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高二数学第一学期期末试卷(文科必修2+选修1-1)修改版


高二数学第一学期期末质量检测试卷(湘教必修 3+选修 1-1)
一、选择题:(共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分)
1.已知过点 A?? 2, m ?, B?m,4? 的直线与 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 m 的值为( A.0
2 2



B.2

C.-8

D.10

2.

x y ? 2 ? 1 上顶点 C ?0, b ?, F1 ?? c,0?, F2 ?c,0? 直角三角形,则离心率 e =( ) 2 a b
A. 1 2 B.

2 2

C.1

D. 2

3.○命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为: 1 “两直线不平行,同位角不相等”. 2 ○ “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ”的充分必要条件;

3 ○若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. 4 x ○对于命题 p : ?x0 ? R , 02 ? 2 x0 ? 2 ≤ 0 , 上面四个命题中正确是( A.○○ 1 2 ) C.○○ 1 4 D.○○ 3 4 则 ? p : ?x ? R ,x2 ? 2 x ? 2 ? 0 .

B.○○ 2 3

4.两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0, l2 : 3x ? ay ? c ? 0, ?c ? 0? 的距离为 2 , A.-2 B.-6 C.2

a ?3 =( c
D.0



5.一个正三棱柱,它的三视图及其尺寸如下(单位 cm) ,则该几何体的表面积为( A.4(9+2 3 ) cm
2 3
侧视图
2 2
2

) B. (24 ? 8 3 ) cm D. 18 3 cm
2

正视图

C.14 3 cm
俯视图

2

6.设圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 ,过点 ? ?1, ?1? 作圆的切线,则切线方程为( A. x ? ?1 B. x ? ?1 或 y ? ?1
2 2



C. y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 或 x ? y ? 0

7.过 P?1,1? 的直线与圆 ? x ? 2? ? ? y ? 3? ? 9 交于 A, B 两点,则 AB 的最小值为( ) A. 2 3 B.4 C. 2 5 D.5
N

8.如图为正方体平面展开图:
D C M

(1)CN 与 AF 平行; (3) CN 与 BM 成 60? ; 以上四个命题中正确的是( A.(1)(2)(3) )

(2) CN 与 BE 是异面直线; (4)DE 与 BM 垂直.
E A B F

B.(2)(4)

C. (3)(4)

D.(3)

1

9.已知 m n ,是直线, ?,?,? 是平面,给出下列命题: , ①若 ? ? ? , ? ? ? ? m , n ? m ,则 n ? ? 或 n ? ? . ②若 ? ∥ ? , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n . ③若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? ∥ ? ④若 ? ? ? ? m , m // n 且 n ? ? , n ? ? ,则 n // ? 且 n // ? 其中正确的命题是( A.①②
2 2

) B.②④ C.②③ D.③④ )

10. C : ?x ? 3? ? y ? 100 , B?3,0? , P 为圆上动点, BP 的垂直平分线交 CP 于 M 点,则 M 点的轨迹方程是( A y ? 6x .
2

x2 y 2 ? ?1 B. 25 16

x2 y 2 ? ?1 C. 25 16

D. x ? y ? 25
2 2

二.填空题: (共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在空间直角坐标系中, A?? 1,2, x ? , B?1,4,0? ,且 AB ? 3 ,则 x =
2 2
? ?

.

12.已知圆 C : ?x ? 1? ? y ? 2 ,过点 P?? 1,0 ? 的直线 l , ?k ? 0? 交圆 C 于 A, B 两点,若 CA? CB ? 0 ,则直线 l 的方 程为 13.椭圆 C : .

x2 y2 ? ? 1, ?a ? b ? 0? 的两个焦点 F1 , F2 , P 为椭圆 C 上一点,且 PF1 ? 2 PF2 ,则此椭圆 C 的离心 a2 b2
.

率的取值范围为

14.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,过 A 点做面 A1 BD 的垂线,垂足为点 H ①点 H 是 ?A1 BD 的垂心;② AH ? 面CB1D1 ;③ AH 的延长线经过 C1 点; ④ AH 和 BB1 的所成角为 45 ;⑤ H 点到面 A1 B1C1 D1 的距离为 则下列命题中,正确的命题有 .
?

3 4
a 2 ? b2 ? a ? b , 那么 ? ?a, b ? ? 0 是 a, b 互

15.若实数 a, b 满足 a ? 0, b ? 0 且 ab ? 0 , 则称 a, b 互补, ? ?a, b ? ? 记 补的 .(填神马条件)

三.解答题: (共 6 小题,前三小题,每小题 13 分,后三小题,每小题 12 分,共 75 分) 16.已知关于 x, y 的方程 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆。 (2)若圆 C 与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M , N 两点,且 MN ?

4 ,求 m 的值。 5

2

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2 , ?PAB ? 60 .
?

M 是 PD 的中点.
(Ⅰ)证明 PB // 平面 MAC (Ⅱ) ;证明平面 PAB ⊥平面 ABCD ; (Ⅲ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积

18. F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1, ?a ? b ? 0? 的左、右两个焦点, A, B 为两个顶点,已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 2 a b 2

到 F1 , F2 两点的距离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P, Q 两点,求 ?F1 PQ 的面积.

19.如图 1, RT?ABC 中,?C ? 90 ,D, E 分别为 AC, AB 的中点, F 为线段 CD 上的一点, ?ADE 沿 DE 在 点 将
?

折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1 F ? CD A1F⊥CD,如图 2。 (I)求证: DE // 平面 A1CB ; (II)求证: A1 F ? BE ; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q ,使 A1C ? 平面 DEQ ?说明理由。

3

20.圆 M : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 | AB | .

21.已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx 与圆 C 交于 M , N 两点.
2 2

(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 .请将 n 表示为 m 的函数. ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

4

高二数学第一学期期末质量检测试卷(湘教必修 3+选修 1-1)参考答案
BBCBA BBDBB 11. ? 1 12. x ? 3 y ? 1 ? 0 13. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

14.①②③

15. 充要条件

16.解: (1)方程 C 可化为 显然

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m ?1 分

5 ? m ? 0时,即m ? 5 时方程 C 表示圆。
r ? 5?m

(2)由(1)知,圆心 C(1,2) ,半径

则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为 d ?

1? 2? 2 ? 4 12 ? 2 2

?

1 5

? MN ?

4

1 2 1 ,有 r 2 ? d 2 ? ( MN ) 2 , 则 MN ? 2 2 5 5 1 2 2 ) ? ( )2 , 得 5 5

?5 ? m ? (

m?4

17.解(Ⅰ)证明连接在 ?PBD 中,∵OM 是中位线∴PB∥OM∵PB ? 平面 MAC, OM ? 平面 MAC,∴PB∥平面 MAC,――――――――――――――3 分 (Ⅱ)由题设 PA ? 2, PD ? 2 2 可得 PA ? AD ? PD 于是 AD ? PA .在矩
2 2 2

形 ABCD 中, AD ? AB .又 PA ? AB ? A , 所以 AD ? 平面 PAB .∵AD ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD―――――――6分 ( Ⅲ ) 解 : 过 点 P 做 PH ? AB 于 H , ? 平 面 P AB ? 平 面 A B C D

平面PAB ? 平面ABCD ? AB ? PH ? 平面 ABCD ,--------8 分
在 Rt? PHA 中 PH=PAsin60 = 2 ?
0

3 ? 3 2

?Vp ? ABCD ?

1 1 AB ? AD ? PH ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 3 ----------------10 分 3 3

18:解(Ⅰ)由题设知:2a = 4,即 a = 2
2 1 (3) 3 2 2 将点 (1, ) 代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 ,解得 b = 3 2 2 b
2 2 2 2 2 ∴c = a -b = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为 x ? y ? 1 --------------3 分 4 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?2,0), B(0, 3 ) ,

? k PQ ? k AB ?

3 , ∴PQ 所在直线方程为 y ? 3 ( x ? 1) ---------------5 分 2 2

5

? 3 ( x ? 1) ?y ? 2 2 由? 得 8 y ? 4 3 y ? 9 ? 0 ---------------------------------7 分 ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则 y1 ? y 2 ? ?
? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? --------8 分 2 8

3 9 21 --------------------------9 分 ? 4? ? 4 8 2

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . -------------------------10 分 2 2 2 2 19.解: (1)因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC.又因为 DE ? 平面 A1CB,所以 DE∥平面 A1CB. (2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD.所以 DE⊥平面 A1DC.而 A1F ? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE.所以 A1F⊥BE (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:如图, 分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知 DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP,所以 A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. ? S ?F1PQ ?
20.解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1 ? 1 ;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2 ? 3 . 设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以 PM ? PN ? ( R ? r1 ) ? (r2 ? R) ? r1 ? r2 ? 4 . 有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左定点除外),其方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3
(II) 对于曲线 C 上任意一点 P( x, y ) ,由于 PM ? PN ? 2 R ? 2 ? 2 ,所以 R ? 2,当且仅当圆 P 的圆心为
2 2

(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ; 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得 AB ? 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,则 r1 ? R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,



QP QM

?

3k R ? 1, ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 于圆 M 相切得 r1 1? k 2

解得 k=±

2 . 4

x2 y 2 2 2 ? ? 1 ,并整理得 7 x2 ? 8x ? 8 ? 0 , 当 k= 时,将 y= x+ 2 代入 4 4 4 3

6

解得 x1,2 ?

?4 ? 6 2 18 .所以 AB = 1+k 2 x2 ? x1 ? . 7 7

当 k= ?

2 18 时,有图形的对称性可知 AB = . 4 7

综上, AB =2 3或 AB ?

18 . 7
2 2

21.解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x ? ( y ? 4) ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*) 由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3 ) ? ( 3 , ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx2 ) ,则

OM


2

? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x 2 ,又 OQ ? m 2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m 2 ,
2 2

2

2

2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? 2 ? 2 ? 1 2 2 m 2 x1 x2 x1 x 2

由(*)知 x1 ? x 2 ? 所以 m 2 ?

8k 1? k
2

, x1 x 2 ?

12 , 1? k2

36 , 5k 2 ? 3 36 n ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , m 5k ? 3

因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? 由 m2 ?

36 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3 , 0) ? (0, 3 ) . 2 5k ? 3
36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 ? , 5 5

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3 , 0) ? (0, 3 ) ) 5

7


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