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江苏省如皋市2010届抽考高三数学理科含解答2010.1.5


安徽高中数学

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江苏省如皋市 2010 届抽考高三数学理科
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1.集合 A ? {0,2, a}, B ?{1, a 2} ,若 A ? B ? {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值为__4___. 2.经过点(-2,3) ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 。 3.若数列 1, a, b, c, 4 成等比数列,则 b 的值为___2____. 4.已知函数 f ( x) ? ?

x ? 100 ? x ? 3, ,则 f (89) ? ? f ( x ? 5), x ? 100

101



5 . 已 知 两 个 点 A(2, ? 1) 和 B(?1, 3) 分 布 在 直 线 ?3x ? 2 y ? a ? 0 的 两 侧 , 则 a 的 取 值 范 围 为 ____ (?9, 8) _____.

1 ? 2 19 ? 6. 已知 sin( x ? ) ? ,求 sin( ? ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值为____ ? __. 6 3 6 3 9
7.已知函数 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0, 4) ,且 f ( x ) 在区间 [?1,5] 上的最大值 是 12,则 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ?3( x ? 2)2 ? 12 .

8. 已知椭圆的方程为

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(m ? 0) ,如果直线 y ? x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴的射影恰 16 m 2
2 ____. 2

为椭圆的右焦点 F ,则椭圆的离心率为__

9.设函数 f ( x) ? log3 x ? 4 ? x ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 [3, 4] . 10.给出下列关于互不相同的直线 m, n, l 和平面 ? , ? 的四个命题: (1) m ? ? , l ? ? ? A, A ? m, 则 l 与 m 不共面; (2) l 、m 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; (3)若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l / / ? , m / / ? ,则 ? // ? ; (4)若 l // ? , m // ? , ? // ? , 则l // m 其中真命题是(1)(2)(3) 、 、 (填序号) 11.已知直线 l1 与 l 2 平行,点 A 是这两直线之间的一定点,且点 A 到这两直线的距离分别为 3 和 2, 以 A 为直角顶点的直角三角形另两顶点 B、C 分别在直线 l1 、 l 2 上,则当 B、C 运动时,直角三角形 ABC 面积的最小值为 6 .
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12.对于数列{ an },定义数列{ an?1 ? an }为数列{ an }的“差数列”,若 a1 ? 2 ,{ an }的“差数列”的 通项公式为 2 ,则数列{ an }的前 n 项和 S n = 2
n
n ?1

?2.

13. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于点 A 和 B ,在线段 AB 上取一点 D( x, 0) ,作 DC ? AB 与 圆 O 的一个交点为 C ,若线段 AD 、 BD 、 CD 可作为一个锐角三角形的三边长,则 x 的取值范围 为 (? 5 ? 2,

5 ? 2) .

14. 若方程 k | x |? ( x ? 2) x3 有三个不同的根,则实数 k 的取值范围为 (?

32 ,0) ? (0, ??) . 27

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)如图已知 A 、 B 分别为 ?POQ 的边 OP 、 Q B

??? ??? ? ? OQ 上的动点且 ?POQ ? 600 , | OA ? OB |? 6
(1) 若 OA ? OB ? 12,求| |,| OB | ; OA (2) 求 OA ? OB 的最大值.

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

O A

P

??? ??? ? ? 2 2 解:(1)? | OA ? OB |? 6 ,∴ OA ? 2OA ? OB ? OB ? 36 ??? ??? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? 又? OA ? OB ? 12 , ∴OA ? OB ? 60, OA ? OB ? 24
??? ? ??? ? ? | OA ? 2 3 ?| OA |? 4 3 ? ? ∴? ??? . 或 ? ??? ? ? | OB |? 4 3 OB |? 2 3 ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? 1 ??? ??? (2) OA ? OB ? | OA | ? OB cos ?POQ ? | OA | ? | OB | 2
又? OA ? 2OA ? OB ? OB ? 36 ∴OA ? OA ? OB ? OB ? 36 而 OA ? OB ? 2 OA ? OB ∴ OA ? OB ? 36 当且仅当 OA ? OB ? 6 时取等号 14 分
2 2 2 2

7分

2

2

即 OA ? OB 的最大值为 18 16. (本题满分 14 分)

??? ??? ? ?

如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥ ABC,AC=BC,M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、 面 B1C1 的中点. (1)求证:面 PCC1⊥ MNQ; 面
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C B P A M N

C1 Q B1 A1

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(2)求证:PC1∥ MNQ; 面 (3)若 AA ? AB ? 2 AC, 求二面角Q ? MN ? C1 的余弦值. 1 证明: (1)∵ AC=BC, P 是 AB 的中点 ∵ 1⊥ ABC,CC1∥ 1, AA 面 AA ∴ 1⊥ ABC 而 AB 在平面 ABC 内 CC 面 ∴ 1⊥ CC AB, ∵ 1∩PC=C CC ∴ AB⊥ PCC1; 面 ∴ AB⊥ PC

又∵ M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,四边形 AA1B1B 是平行四边形,MN∥ AB, ∴ MN⊥ PCC1 面 ∵ MN 在平面 MNQ 内,∴ PCC1⊥ MNQ; 4 分 面 面

(2)连 PB1 与 MN 相交于 K,连 KQ, ∵ MN∥ PB,N 为 BB1 的中点,∴ 为 PB1 的中点. K 又∵ 是 C1B1 的中点∴ 1∥ Q PC KQ 而 KQ ? 平面 MNQ,PC1 ? 平面 MNQ ∴ 1∥ MNQ. PC 面 (3)由 AA ? AB ? 2 AC 不妨设 AA ? AB ? 2, AC ? 2 1 1 以点 P 为坐标原点 PA 所在直线为 x 轴,平面 ABB1 A 内直线 AB 的垂直平分线为 y 轴,PC 所在直 1 线为 z 轴建立空间直角坐标系。 9分

1 1 , 2, ) , M (1,1,0), N (?1,1,0), C1 (0, 2,1) . 2 2 ? 平面 MNQ 的一个法向量为 h ? (0,1, ?2) ,
则可求得各点的坐标为 Q ( ? 平面 MNC1 的一个法向量为 g ? (0,1, ?1)

? ?

? ? ? ? ? ? h? g 1? 2 3 10 ? cos h, g ? ? ? ? ? 10 | h || g | 5? 2
显 然 二 面 角 Q? M N ? 14 分 17. (本题满分 15 分) 已知椭圆 为 C 锐 角 , 所 以 二 面 角 Q? M N ? 的 C 余弦值为

1

1

3 10 10

x2 ? y 2 ? 1的左、右两个顶点分别为 A,B,直线 4

y

l:x=t M

x ? t (?2 ? t ? 2)

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A

O N

B x

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与椭圆相交于 M,N 两点,经过三点 A,M,N 的圆与经过三点 B,M,N 的圆分别记为圆 C1 与圆 C2. (1)求证:无论 t 如何变化,圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值; (2)当 t 变化时,求圆 C1 与圆 C2 的面积的和 S 的最小值. 解: (1)易得 A 的坐标 (?2,0) , B 的坐标 ( 2,0)

M 的坐标 (t ,

4 ?t2 4 ?t2 ) , N 的坐标 (t ,? ), 2 2

t ? 2 4 ?t2 线段 AM 的中点 P ( , ), 2 4
4 ?t2 1 2?t 2 ? t?2 2 2?t

直线 AM 的斜率 k1 ?

又 PC1 ? AM , ? 直线 PC1 的斜率 k 2 ? ?2

2?t 2?t

2?t t ?2 4 ?t2 (x ? )? ? 直线 PC1 的方程 y ? ?2 2?t 2 4
3t ? 6 ,0 ) 5分 8 3t ? 6 ,0 ) 同理 C 2 的坐标为 ( 8 3 ? C1C 2 ? ,即无论 t 如何变化,为圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值 8 分 4 3t ? 10 10 ? 3t (2)圆 C1 的半径为 AC1 ? 圆 C 2 的半径为 BC 2 ? 8 8

? C1 的坐标为 (

S ? ? AC1 ? ? BC 2
2

2

?

显然 t ? 0 时, S 最小, S min

(9t 2 ? 100 ) ( ? 2 < t < 2 ) 32 25? ? 8

?

15 分

18(本题满分 15 分)某地方政府在某地建一座桥,两端的桥墩相距 m 米,此工程只需建两端桥墩 之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩) .经预测,一个桥墩的费用为 256 万元,相邻两个桥墩之间的 距离均为 x ,且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为 (1 ? x ) x 万元,假设所有桥墩都视为点且不考 虑其它因素,记工程总费用为 y 万元.

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(1) 试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2) 当 m ? 1280 米时,需要新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解:根据题意,需要建 ( (1) y ? 256(

m m ? 1) 个桥墩和 段桥面工程, x x

m m 256 m ? 1) ? (1 ? x ) x ? m( x ? ) ? m ? 256 ( x ? 0, ? N ? ) x x x x
6分

(2)当 m ? 1280 时, y ? 1280( x ?
y ' ? 1280( 1 2 x ?

256 ) ? 1536, x

256 ) ,令 y ' ? 0 得 x ? 64 , x2

当 0 ? x ? 64 时, y ' ? 0 ;当 x ? 64 时, y ' ? 0 . 所以当 x ? 64 时, y 有最小值 16896,此时要建 21 个桥墩. 答:需要建 21 个桥墩才能使 y 最小. 14 分 15 分

19. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 、 {bn } 中,对任何正整数 n 都有:

a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ?? an?1b2 ? anb1 ? 2n?1 ? n ? 2 .
(1)若数列 {an } 是首项和公差都是 1 的等差数列,求证:数列 {bn } 是等比数列; (2)若数列 {bn } 是等比数列,数列 {an } 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是等比数列,求证: 解: (1)依题意数列 {an } 的通项公式是 an ? n , 故等式即为 bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 ? ?? (n ?1)b2 ? nb1 ? 2n?1 ? n ? 2 ,

?ab
i ?1

n

1

i i

3 ? . 2

bn?1 ? 2bn?2 ? 3bn?3 ? ?? (n ? 2)b2 ? (n ?1)b1 ? 2n ? n ?1 ? n ? 2 ? ,
两式相减可得 bn ? bn?1 ? ? ? b2 ? b1 ? 2 ? 1 ----------n

-------3 分

得 bn ? 2n?1 ,数列 {bn } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. -------4 分 (2)设等比数列 {bn } 的首项为 b ,公比为 q ,则 bn ? bqn?1 ,从而有:

bqn?1a1 ? bqn?2a2 ? bqn?3a3 ? ?? bqan?1 ? ban ? 2n?1 ? n ? 2 ,
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又 bqn?2a1 ? bqn?3a2 ? bqn?4a3 ? ?? ban?1 ? 2n ? n ?1 ? n ? 2 ? , 故 (2n ? n ?1)q ? ban ? 2n?1 ? n ? 2 ------------------------6 分

an ?

2 ? q n q ?1 q?2 ?2 ? ?n? , b b b
---------------------8 分

要使 an?1 ? an 是与 n 无关的常数,必需 q ? 2 ,

即① 当等比数列 {bn } 的公比 q ? 2 时,数列 {an } 是等差数列,其通项公式是 an ? ② 当等比数列 {bn } 的公比不是 2 时,数列 {an } 不是等差数列. (3)由(2)知 anbn ? n ? 2n , 显然 n ? 1,2 时 ------------------------------9 分

n ; b

--------------10 分

?ab
i ?1

n

1

?

i i

3 2

当n ? 3时

?ab
i ?1

n

1

?

i i

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 2 3 1?1 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 n ? 2n?1

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? -----14 分 2 3 1? 1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 n?1 1 1 ? ( ) n ?1 3 1 3 1 2 ? ? n ? -----------------16 分 ? 1? ? 1 2 2 2 2? 2 1? 2
< 20. (本题满分 16 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1, 对于任意的实数 x1、x2 ( x1 ? x2 ) ,都有

f ( x1 ) ? f (x1 ) x ? x2 ? f( 1 ) 成立,且 f ( x ? 2) 为偶函数. 2 2
(1)求 a 的取值范围; (2)求函数 y ? f ( x) 在 [a, a ? 2] 上的值域; (3) 定义区间 [m, n] 的长度为 n ? m . 是否存在常数 a , 使的函数 y ? f ( x) 在区间 [a, 3] 的值域为 D , 且 D 的长度为 10 ? a3 . 解:由 f ( x ? 2) 为偶函数可得 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 的图像关于直线 x ? 2 对称, 则?

b ? 2, b ? ?4a , f ( x) ? ax2 ? 4ax ? 1 ; 2a
f ( x1 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 成立,则 2 2
=

对于任意的实数 x1、x2 ( x1 ? x2 ) ,都有

f ( x1 ) ? f ( x1 ) x ?x x ?x x ?x 1 ? f ( 1 2 ) ? (ax12 ? 4ax1 ? 1 ? ax22 ? 4ax2 ? 1) ? [a( 1 2 )2 ? 4a 1 2 ? 1] 2 2 2 2 2
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1 a( x1 ? x2 ) 2 ? 0 2
因为 x1 ? x2 ,所以 ( x1 ? x2 )2 ? 0, 故 a ? 0 . 5分

(2) f ( x) ? ax2 ? 4ax ? 1 ? a( x ? 2)2 ? 1 ? 4a ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 2 ? 2 . 当 a ? 1 ? 2 时,即 0 ? a ? 1 时, f ( x)min ? 1 ? 4a, f ( x)max ? a3 ? 4a2 ?1, 函数 y ? f ( x) 的值域为 [1 ? 4a, a3 ? 4a2 ? 1] ; 当 1 ? a ? 2 时, f ( x)min ? 1 ? 4a, f ( x)max ? a3 ? 4a ?1, 函数 y ? f ( x) 的值域为 [1 ? 4a, a3 ? 4a ? 1] ; 当 a ? 2 时, f ( x)min ? a3 ? 4a2 ? 1, f ( x)max ? a3 ? 4a ?1, 函数 y ? f ( x) 的值域为 [a3 ? 4a2 ? 1, a3 ? 4a ? 1] . (3) f ( x) ? ax2 ? 4ax ? 1 ? a( x ? 2)2 ? 1 ? 4a , 当 0 ? a ? 1 时, 10 分

f ( x)min ? 1 ? 4a, f ( x)max ? a3 ? 4a2 ?1, f ( x)max ? f ( x)min ? a3 ? 4a2 ?1 ? (1 ? 4a) ? a(a ? 2)2 ,
2 2 由 0 ? a ? 1 时, 1 ? (a ? 2) ? 4, 则 a(a ? 2) ? 4, 而 10 ? a3 ? 9 ,不合题意;

当 1 ? a ? 2 时,

f ( x)min ? 1 ? 4a, f ( x)max ? 1 ? 3a, f ( x)max ? f ( x)min ? 1 ? 3a ? (1 ? 4a) ? a,
3 由 1 ? a ? 2 ,得 10 ? a3 ? 2 ,所以 a ? 10 ? a ,不合题意;

当 2 ? a ? 3 时,

f ( x)min ? a3 ? 4a2 ?1, f ( x)max ? 1 ? 3a, f ( x)max ? f ( x)min ? 1 ? 3a ? (a3 ? 4a2 ?1) ? 10 ? a3 ,
2 故 4a ? 3a ?10 ? 0,(4a ? 5)(a ? 2) ? 0, 因为 2 ? a ? 3 ,所以 a ? 2 .

综上所述:存在常数 a ? 2 符合题意.

16 分

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