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3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一)


3.2.2
一、内容及其解析

一元二次不等式的解法的应用(一)
主备教师:段联青

(一)内容:一元二次不等式的解法的应用 (二) 解析: 本节课由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法 中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一 元二次不等式的概念和解法,通过具体例题的分析和求解,在这些例题中设置思考项,让学 生探究,层层铺设,在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一 元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、 一元二次不等式解 法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上,再辅以新的例题巩固.一元二次不等 式的解法的应用(一)这节课通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元 二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、 一元二次不等式解法 与二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不 等式、二次函数的知识来解决的问题,作为对一元二次不等式的概念、解法以及解法与二次 函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.本节课通过复习引入课题,通 过例题的讲解和学生的练习,不断地发现、深入、探究,步步为营.层层铺垫既有利于一元 二次不等式的概念、 解法和解法与二次函数的关系以及一元二次不等式解法与一元二次函数 的关系两者之间的区别与联系知识的巩固和延伸, 更有利于学生的自主学习, 充分体现了新 课标的理念. 整个教学过程, 更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质, 继续一元二次 不等式解法的步骤和过程,及时加以巩固,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发学生 的学习兴趣. 教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 2.围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想. 3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则 ,把它们转化为与其等价的 两个或多个不等式 (组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定 ),于是原不等式的解 集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种: (1)

f ( x) >0 ? f(x)· g(x)>0; g ( x) f ( x) <0 ? f(x)· g(x)<0; g ( x) f ( x) ≥0 ? f(x)·g(x)≥0 且 g(x)≠0; g ( x) f ( x) ≤0 ? f(x)·g(x)≤0 且 g(x)≠0. g ( x)

(2)

(3)

(4)

解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数 乘法的运算性质 ,把高次不等式转化为低次的不等式组 . 数轴标根法的基本思路是 :整理 ( 分 解)——标根——画线——选解. 教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
1

2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等 式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式, 要注意分母不能为零 .由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集 ,计算较繁,且容 易出错,同学们一定要细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出 错.

二、目标及其解析
(一)目标: 1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、 解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系; 2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组),正确地求出分式不等式的解集; 3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式; 4.会利用一元二次不等式,对给定的与一元二次不等式有关的问题,尝试用一元二次不 等式解法与二次函数的有关知识解题. (二)解析: 1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学; 2.发挥学生的主体作用,作好探究性教学; 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.

三、问题诊断分析
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力; 2.培养学生分析问题和解决问题的能力; 3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.

四、教学过程
问题与题例 问题 1 上节课我们已经知道,一元二次不等式的解与相应的一元二次 方 程 的 解 和 二 次 函 数 的 图 象 的 关 系 . 如 果 一 个 一 元 二 次 方 程 ax 2 +bx+c=0 有两个根 x1<x 2,则 x 1、x 2 就把实数(x 轴)分成了三部 分,要解 ax2+bx+c>0,就要找这三部分中使 ax 2+bx+c 大于 0 的部分;同样,解 ax 2+bx+c <0,就是要找这三部分中使 ax2+bx+c 小于 0 的部分.解一元二次不等式的程序是什么? 师生活动 (1)将二次项系数化为“+”:y=ax2+bx+c>0(或<0)(a>0). (2)计算判别式 Δ,分析不等式的解的情况: ①Δ>0 时,求根 x1<x2,若 y>0,则 x<x1 或 x>x2; 若 y<0,则 x1<x<x2; ②Δ=0 时,求根 x1=x 2=x0,若 y>0,则 x≠x0 的一切实数; 若 y<0,则 x∈ ? ; 若 y=0,则 x=x0; ③Δ<0 时,方程无解,若 y>0,则 x∈R; 若 y≤0,则 x∈ ? . (3)写出解集. 【例 1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往 前滑行的距离)s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系:

s?

1 1 2 x? x . 20 180

在一次交通事故中, 测得这种车的刹车距离大于 39.5 m, 那么这辆汽车刹车前的车速至少为 多少?(精确到 0.01 km/h)
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分析 由题设条件应列式为

1 1 2 x? x >39 .5 ,移项、整理、化简得不等式 x 2+9x-7 110 20 180

>0. 【例 2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线, 这条流水线生产的摩托车数量 x 2 (辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系:y=-2x +220x.若这家工厂希望在一个星期 内利用这条流水线创收 6 000 元以上,那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车? 生 设在一星期内大约应该生产 x 辆摩托车.根据题意,能得到-2x2+220x>6 000.移项、整理 得 x2-110x+3 000<0. 师生活动 因为 Δ=100>0,所以方程 x2-110x+3 000=0 有两个实数根 x1=50,x2=60,然后,画出二次函数 y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50<x<60}.因为只能取整数值,所以,当这条 摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51 到 59 辆之间时, 这家工厂能够获得 6 000 元以上的收益. 【例 3】 解不等式(x-1)(x+4)<0. 思路一:利用前节的方法求解. 思路二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号, ∴原不等式的解集是下面两个不等式组 ?

? x ? 1>0, ? x ? 1<0 与? 的解集的并集,即 ? x ? 4<0 ? x ? 4>0

? ? x ? 1>0 ? ? x ? 1<0 ? ?x ? ? U ?x ? ? ? ? ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式: x ? 4 < 0 x ? 4 > 0 ? ? ? ? ?
解:∵(x-1)(x+4)<0 ? ?

? x ? 1>0 ? x ? 1<0 或? ? x∈ ? 或-4<x<1 ? -4<x<1, ? x ? 4<0 ? x ? 4>0

∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 思路三: 由于不等式的解与相应方程的根有关系, 因此可求其根并由相应的函数值的符号表 示出来即可求出不等式的解集. 解:①求根:令(x-1)(x+4)=0,解得 x(从小到大排列)分别为-4,1,这两根将 x 轴分为三 部分: (-∞,-4) , (-4,1) , (1,+∞). ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号: (-∞,-4) (-4,1) (1,+∞) x+4 + + x-1 + (x-1)(x+4) + + ③由上表可知,原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 点评:此法叫区间法,解题步骤是: ① 将 不 等 式 化 为 (x-x1)(x-x 2)…(x-xn) > 0( < 0) 的 形 式 ( 各 项 x 的 符 号 化 “+” ) , 令 (x-x 1)(x-x2)…(x-x n)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分, 两个分界点把数轴分成三部分…… ②按各根把实数分成的几部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列) ; ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集(你会发现符号的规律吗).
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变式练习:解不等式:(1)x 2-5x-6>0;(2)(x-1)(x+2)(x-3)>0;(3)x(x-3)(2-x)(x+1)>0. 答案:(1){x|x<2 或 x>3};(2){x|-2<x<1 或 x>3};(3){x|-1<x<0 或 2<x<3}. 教师书写示范:如第(2)题:解不等式(x-1)(x+2)(x-3)>0. 解:①检查各因式中 x 的符号均正; ②求得相应方程的根为-2,1,3; ③列表如下: (-∞,-2) (-2,1) (1,3) (3,+∞) x+2 + + + x-1 + + x-3 + + + 各因式积 ④由上表可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1 或 x>3}. 思路四: 上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使 y<0 或 y>0 的 x 的部分数值化列成 表了,我们试想若能画出图象(此时我们只注意 y 值的正负不注意其他方面) ,那么它相对 于 x 轴的位置应是什么呢?可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示, 由图即可写出不 等式的解集.

由此看出,如果不像上面那样列表,就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下 用这种方法解不等式的规律吗? ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)的形式,并将各因式 x 的系数化“+”; ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则 找“线”在 x 轴下方的区间. 这种方法叫数轴标根法. 练习 2:用数轴标根法解上述练习 1 中不等式(1)~(3). 教师书写示范:如第(2)题:解不等式 x(x-3)(2-x)(x+1)>0. 解:①将原不等式化为 x(x-3)(x-2)(x+1)<0; ②求得相应方程的根为-1,0,2,3;

③在数轴上表示各根并穿线(自右上方开始) ,如右图: ④原不等式的解集为{x|-1<x<0 或 2<x<3}. 【例 4】 解不等式: (x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解:①检查各因式中 x 的符号均正; ②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2 是二重根,3 是三重根) ; ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始) ,如下图:

④原不等式的解集为{x|-1<x<2 或 2<x<3}. 说明:∵3 是三重根,∴在 C 处穿三次,2 是二重根. ∴在 B 处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧 f(x)有相同因式(x-x 1)n,n 为奇数时,
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曲线在 x 1 点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在 x 1 点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶 不穿”. 变式练习:解不等式:(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. 解:①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0; ②求得相应方程的根为-2(二重) ,-1,3; ③在数轴上表示各根并穿线,如右图:

④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3 或 x=-2}. 师生活动 1 由分式方程的定义不难联想到:分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式 . 例如

x?3 x 2 ? 3x ? 2 <0 , 2 ? 0 等都是分式不等式. x?7 x ? 2x ? 3
2 分式不等式的解法. 由不等式的性质易知:不等式两边同乘以正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以负数, 不等号方向要变;分母中有未知数 x,不等式两边同乘以一个含 x 的式子,它的正负不知, 不等号方向无法确定,无从解起,若讨论分母的正负,再解也可以,但太复杂.因此,解分 式不等式,切忌去分母. 【例 5】 解不等式:

x?3 <0 . x?7

解法一:化为两个不等式组来解. ∵

? x ? 3>0 ? x ? 3<0 x?3 <0 ? ? 0 或? ∴原不等式的解集 ? x∈ ? 或-7<x<3-7<x<3, x?7 ? x ? 7<0 ? x ? 7>0

是{x|-7<x<3}. 解法二:化为二次不等式来解. ∵

?( x ? 3)(x ? 7)<0 x?3 <0 ? ? ? -7<x<3,∴原不等式的解集是{x|-7<x<3}. x?7 ?x ? 7 ? 0

点评:若本题带“=”,即(x-3)(x+7)≤0,则不等式解集中应注意 x≠-7 的条件,解集应是{x|-7 <x≤3}. 【例 6】 解不等式:

x 2 ? 3x ? 2 ?0. x 2 ? 2x ? 3

解法一:化为不等式组来解(较繁). 解法二:∵
2 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ?( x ? 3x ? 2)(x ? 2 x ? 3) ? 0 ? ? 0 ?? 2 x 2 ? 2x ? 3 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ?

?( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 1) ? 0, ? ?( x ? 3)(x ? 1) ? 0,
∴原不等式的解集为{x|-1<x≤1 或 2≤x<3}.

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练习:解不等式

x?3 >2 . x?5

答案:{x|-13<x<-5}. 设计意图:通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分 析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形. 上述过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用,新课程的 理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用,激起学生学习的兴趣,勇于探索 的精神.

五、目标检测
1 已知关于 x 的方程 2x 2+4mx+3m-1=0 有两个负数根,求实数 m 的取值范围. 2 已知 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 B ? A,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B 是单元素集合,求 a 的取值范围.

六、课堂小结
1.关于一元二次不等式的实际应用题,要注意其实际意义. 2.求解一般的高次不等式的解法. 特殊的高次不等式即右边化为 0,左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式,一般用 区间法解,注意:①左边各因式中 x 的系数化为“+”,若有因式为二次的(不能再分解了) 二次项系数也化为“+”,再按我们总结的规律做;②注意边界点(数轴上表示时是“。”还是 “ .”). 3. 分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为

f ( x) f ( x) >0 (或 <0 的形式,转化为 g ( x) g ( x)

? f ( x) g ( x)>0, ? f ( x) g ( x)<0, , (或 ? ,即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式. ? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0
备课资料 备用例题 【例 1】 已知关于 x 的方程 2x 2+4mx+3m-1=0 有两个负数根,求实数 m 的取值范围. 探路:列出方程有两个负根的等价条件(不等式组) ,然后解不等式组. 解:已知方程有两个负根的等价条件是

? ?? ? (4m) 2 ? 4 ? 2(3m ? 1) ? 0 ? ? ? x1 ? x2 ? ?2m<0 ? 3m ? 1 ? x1 x2 ? >0 2 ?
m≥1. ∴m 的取值范围是(

? ?2m 2 ? 3m ? 1 ? 0 ? ? ?m>0 ? 1 ?m> 3 ?

1 ? m ? 或m ? 1 ? 1 1 ? 2 ? < m≤ 或 ? 3 2 ?m> 1 ? 3 ?

1 1 , ]∪ [1,+∞). 3 2

点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形,故 Δ≥0,因此列成 Δ>0 是错误的.又若只 列成 Δ≥0 也是错误的,Δ≥0 只能保证方程有实根,而不能保证有两个负根,所以还要联立 x1x2>0,x 1+x 2<0 的条件.
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2.利用不等式讨论方程的根的情况,是不等式的重要应用. 【例 2】 已知 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 B ? A,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B 是单元素集合,求 a 的取值范围. 探路:先解不等式化简集合 A 和 B,再利用数轴表示两个集合的关系,求 a 的取值范围. 解:解不等式 x2-3x+2≤0 得 A= [1,2];而 B={x|(x-1)(x-a)≤0}. (1)若 B ? A,如图(1) ,得 a 的取值范围是 1≤a<2.

(1) (2)若 A∩B 是单元素集合,如图(2) ,A∩B 只能是集合{1},

(2) ∴a 的取值范围是 a≤1. 点评:集合 B 的最简表示只能是 B={x|(x-1)(x-a)≤0},这是因为不知道 a 与 1 的大小,不能表 示为最简洁的区间;此外,当 a=1 时,集合 B 是单元素集合,即 B={1},也不该表示为区 间.

3.2.3
一、内容及其解析

一元二次不等式的解法的应用(二)

(一)内容:不等关系与不等式 (二) 解析: 上节课已由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解 法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定 一元二次不等式的概念和解法,通过具体例题的分析和求解,在这些例题中设置思考项,让 学生探究,层层铺设,在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一 元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、 一元二次不等式解法与 二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上,再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的 解法的应用(一)通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和解法与二次函数的 关系以及解法的步骤、 一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系的
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正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题,作为 对一元二次不等式的概念、 一元二次不等式的解法和二次不等式解法与一元二次函数的关系 以及一元二次不等式解法、 一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的 知识能力的延伸和补充.又讲解了分式不等式和高次不等式的解法.本节课通过一元二次不等 式的解法、 一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系, 学习含有参数的一元二次不等式 的解法.通过例题的讲解和学生的练习,不断地发现、深入、探究,步步为营.层层铺垫既有 利于一元二次不等式解法、 一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延 伸,更有利于学生的自主学习,充分体现了新课标的理念. 整个教学过程, 更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质, 继续一元 二次不等式解法的步骤和过程,及时加以巩固,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发 学生的学习兴趣. 教学重点 1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式,尤其是对含有参数的一元一次和一元 二次不等式,能正确地对参数分区间讨论; 2.围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想. 教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系; 2.正确地对参数分区间讨论,由于字母较多又要讨论,所以容易出错,一定要使同学们细心. 另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.

二、目标及其解析
(一)目标: 1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二 次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与 联 系; 2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式 .对含有参数的一元一次 和一元二次不等式,能正确地对参数分区间讨论; 3.使学生掌握解含有字母参数不等式(组)的解法,初步掌握分类讨论的思想方法及 技巧. (二)解析: 1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式(组)时知道是否要分类讨论,讨论的依据是 什么,分类的标准是什么,通过师生的共同探索,培养学生发现问题、思考问题、解决问题 的能力; 2.发挥学生的主体作用,作好探究性教学; 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.

三、问题诊断分析
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力,培养学生分析问题和解决问题的 能力; 2.培养学生探索问题的积极性、 主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时, 培养学生 思考问题的周到缜密性,养成严谨的学习态度和思想作风; 3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作,加强师生感情交流与沟通,培养良好的师 生关系及相互合作的团队精神.

四、教学过程
问题与题例 师 上节课我们已经知道,不等式的解法(复习) :一元 一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法:移项,通分,右边 化为 0,左边化为

f ( x) 的形式.解分式不等式,切忌去分母. g ( x)
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生 板演: 1.解不等式:-x2+5x>6({x|2<x<3}). 2.解不等式:x2-4x+4>0({x|x∈R,x≠2}). 3.解不等式:x2+2x+3<0(Δ=-8<0,x∈ ? ). 4.解不等式:

x?3 >2 ({x|-13<x<-5}). x?5

师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实 数根及有实数根时两个实数根的大小. 推进新课 师 思考一下如何解下面这个不等式:解关于 x 的不等式 a(x-ab)>b(x+ab). 生 将原不等式展开,整理得(a-b)x>ab(a+b).

ab (a ? b) ab (a ? b) ,∴x∈( ,+∞). a ?b a ?b 当 a=b 时,若 a=b≥0 时 x∈ ? ;若 a=b<0 时 x∈R. ab (a ? b) ab (a ? b) 当 a<b 时, x< ,∴x∈(-∞, ). a ?b a ?b
讨论:当 a>b 时, x> 师 【例 1】 解关于 x 的不等式 x2-x-a(a-1)>0. 生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)>0,

1 ,则 x>a 或 a<1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞). 2 1 1 若 a=-(a-1),即 a= ,则(x-1[]2)2>0.∴x∈{x|x≠ ,x∈R}. 2 2 1 若 a<-(a-1),即 a< ,则 x<a 或 x>1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞). 2
若 a>-(a-1),即 a> 师 引申:解关于 x 的不等式(x-x 2+12)(x+a)<0. 生 ①将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)>0. ②相应方程的根为-3,4,-a,现 a 的位置不定,应如何解? ③讨论: (ⅰ)当-a>4,即 a<-4 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:

∴原不等式的解集为{x|-3<x<4 或 x>-a}. (ⅱ)当-3<-a<4,即-4<a<3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:

∴原不等式的解集为{x|-3<x<-a 或 x>4}. (ⅲ)当-a<-3,即 a>3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:

∴原不等式的解集为{x|-a<x<-3 或 x>4}. (ⅳ)当-a=4,即 a=-4 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:

∴原不等式的解集为{x|x>-3}.
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(ⅴ)当-a=-3,即 a=3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:

∴原不等式的解集为{x|x>4}. 师 变题:解关于 x 的不等式 2x2+kx-k≤0. 师 此不等式为含参数 k 的不等式,当 k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同,故 应先从讨论判别式入手. 生 Δ=k2+8k=k(k+8). (1)当 Δ>0,即 k<-8 或 k>0 时,方程 2x2+kx-k=0 有两个不相等的实根. 所以不等式 2x2+kx-k≤0 的解集是 {x|

? k ? k (k ? 8) ? k ? k (k ? 8) }; ?x? 4 4
k },即{0,2}; 4

(2)当 Δ=0,即 k=-8 或 k=0 时,方程 2x2+kx-k=0 有两个相等的实根, 所以不等式 2x2+kx-k≤0 的解集是{ ?

(3)当 Δ<0,即-8<k<0 时,方程 2x2+kx-k=0 无实根, 所以不等式 2x2+kx-k≤0 的解集为 . 练习 解不等式:mx 2-2x+1>0. 师 本题对解集的影响因素较多,若处理不当,不仅要分级讨论,而且极易漏解或重复.较好 的解决方法是整体考虑,分区间讨论,方为上策.显然本题首先要讨论 m 与 0 的大小,又由 Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论 m 与 1 的大小.我们将 0 与 1 分别标在数轴上, 将区间进行划分, 这样就可以保证不重不漏. 解:∵Δ=4-4m=4(1-m), ∴当 m<0 时,Δ>0,此时 x1 ?

1? 1? m 1? 1? m <x2 ? . m m

∴解集为{ x ?

1? 1? m 1? 1? m <x< }. m m
1 }, 2

当 m=0 时,方程为-2x+1>0,解集为{x|x< 当 0<m<1 时,Δ>0,此时 x1 ?

1? 1? m 1? 1? m >x2 ? , m m

∴解集为{ x x> ?

1? 1? m 1? 1? m 或x< }.当 m=1 时,不等式为(x-1)2>0, m m

∴其解集为{x|x≠1}; 当 m>1 时,此时 Δ<0,故其解集为 R. 师 小结:在以上的讨论中,请不要漏掉在端点的解集的情况. [教师精讲] 对应的一元二次方程有实数根 1-a 和 a,不等式中二次项的系数为正, 所以要写出它的解集需 要对两根的大小进行讨论.
10

(1)当最高次项系数含有字母时,首先需讨论该系数是否为零. (2)整合结论时,对所讨论的对象按一定的顺序进行整理,做到不重不漏. 总之, 解含参数的一元二次不等式, 大家首先要克服畏惧心理, 冷静分析, 掌握好解题技巧, 恰当分类,必然能解答好. [知识拓展] 【例 2】 关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x> - ax2-bx+c>0 的解集. 师

1 },求关于 x 的不等式 2

b 5 c b c ? ? , ? 1 ,从而 ax2-bx+c>0 可以变形为 x 2 ? x ? <0 ,即 a 2 a a a 5 1 1 x2- x+1<0.∴ <x<2.∴原不等式的解集为{x| <x<2}. 2 2 2
由题设 a<0 且 ? 引申:已知关于 x 的二次不等式 ax 2+(a-1)x+a-1<0 的解集为 R,求 a 的取值范围. 师 原不等式的解集为 R,即对一切实数 x 不等式都成立,故必然 y=ax 2+(a-1)x+a-1 的图象 开口向下,且与 x 轴无交点,反映在数量关系上则有 a<0 且 Δ<0. 生 由题意知,要使原不等式的解集为 R,必须 ?

?a<0, ??<0,
?a<0 1 ? ? 1 ? a< ? 3 a>1或a< ? ? 3 ?

?a<0 ?a<0 即? ?? 2 ? 2 ?(a ? 1) ? 4a(a ? 1)<0 ?3a ? 2a ? 1>0
∴a 的取值范围是 a∈(-∞, ?

1 ). 3

师 本题若无“二次不等式”的条件,还应考虑 a=0 的情况,但对本题讲 a=0 时式子不恒成立. (想想为什么) 师 变题:若函数 f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为 R,求实数 k 的取值范围. 显然 k=0 时满足.而 k<0 时不满足 ? ∴k 的取值范围是 [0,1]. 练习:不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|-

?k>0
2 ?? ? 36k ? 4k (k ? 8) ? 2

? 0<k ? 1 .

?a ? ?12, 1 1 <x< },求 a、b.( ? ) 2 3 ?b ? ?2

[教师精讲] 解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?首先,必须弄 清楚它的解集与哪些因素有关.一般地,一元二次不等式的解集(以 ax2+bx+c>0 为例)常 与以下因素有关: (1)a; (2)Δ; (3)两根 x 1,x 2 的大小.其中系数 a 影响着解集最后的形 式,Δ 关系到不等式对应的方程是否有解,而两根 x1,x 2 的大小关系到解集最后的次序;其 次再根据具体情况,合理分类,确保不重不漏. [合作探究] 【例 3】 若不等式

2 x 2 ? 2kx ? k <1 对于 x 取任何实数均成立,求 k 的取值范围. 4x 2 ? 6x ? 3
11

生 ∵

2 x 2 ? 2kx ? k 2 x 2 ? 2kx ? k 2 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k < 1 ? ? 1 < 0 ? >0 ? 4x2 ? 6x ? 3 4x2 ? 6x ? 3 4x 2 ? 6x ? 3

2x2-2(k-3)x+3-k>0(∵4x 2+6x+3 恒正),∴原不等式对 x 取任何实数均成立,等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k>0 对 x 取任何实数均成立. ∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)<0 ? k 2-4k+3<0 ? 1<k<3.∴k 的取值范围是(1,3). 师 逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系数法的一部分. 【例 4】 当 m 取什么实数时,方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0 分别有:①两个实根;②一正根和 一负根;③正根绝对值大于负根绝对值;④两根都大于 1. 解:设方程 4x2+(m-2)x+(m-5)=0 的两根为 x 1,x2. ①若方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0 有两个正根,则需满足:

?? ? 0 ? ? x1 ? x2>0 ? ? x x >0 ? 1 2

? ?(m ? 2) 2 ? 16(m ? 5) ? 0 ? ? m?2 >0 ? ?? 4 ? ?m ? 5 >0 ? ? 4

?m 2 ? 20m ? 84 ? 0 ? ? ?m<2 ?m>5 ?

?m ? 16或m ? 14 ? ? m∈ ? . ?m<2 ?m>5 ?
∴此时 m 的取值范围是 ? ,即原方程不可能有两个正根. ②若方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0 有一正根和一负根,则需满足:

?(m ? 2) 2 ? 16(m ? 5)>0 ??>0 ? ? m<5. ? ?m ? 5 ? <0 ? x1 x2<0 ? ? 4
∴此时 m 的取值范围是(-∞,5). ③若方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0 的正根绝对值大于负根绝对值,则需满足:

? ?(m ? 2) ? 16(m ? 5)>0 ??>0 ? ? ? m?2 >0 ? m<2.∴此时 m 的取值范围是(-∞,2). ? x1 ? x2>0 ? ?? 4 ? x x <0 ? ? 1 2 ?m ? 5 <0 ? ? 4
④若方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0 的两根都大于 1,则需满足:

? ?m 2 ? 20m ? 84 ? 0 ?? ? 0 ? ? ? 2m ? 3 ( x ? 1 )( x ? 1 ) > 0 ? >0 ? ? 1 ? 2 4 ?( x ? 1) ? ( x ? 1)>0 ? 2 ? 1 ?m ? 6 <0 ? ? 4
12

m∈ ? .

∴此时 m 的取值范围是 ? ,即原方程不可能两根都大于 1. 师 说明:解这类题要充分利用判别式和韦达定理. 练习: 1.关于 x 的方程 mx 2+(2m+1)x+m=0 有两个不等的实根,则 m 的取值范围是…… (



1 ,+∞) 4 1 C. [ ? ,+∞) 4
A. ( ? 提示:由 m≠0 且 Δ>0,得 m< ? 答案:D 2.若不等式 ax 2+5x+b>0 的解集为{x|

B.(-∞, ? D.( ?

1 ) 4

1 ,0)∪(0,+∞) 4

1 ,∴选 D. 4
1 1 <x< },则 a、b 的值分别是__________. 3 2

?a<0 ??>0 ? ? 提示:由 ? x ? x ? 1 ? 1 ? 1 2 3 2 ? ? 1 1 ? x1 x2 ? ? 3 2 ?

?a<0 ??>0 ? ?a ? ?6, ? 5 5 ?? ? ? ? ?b ? ?1. ? a 6 ?b 1 ? ? ?a 6

答案:-6,-1 3.若方程 x 2-(k+2)x+4=0 有两负根,求 k 的取值范围.

? ? (k ? 2)]2 ? 16 ? 0 [ ?? ? 0 ?k ? ?6或k ? 2 ? ? ?? 提示:由 ? x1 ? x2<0 ? ?k ? 2<0 ? k≤-6. ?k< ? 2 ? x x >0 ?4>0 ? 1 2 ?
师 变式引申:已知方程 2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 有两个负实根,求实数 k 的取值范围. 师 解:要原方程有两个负实根,必须

?k ? 1 ? 0 ? 2 ?2( k ? 1) ? 0 ?k ? k ? 2 ? 0 ?? ? 0 ? ? 4k ? ?? <0 ? ? ? x1 ? x2<0 ? 2( k ? 1) ? ? 3k ? 2 ? x1 x2>0 >0 ? ? 2( k ? 1)
k>2[]3 或 k<-1

?k ? ?1 ?? 2 ? k ? 1 ? 2 ? ?k>o或k< ? 1 ? -2<k<-1 或 <k<1. 3 ? 2 ?k> 或k< ? 1 ? 3 ?
2 <k<1}. 3 1 }; 2

∴实数 k 的取值范围是{k|-2<k<-1 或

练习:已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 生 若 a 2-1=0,即 a=1 或 a=-1 时,原不等式的解集为 R 和{x|x< 若 a2-1≠0,即 a≠±1 时,要使原不等式的解集为 R,

13

必须 ?

?a 2 ? 1<0 ??<0

2 ? 3 ?a ? 1<0 ? - <a<1. ?? 2 2 5 ? ?(a ? 1) ? 4(a ? 1)(?1)<0

∴实数 a 的取值范围是( ?

3 3 ,1)∪{1}=( ? ,1]. 5 5

[方法引导] 讲练结合法 通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题 和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形. 上述过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用,新课程的 理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用,激起学生学习的兴趣、勇于探索 的精神.

五、目标检测
《优化设计》 ------《自我测评》

六、课堂小结
1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题,这类问题常见的有:不 等式恒成立的条件;已知一元二次不等式的解集,求二次三项式的系数;讨论一元二次方程 根的简单情况等. 2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步: (1)确定讨论的对象及其范围; (2)确定分类讨论的标准,正确进行分类; (3)逐类讨论,分级进行; (4)归纳整合,作出结论. 3.对于解含有字母参数不等式时,着重考虑最高次项系数的符号及系数为 0 时的情况,以及 该不等式对应方程的根的大小情况. 4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准, 一定的顺序进行讨论, 做到不重复不遗漏.考虑 问题要周到缜密,特别是对于一些特殊情况要考虑慎重,养成严谨的学习态度和思想作风. 布置作业 (1)已知不等式 x2+5x+m>0 的解集为{x|x<-7 或 x>2},求实数 m 的值.(答案:m=-14) (2)已知关于 x 的二次不等式 px 2+px-4<0 对任意实数 x 都成立,求实数 p 的范围.(由 p< 0 且 Δ<0,得 p∈{p|-16<p<0}) (3)若 y=ax 2+bx+c 经过(0, -6)点, 且当-3≤x≤1 时, y≤0, 求实数 a,b,c 的值 (答案: . a=2,b=4,c=-6) 2 (4)已知方程 2(k+1)x +4kx+3k-2=0 有两个负实根,求实数 k 的取值范围. 解:要使原方程有两个负实根,必须

?k ? 1 ? 0 ? 2 2 k ? 1) ? 0 ?( ?k ? k ? 2 ? 0 ?? ? 0 ? ? 4k ? ?? <0 ? ? x ? x < 0 2 ( k ? 1 ) 1 2 ? ? ? ? 3k ? 2 x x > 0 ? 1 2 >0 ? ? 2( k ? 1)

?k ? ?1 ?? 2 ? k ? 1 ? 2 ? ?k>0或k< ? 1 ? -2<k<-1 或 <k<1. 3 ? 2 ?k> 或k< ? 1 ? 3 ?
2 <k<1}. 3

∴实数 k 的取值范围是{k|-2<k<-1 或

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