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(新课标)2017春高中数学第1章解三角形综合检测新人教A版必修5资料


2017 春高中数学 第 1 章 解三角形综合检测 新人教 A 版必修 5
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是 导学号 54742189 ( B ) A.一解 C.一解或两解 [解析] ∵bsinA=100? ∴bsinA<a<b, ∴此三角形有两解. 2.(2015?吉林省长春市质量监测)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 a =b +c -bc,bc=4,则△ABC 的面积为 导学号 54742190 ( 1 A. 2 C. 3 B.1 D.2
2 2 2

B.两解 D.无解 2 =50 2<80, 2

C )

1 π 1 2 2 2 [解析] ∵a =b +c -bc,∴cosA= ,∴A= ,又 bc=4,∴△ABC 的面积为 bcsinA 2 3 2 = 3,故选 C. 3. (2016?吉林绥化一模)两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离分别为 10 km 和 20 km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 15°方向上,灯塔 B 在观察站 C 的南偏西 75°方向上,则灯塔

A 与灯塔 B 的距离为 导学号 54742191 ( B )
A.10 5 km C.10 3 km B.10 7 km D.30 km

[解析] 在△ABC 中,∠ACB=15°+90°+(90°-75°)=120°.已知 AC=10km,BC 1 2 2 2 2 2 =20km,由余弦定理得 AB =AC +BC -2AC?BC?cos120°=10 +20 -2?10?20?(- ) 2 =700,∴AB=10 7.故选 B.

1

4.已知钝角三角形的三边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是 导学号 54742192 ( C ) A.1<x<5 C.1<x< 5或 13<x<5
? ?3<x<5 [解析] 当 x 为最大边时? 2 2 2 ?x >3 +2 ?

B. 5<x< 13 D.1<x< 5 ,∴ 13<x<5;

当 3 为最大边时?

?1<x<3 ? ? ?3 >x +2
2 2 2

,∴1<x< 5.

∴x 的取值范围是:1<x< 5或 13<x<5. 5.已知关于 x 的方程 x -xcosA?cosB+2sin =0 的两根之和等于两根之积的一半, 2 则△ABC 一定是 导学号 54742193 ( A.直角三角形 C.等腰三角形 [解析] 由题意知:cosA?cosB=sin , 2 1-cosC 1 1 1 1 ∴cosA?cosB= = - cos[180°-(A+B)]= + cos(A+B), 2 2 2 2 2 1 1 ∴ (cosA?cosB+sinA?sinB)= ,∴cos(A-B)=1, 2 2 ∴A-B=0,∴A=B,∴△ABC 为等腰三角形,故选 C. 6. 等腰△ABC 底角 B 的正弦与余弦的和为 A.30°或 150° C.30° [解析] 由题意:sinB+cosB= 2B.
2
2 2 2

C

C ) B.钝角三角形 D.等边三角形

C

6 , 则它的顶角是 导学号 54742194 ( 2 B.15°或 75° D.15°

A )

6 1 .两边平方得 sin2B= ,设顶角为 A,则 A=180°- 2 2

1 ∴sinA=sin(180°-2B)=sin2B= , 2 ∴A=30°或 150°. 7.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC = 导学号 54742195 ( 7 A. 25 7 C.± 25 [解析] 由 A ) 7 B.- 25 24 D. 25

b c 4 = 及 8b=5c, C=2B 得, 5sin2B=8sinB, ∴cosB= , ∴cosC=cos2B sinB sinC 5

7 2 =2cos B-1= . 25 8.(2015?东北三省四市联考)若 G 是△ABC 的重心,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, 3 → → → 且 aGA+bGB+ cGC=0,则角 A= 导学号 54742196 ( D 3 A.90° C.45° B.60° D.30° )

3 → → → → → → → → → [解析] 由重心性质可知GA+GB+GC=0, 故GA=-GB-GC, 代入 aGA+bGB+ cGC=0 3 中, 3 → → 即(b-a)GB+( c-a)GC=0, 3

b-a=0 ? ? → → 因为GB,GC不共线,则? 3 c-a=0, ? ?3
即?

?b=a, ?c= 3a,

故 cosA=

b2+c2-a2 3 = , 2bc 2

因为 0<A<180°,所以 A=30°,故选 D. 9.△ABC 中,已知下列条件:①b=3,c=4,B=30°;②a=5,b=8,A=30°;③c =6,b=3 3,B=60°;④c=9,b=12,C=60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是 导学号 54742197 ( A.①② C.①②③ [解析] ①csinB<b<c,故有两解;
3

A ) B.①④ D.③④

②bsinA<a<b,故有两解; ③b=csinB,有一解; ④c<bsinC,无解. 所以有两解的有①②,故选 A. 10.在△ABC 中,三边长分别为 a-2,a,a+2,最大角的正弦值为 的面积为 导学号 54742198 ( 15 A. 4 21 3 C. 4 B ) 15 3 B. 4 35 3 D. 4 3 ,则这个三角形 2

[解析] ∵三边不等,∴最大角大于 60°, 设最大角为 α ,故 α 对的边长为 a+2. ∵sinα = 3 ,∴α =120°, 2

由余弦定理,得 (a+2) =(a-2) +a +a(a-2), 即 a =5a,解得 a=5,∴三边长为 3,5,7,
2 2 2 2

S△ABC= ?3?5?sin120°=

1 2

15 3 . 4

11.(2016?江西一模)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对边的边长,若 cosA 2 a+b +sinA- =0,则 的值是 导学号 54742199 ( cosB+sinB c A.1 C. 3 B. 2 D.2 B )

2 [解析] 将 cosA+sinA- =0,整理得(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2,即 cosB+sinB cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos(A-B)+sin(A+B)=2, ∴cos(A-B)=1, sin(A+B)=1, π ∴A-B=0,A+B= , 2 π π a b c 即 A=B= , C= .利用 = = = 2R, 得 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 4 2 sinA sinB sinC 2 2 + 2 a+b 2RsinA+2RsinB sinA+sinB 2 则 = = = = 2.(R 为△ABC 的外接圆半径) c 2RsinC sinC 1
4

12. 如图, 一货轮航行到 M 处, 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°, 与灯塔 S 相距 20n mile, 随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30min 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速 度为 导学号 54742200 ( B )

A.20( 2+ 6)n mile/h C.20( 3+ 6)n mile/h [解析] 由题意可知

B.20( 6- 2)n mile/h D.20( 6- 3)n mile/h

∠SMN=15°+30°=45°,MS=20,∠MNS=45°+(90°-30°)=105°,设货轮每 1 小时航行 xn mile,则 MN= x, 2 ∴∠MSN=180°-105°-45°=30°, 1 x 2 20 由正弦定理,得 = , sin30° sin105° ∵sin105°=sin(60°+45°) =sin60°cos45°+cos60°sin45°= ∴x=20( 6- 2),故选 B. 二、 填空题(本大题共 4 个小题, 每个小题 4 分, 共 16 分. 将正确答案填在题中横线上) 3 → → 8 13 . 在 △ ABC 中 , 已 知 b = 1 , sinC = , bcosC + ccosB = 2 , 则 AC ? BC = 或 - 5 5 8 . 导学号 54742201 5 [解析] 由余弦定理的推论,得 cosC= ∵bcosC+ccosB=2, ∴ 6+ 2 , 4

a2+b2-c2 a2+c2-b2 ,cosB= . 2ab 2ac

a2+b2-c2 a2+c2-b2 + =2, 2a 2a

→ ∴a=2,即|BC|=2. 3 ∵sinC= ,0°<C<180°, 5
5

4 4 ∴cosC= ,或 cosC=- . 5 5 → 又∵b=1,即|AC|=1, 8 → → 8 → → ∴AC?BC= ,或AC?BC=- . 5 5 1 14.已知△ABC 的周长为 2+1,且 sinA+sinB= 2sinC.若△ABC 的面积为 sinC, 6 则 C=60°. 导学号 54742202 [解析] ∵sinA+sinB= 2sinC. ∴a+b= 2c. 又∵a+b+c= 2+1,∴c=1,a+b= 2. 1 1 又 S△ABC= absinC= sinC. 2 6 1 ∴ab= , 3 ∴cosC=

a2+b2-c2 ?a+b?2-2ab-c2 1 = = , 2ab 2ab 2

∴C=60°. 15.(2016?河北石家庄市一模)已知△ABC 中,AC=4,BC=2 7,∠BAC=60°,AD⊥

BD BC 于 D,则 的值为 6. 导学号 54742203 CD
[ 解析 ] 在△ ABC 中, AC = 4 , BC = 2 7 ,∠ BAC =60°,由余弦定理得 cos60°=

AB2+42-?2 7?2 1 = ,解得 AB=6(负值舍去).因为 Rt△ABD 与 Rt△ACD 有公共边 AD,所 2AB?4 2
12 7 2 7 2 7 BD 2 2 2 2 以 6 -BD =4 -(2 7-BD) ,解得 BD= ,所以 CD= ,所以 CD= .故 =6. 7 7 7 CD

b+c 2A 16.在△ABC 中,cos = ,则△ABC 的形状为直角三角形. 导学号 54742204 2 2c
1+cosA b+c 1 b 2A [解析] ∵cos = = = + , 2 2 2c 2 2c ∴cosA= . 由余弦定理的推论,得 cosA=

b c

b2+c2-a2 , 2bc

b2+c2-a2 b ∴ = , 2bc c
6

∴a +b =c . ∴△ABC 为直角三角形. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17 . ( 本 题 满 分 12 分 )(2016? 北 京 理 , 15) 在 △ ABC 中 , a + c = b +
2 2 2

2

2

2

2

ac. 导学号 54742205
(1)求∠B 的大小; (2)求 2cosA+cosC 的最大值. [解析] (1)由余弦定理及题设条件得 cosB= π 又 0<∠B<π ,所以<B= . 4 3π (2)由(1)知∠A+∠C= ,则 4 2cosA + cosC = 2cosA + cos ?

a2+c2-b2 2ac 2 = = . 2ac 2ac 2

?3π -A? = 2cosA - 2 cosA + 2 sinA = 2 cosA + 2 ? 2 2 2 2 ? 4 ?

? π? sinA=cos?A- ?. 4? ?
3π 因为 0<∠A< , 4 π 所以当∠A= 时, 2cosA+cosC 取得最大值 1. 4 18.(本题满分 12 分)(2015?广州市综合检测)已知△ABC 的三边 a,b,c 所对的角分 别为 A,B,C,且 a︰b︰c=7︰5︰3. 导学号 54742206 (1)求 cosA 的值; (2)若△ABC 的面积为 45 3,求△ABC 外接圆半径的大小. [解析] (1)因为 a︰b︰c=7︰5︰3, 所以可设 a=7k,b=5k,c=3k(k>0), 由余弦定理得 cosA=

b2+c2-a2 ?5k?2+?3k?2-?7k?2 1 = =- . 2bc 2?5k?3k 2

1 (2)由(1)知 cosA=- , 2 因为 A 是△ABC 的内角,所以 sinA= 1-cos A= 由(1)知 b=5k,c=3k,
2

3 . 2

7

1 因为△ABC 的面积为 45 3,所以 bcsinA=45 3, 2 1 3 即 ?5k?3k? =45 3,解得 k=2 3. 2 2 由正弦定理得 2R= 7k 14 3 = =28, sinA 3 2 解得 R=14,所以△ABC 外接圆半径的大小为 14. 19.(本题满分 12 分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要 求在考点周围 1km 内不能收到手机信号.检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约 3km 有 一条北偏东 60°方向的公路, 在此处检查员用手机接通电话, 以 12km/h 的速度沿公路行驶, 最长需要多少时间,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格? 导学号 54742207

[解析] 如图所示,考点为 A,检查开始处为 B,设公路上 C,D 两点到考点的距离为 1km. 在△ABC 中,AB= 3≈1.732,AC=1,∠ABC=30°, 由正弦定理,得 sin∠ACB=

ABsin30° 3 = , AC 2

∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意), ∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1. 在△ACD 中,AC=AD,∠ACD=60°, ∴△ACD 为等边三角形,∴CD=1. ∵

BC

?60=5, 12

∴在 BC 上需要 5min,CD 上需要 5min. ∴最长需要 5min 检查员开始收不到信号,并至少持续 5min 该考点才算合格. 20.(本题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 1 → → BA?BC=2,cosB= ,b=3,求: 导学号 54742208 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → [解析] (1)由BA?BC=2 得 c?acosB=2.

8

1 又 cosB= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理得 a +c =b +2accosB. 1 2 2 又 b=3,所以 a +c =9+2?6? =13. 3 解?
? ?ac=6, ?a +c =13, ?
2 2 2 2 2

得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sinB= 1-cos B=
2

1 2 2 2 1-? ? = . 3 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sinC= sinB= ? = . b 3 3 9
因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cosC= 1-sin C=
2

4 2 2 7 1-? ?= . 9 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= ? + ? = . 3 9 3 9 27 21.(本题满分 12 分)(2015?山东淄博市检测)已知锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c,且 tanA= (1)求角 A 的大小; (2)当 a= 3时,求 c +b 的最大值,并判断此时△ABC 的形状. sinA 3cb 3 [解析](1)由已知及余弦定理,得 = ,sinA= ,因为 A 为锐角,所以 A cosA 2cbcosA 2 =60°. (2)解法 1:由正弦定理,得
2 2

3cb . 导学号 54742209 c2+b2-a2

a b c 3 = = = =2, sinA sinB sinC 3 2

所以 b=2sinB,c=2sinC=2sin(120°-B).

c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]
1-cos2B 1-cos?240°-2B? =4[ + ] 2 2 =4-cos2B+ 3sin2B =4+2sin(2B-30°).

9

?0°<B<90° ? 由? ?0°<120°-B<90° ?

,得 30°<B<90°,所以 30°<2B-30°<150°,
2 2

当 sin(2B-30°)=1,即 B=60°时,(c +b )max=6, 此时 C=60°,△ABC 为等边三角形. 解法 2:由余弦定理得( 3) =b +c -2bccos60°=b +c -bc=3. ∵bc≤
2 2 2 2 2 2

b2+c2
2
2

(当且仅当 b=c 时取等号), ≤3,即 b +c ≤6(当且仅当 b=c 时等号).
2 2

∴b +c -
2 2

b2+c2
2

故 c +b 的最大值为 6,此时△ABC 为等边三角形. 22.(本题满分 14 分)如图所示,A、B 两个小岛相距 21n mile,B 岛在 A 岛的正南方, 现在甲船从 A 岛出发,以 9n mile/h 的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以 6n mile/h 的速度离 开 B 岛向南偏东 60°方向行驶,问行驶多少时间后,两船相距最近,并求出两船的最近距 离. 导学号 54742210

[解析] 设行驶 t 小时后,甲船行驶了 9tn mile 到达 C 处,乙船行驶了 6tn mile 到达

D 处.
7 当 9t<21,即 t< 时,C 在线段 AB 上,此时 BC=21-9t, 3 在△BCD 中,BC=21-9t,BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°, 由余弦定理,得 CD =BC +BD -2BC?BD?cos120° 1 2 2 =(21-9t) +(6t) -2?(21-9t)?6t?(- ) 2 =63t -252t+441=63(t-2) +189. ∴当 t=2 时,CD 取得最小值 189=3 21. 7 7 当 t= 时,C 与 B 重合,此时 CD=6? =14>3 21. 3 3 7 2 2 2 2 当 t> 时,BC=9t-21,则 CD =(9t-21) +(6t) -2?(9t-21)?6t?cos60°=63t 3 -252t+441 =63(t-2) +189>189.
10
2 2 2 2 2 2

综上可知,t=2 时,CD 取最小值 3 21 n mile,故行驶 2h 后,甲、乙两船相距最近为 3 21 n mile.

11


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