条直线与平面 A1C1 平行, 但平面 A1C1 与平面 BC1 相交,故 B 错误;又 AD∥平面 A1C1,AD∥平 面 BC1,但平面 BC1 与平面 A1C1 相交,故 D 错误.

4.在正方体 EFGH-E1F1G1H1 中,下列四对截 面彼此平行的一对是( A ) A.平面 E1FG1 与平面 EGH1 B.平面 FHG1 与平面 F1H1G C.平面 F1H1H 与平面 FHE1 D.平面 E1HG1 与平面 EH1G

【解析】 如图,∵EG∥E1G1,EG?平面 E1FG1,E1G1
?平面 E1FG1, ∴EG∥平面 E1FG1,

又 G1F∥H1E,同理可证 H1E∥ 平面 E1FG1, 又 H1E∩EG=E,
∴平面 E1FG1∥ 平面 EGH1.

5.(2017·济南高一检测)已知直线b,平面α,有以下条件: ①b与α内一条直线平行;

②b与α内所有直线都没有公共点;
③b与α无公共点; ④b不在α内,且与α内的一条直线平行. 其中能推出b∥α的条件有
②③④

.

(把你认为正确的序号都填上)

6.(2017·泉州高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系是

BD1∥平面ACE

.

【解析】如图所示,连接BD交AC于点F,连接EF,则EF是 △BDD1的中位线,所以EF∥BD1,又EF?平面ACE,BD1?平面 ACE,所以BD1∥平面ACE.

7.如下图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:平 面 A1BD∥平面 CB1D1.

【证明】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为A1B∥D1C,

D1C?平面CB1D1,
所以A1B∥平面CB1D1.同理可证A1D∥平面CB1D1.

又因为A1B?平面A1BD,A1D?平面A1BD,A1B∩A1D=A1,
所以平面A1BD∥平面CB1D1.

定义法

判定定理

直线与平面平行 的判定
注意 三个 条件

线线平行?线面平行

判定定理

平面与平面平行

的判定
注意 三个 条件

线线平行?线面平行?面面平行

我们应当努力奋斗,有所作为,这样,我们就

可以说,我们没有虚度年华,并有可能在时间
的沙滩上留下我们的足迹. ——拿破仑


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