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改后3.1.2空间向量的数乘运算导学案


3.1.2

空间向量的数乘运算

学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量、共面向量的 意义,掌握它们的表示方法. 2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,并能运用它们证明空间向量 的共线和共面的问题. 知识梳理 1.空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘:实数 λ 与空间向量 a 的乘积仍然是一个向量,记作________, 称为向量的数乘运算.当 λ >0 时,λ a 与向量 a 方向________;当 λ <0 时, λ a 与向量 a 方向________;λ a 的长度是 a 的长度的________倍. (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律. 分配律:______________;结合律:______________. 2.共线向量 (1) 共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ________ 或 ________,则这些向量叫做共线向量或平行向量. (2)对空间任意两个向量 a、b(b≠0),a∥b 的充要条件是________________. (3)

方向向量:如图 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间任 意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使____________,其中向 量 a 叫做直线 l 的方向向量. 3.共面向量 (1)共面向量:平行于________________的向量,叫做共面向量. (2)如果两个向量 a、b 不共线,那么向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在 惟一的有序实数对(x,y),使__________.空间内一点 P 位于平面 ABC 内的充 要条件是存在有序实数对(x,y),使______________. 对空间任意一点 O,点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x,y), 使________________.

思考:1、已知点M在平面ABC内,并且对于空间任一一点O,
1 1 OM ? xOA ? OB ? OC ,则 x 的值 3 3

2、若对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,满足向量关系式
学习这件事情不是缺乏时间,而是缺乏努力 1

OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1) 的点P与点A、B、C共面是否共面?
典 例 : 例 1 : 设 e1 、 e2 是 平 面 上 不 共 线 的 向 量 , 已 知

AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若A、B、D三点共线,求 k 的值。

例2: 已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间 9 个点(如图),并且

OE ? kOA, OF ? kOB, OH ? kOD, AC ? AD ? mAB, EG ? EH ? mEF.
求证:①A、B、C、D四点共面, ② AC ∥ EG ③ OG ? kOC
D A H B G O







学习这件事情不是缺乏时间,而是缺乏努力

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反馈练习: 一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B.向量 a,b,c 共面,即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ ,使 a=λ b 2.满足下列条件,能说明空间不重合的 A、B、C 三点共线的是( A. → AB+→ BC=→ AC B. → AB-→ BC=→ AC

)

C.→ AB=→ BC D.|→ AB|=|→ BC| 3.如图,空间四边形 OABC 中,M、N 分别是 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且

→+y → MG=2GN,则 OG =xOA ) OB +zOC,则( 1 1 1 1 1 1 A.x= ,y= ,z= B.x= ,y= ,z= 3 3 3 3 3 6 1 1 1 1 1 1 C.x= ,y= ,z= D.x= ,y= ,z= 6 6 3 6 3 3 4.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是( ) 1 1 1 A. OM =2→ OA- OB -→ OC B. OM = → OA+ OB + → OC 5 3 2 C. MA +→ MB+→ MC=0 D. OM +→ OA+ OB +→ OC=0 → → 5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A ,D ) 1C,A1C1是( A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 6.下列命题中是真命题的是( ) A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是 共面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量→ AB,→ CD,满足|→ AB|>|→ CD|,且→ AB与→ CD同向,则→ AB>→ CD D.若两个非零向量→ AB与→ CD满足→ AB+→ CD=0,则→ AB∥→ CD 7、下列结论中,正确的个数是( ) ① 若向量 a , b , c 共面,则存在实数 x, y ,使得 a ? xb ? yc
学习这件事情不是缺乏时间,而是缺乏努力 3

② ③ ④ A

若向量 a , b , c 不共面,则不存在实数 x, y ,使得 a ? xb ? yc 若向量 a , b , c 共面, b , c 不共线,则存在实数 x, y, z ,使得 a ? xb ? yc 若 a ? xb ? yc ,则 a , b , c 共面 、1 B、 2 C、 3 D、 4

8、在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M为AC与BD的交点,若 A1B1 ? a ,

A1D1 ? b, A1 A ? c ,则下列向量中与 B1M 相等的是(
1 1 ? a? b?c 2 2 1 1 a? b?c C、 2 2 二、填空题



A、

1 1 1 B、 a ? b ? c 2 2 2 1 1 D、 ? a ? b ? c 2 2

9.在空间四边形 ABCD 中,连结 AC、BD,若△BCD 是正三角形,且 E 为其中心,则→ AB 1 3 + → BC- → DE-→ AD的化简结果为________. 2 2 → → 10.在正四面体 O-ABC 中,OA=a, OB =b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中 点,则→ OE=______________(用 a,b,c 表示). 11.已知 P 和不共线三点 A,B,C,四点共面且对于空间任意一点 O,都有 OP =2→ OA= 2→ OA+ OB +λ → OC,则 λ =________. 三、解答题 12.已知 ABCD—A′B′C′D′是平行六面体. 1 → → 2→ (1)化简 AA ′+BC+ AB;(2)设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BC C′ B′对角 2 3 3 → → → 线 B C′上的 分点,设 MN =α AB+β AD+γ AA′,试求 α ,β ,γ 的值. 4

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