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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第3章 曲线与方程 第二课时参考教案


3.4.2 圆锥曲线的共同特征
一、教学目标: 1、知识与技能:通过本节的学习,掌握圆锥曲线的共同性质,理解离必率、焦点、 准线的意义。 2、过程与方法:教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、 归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。 3、情感、态度与价值观:通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推 理的能力,感受圆锥曲线的统一美。 二、 教学重点:圆锥曲线定义的推导; 教学难点:对圆锥曲线定义的理解与运用 三、教学方法:讨论发现法 四、教学过程 (一) 、知识回顾 1、学生看课本 思考: 在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样的一个式子:
a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2 ,

将其变形为:

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
你能解释这个式子的意义吗?
2

?

c , a

这个式子表示一个动点 P(x,y)到定点(c,0)与到定直线 x ?
c 于定值 ,那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗? a

a2 的距离之比等 c

(二) 、新课探究 例 1、已知点点 P(x,y)到定点 F(c,0)的距离与到定直线 l : x ?
a2 的距离之 c

-1-

c 比是常数 (a ? c ? 0) ,求点 P 的轨迹。 a

解:由题意可得

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
2

?

c a

化简得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 。
x2 y2 令 a ? c ? b ,则上式可以化为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 这是椭圆的标准方程。 a b
2 2 2

所以点 P 的轨迹是焦点为(c,0) , (-c,0) ,长轴长、短轴长分别为 2a、2b 的椭 圆。 变式:若将条件 a ? c ? 0 改为 0 ? a ? c 呢? 由上例知,椭圆上的点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l (F 不在 l 上)的距离 的比是一个常数,这个常数就是椭圆的离必率 e
a2 类似地, 可以得到: 双曲线上的点 P 到定点 F (c, 0) 的距离和它到定直线 l : x ? c

( c ? a ? 0, b 2 ? c 2 ? a 2 )的距离的比是一个常数,这个常数 率e。

c 就是双曲线的离心 a

圆锥曲线的共同定义:圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l (F 不在定 直线 l 上)的距离之比是一个常数 e 。 这个常数 e 叫做圆锥曲线的离心率,定点 F 就是圆锥曲线的焦点,定直线 l 就是该 圆锥曲线的准线。 注: (1)椭圆的离心率 e 满足 0< e <1,双曲线的的离心率 e >1,抛物线的的离心率 (2)根据图形的对称性知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点, e =1。 焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是 x ? ?
a2 ;对于中心在原点,焦点在 c

a2 y 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是 y ? ? 。 (3)圆锥曲线的定义深刻提示了 c

三类曲线的内在联系,使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整体,当圆锥曲 线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时,常考虑第二定义;当圆锥
-2-

曲线上一点与两焦点距离之和(或差)为常数时,常考虑第一定义。 (三) 、新知巩固:学生练习:见课本 P87 1、2 (四) 、知识拓展:椭圆的焦半径公式:若 P(x,y)是椭圆上任一点,F1、F2 是 椭圆
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点和右焦点,则 PF PF2 ? a ? ex ;若 1 ? a ? ex, a2 b2

y2 x2 P(x,y)是椭圆上任一点,F1、F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的下焦点和上焦 a b

点,则 PF PF2 ? a ? ey ; 1 ? a ? ey, 例 2、若椭圆的长轴长是短轴长的 4 倍,一条准线方程是 y ? ?4 ,求椭圆的标准方 程。
a ? ? c ?4 2 2 2 ? b 2? 3, a 2 ? 12, 解 析 : ? a ? 2b , c ? a ? b , ? ?
2

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 3 12

例3

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P,到其左、右焦点距离之比为 1:3,求点 P 100 36

到两准线的距离及点 P 的坐标。

PF1 1 4 解析: a ? 10, b ? 6, c ? 8, e ? , PF1 ? PF2 ? 20, ? 5 PF2 3,
PF1 ? 5, PF2 ? 15, PF1 d1 ? e, PF2 d2 ? e , d1 ?
25 75 75 25 , d 2 ? 或d1 ? ,d 2 ? 4 4 4 4

由 PF PF2 ? a ? ex 得 x ? ? 1 ? a ? ex,

25 25 3 39 或x ? ,y ? ? 。 4 4 4

(五) 、课堂小结:1、圆锥曲线的共同性质;2、椭圆第二定义的简单应用。 (六) 、课堂作业:课本 P89 习题 2-3 第 6 题;练习册 3、4、6 五、教后反思

-3-


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