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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第12章选修4-4第1讲回归教材题源探究


一、选择题 1.(选修 4-4 P12 探究改编)在极坐标系中,曲线 ρ=acos θ 围成的几何图形的周长为 ( ) A.2πa C.2π|a| 解析:选 D.由 ρ=acos θ 得 ρ2=aρcos θ,即 x2+y2-ax=0, a a 即(x- )2+y2=( )2, 2 2 |a| 曲线表示半径 r= 的圆, 2 |a| 其周长为 2πr=2π· =π|a|,故选 D. 2 2.(选修 4-4 P15 习题 T3(4)改编)双曲线 ρ2cos 2θ=c(c≠0)的离心率为( A. 2 C.2 解析:选 A.由 ρ2cos 2θ=c 得 ρ2(cos2θ-sin2θ)=c,即 x2-y2=c(c≠0), x2 y2 ①当 c>0 时,双曲线为 - =1, c c 离心率 e= c+c = 2. c B. 3 D. 2或 2 2 ) B.πa D.π|a| y2 x2 当 c<0 时,双曲线为 - =1, -c -c 离心率为 e= 二、填空题 π 3.(选修 4-4 P15 习题 T2 改编)在极坐标系中,由三条直线 θ=0,θ= ,ρcos θ+ρsin θ 3 =1 围成图形的面积是________. 解析: -c-c = 2.故选 A. -c π θ=0,θ= ,ρcos θ+ρsin θ=1 三直线对应的直角坐标方程分别为:y=0,y= 3x,x 3 3- 3 +y=1,作出图形得围成图形为如图△OAB,S= . 4 3- 3 答案: 4 4. (选修 4-4 P15 习题 T6 改编)在极坐标系中, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= 6 , 2cos θ+3sin2θ 2 A、B 是 C 上两点,O 为极点,若 OA⊥OB,则△OAB 面积的最大值为_____. π 解析:可设 A(ρA,θ),B(ρB,θ± ). 2 2 ∴ρA = 6 6 ,ρ2 = , 2cos2θ+3sin2θ B 2sin2θ+3cos2θ 36 2 2 ∴ρA ρB= ?2cos2θ+3sin2 θ??2sin2θ+3cos2θ? = 36 2 ,∴当 sin22θ=0 时,(ρ2 AρB)max=6, 1 2 sin 2θ+6 4 即(ρAρB)max= 6. 1 6 ∴S= ρAρB 的最大值为 . 2 2 答案: 6 2 三、解答题 5.(选修 4-4 P15 习题 T4(4)改编)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极 π? 轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的 交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π θ- ?=1 得 解:(1)由 ρcos? ? 3? 1 3 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? (2)M 点的直角坐标为(2,0). 2 3? N 点的直角坐标为?0, . 3 ? ? 所以 P 点的直角坐标为?1, ? 3? , 3? 则 P 点的极坐标为? π 2 3 π? , ,所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=6(ρ∈R). 3 6 ? ?

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