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河南省2014年高中数学优质课:直线与圆的位置关系 作课课件_图文

《普通高中课程标准实验教科书· 数学(A版)》必修2第四章 【创设情境】 问题 1:“海上生明月,天涯共此时 ”是 唐代诗人张九龄的诗句,抒写 了对远方亲人的一片深情。全 诗情景交融,细腻入微,情真 意永,感人至深。 如果我们把明月看成一个圆, 海平面看成一条直线,直线与圆 的位置关系有几种? 【创设情境】 【解析】直线与圆的位置关系有三种: 相交 相切 相离 图形 公共点个数 d 与 r 的关系 直线的名称 2 1 0 d?r 割线 d ?r 切线 d ?r 【创设情境】 问题2:点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离是什么? 【解析】 d ? | Ax0 ? By0 ? C | A ?B 2 2 ; 【探究新知】 探究 :一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁 分布在以小岛的中心为圆心,半径 为 30km 的圆形区域.已知轮船位 于小岛中心正东 70km 处,港口位 于小岛中心正北 40km 处.如果轮 船沿直线返港,那么它是否有触礁 的危险? 【探究新知】 (1) 如果不建立直角坐标系, 你能解决这个问题吗? (2)如果以小岛的中心为原点 O,东西方向为 x 轴, 建立直角坐标系,其中取 10km 为单位长度, 你能写出其中的直线方程与圆的方程吗? (3)如何用直线方程与圆的方程判断它们的位置关 系,请谈谈你的想法? 【探究新知】 【解析】 (1)利用平面几何知识可知, 在 Rt ?AOB 中, OA ? 70, OB ? 40 , 则 AB ? 10 65 ,设 O 到 AB 的距离为 d , OA ? OB 70 ? 40 ? ? 34.7 ? 30 , 则d ? AB 10 65 所以轮船沿直线返港,没有触礁的危险; 【探究新知】 (2)如果以小岛的中心为原点 O,东西方向为 x 轴, 建立直角坐标系,其中取 10km 为单位长度, x y 直线方程: ? ? 1 ,即 4 x ? 7 y ? 28 ? 0 ; 7 4 圆的方程: x ? y ? 9 ; 2 2 【探究新知】 (3)方法一:利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离, 然后比较这个距离与半径的大小作出位置关系的判断; 方法二:就是看由它们组成的方程组有无实数解; 学生分组,展示成果,归纳总结; 【归纳】直线与圆的位置关系的判断方法: 设 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , ( 1)几何法:求圆心到直线的距离: d ? | Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2 ; ? Ax ? By ? C ? 0 ( 2)代数法:联立方程 ? , 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r 消元,考查其判别式 ? ; 相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; 相切 ? d ? r ? ? ? 0 ; 相离 ? d ? r ? ? ? 0 ; 【弦长问题】 【切线问题】 【最值问题】 【典例剖析】 1、如图,已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和 圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 判断直线 l 与圆的位置关系;如果相 交,求它们交点的坐标. 分析:方法一:判断由直线 l 与圆的方程组成的方程组有无实数解; 方法二:可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系; (1) ?3x ? y ? 6 ? 0 解法一:联立方程 ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 (2) 消去 y 得: x ? 3x ? 2 ? 0 , 2 因为 ? ? 1 ? 0 ,所以直线 l 与圆相交,有两个公共点. 解法二:由已知,圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,圆心 C (0,1) ,半径 r ? 5 5 10 C (0,1) 到直线 l 的距离 d ? ? ? 5, 2 10 所以直线 l 与圆相交,有两个公共点. 由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 2 , x2 ? 1 , 2 把 x1 ? 2 代入方程(1) ,得 y1 ? 0 ; 把 x2 ? 1 代入方程(1) ,得 y2 ? 3 ; 所以,直线 l 与圆有两个交点, 它们的坐标分别是: A(2, 0), B(1,3) . 比较两种方法,你有什么想法? 【典例剖析】 2、已知过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程; 解:圆的标准方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 25 , 圆心 C (0, ?2) ,半径 r ? 5 . 所以弦心距 d ? 5 ? (2 5) ? 5 , 2 2 这样的直线有几条? 由已知,设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) , 即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 , 根据点到直线的距离公式, d ? | 3k ? 1| 1? k 2 , 因此, | 3k ? 1| 1? k 2 ? 5 ,即 | 3k ? 1|? 5 ? 5k 2 , 2 1 两边平方,并整理得 2k ? 3k ? 2 ? 0 ,解得 k ? - ,或 k ? 2 , 2 所以,所求直线方程为: x ? 2 y ? 9 ? 0 ,或 2 x ? y ? 3 ? 0 . 【变式训练】 1、 (1)已知直线 4 x ? 3 y ? 35 ? 0 与圆心在原点的圆相切, 求圆的方程; (2)已知圆的方程 x ? y ? 2 ,直线 y ? x ? b ,当 b 为 2 2 何值时,直线与圆相交,相切,相离? (3)已知圆的方程 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? r (r ? 0) ,直线 2 2 2 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,当 r 为何

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