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平面向量基本定理教学设计


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《平面向量基本定理》教学设计
一、教学内容 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 4(人教 A 版) 》第二章 2.3.1 平面向量 基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、 数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化 为代数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。 二、教学方法与教学手段 本节课为新授课。根据班级的实际情况,在教学中积极践行新课程理念,倡导合作学习;注重 学生动手操作能力与自主探究能力;在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体,让学生经历动 手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法,教学手段采用 学案式(因条件限制,不使用多媒体) 。 三、三维目标 1、知识与技能 (1)了解平面向量基本定理及其意义,会用基底表示某一向量;掌握两个向量夹角的定义及二 向量垂直的概念,会初步求解简单的二向量夹角问题,会根据图形判断两个向量是否垂直。 (2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。 2、过程与方法 (1)经历平面向量基本定理的探究过程,让学生体会由特殊到一般的思维方法; (2)通过本节学习,让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法,体会求解一些比较简单向 量夹角的方法。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习,培养学生的动手操作能力、观察判断能力,体会数形结合思想。 思、教学重点、难点 1、教学重点: 平面向量基本定理及其意义;两个向量夹角的简单计算; 2、教学难点: 平面向量基本定理的探究;向量夹角的判断。 五、教具使用 三角板、圆规、小黑板。

六、教学过程
教 学 环 节 已知平面内一向量 a 是该平 面内两个不共线向量 b , c的 和, 怎样表达?



学 内





生 活 动

教 师 活



设计意图

1、 情 境 引 入

a =b +c
作图

提问、 巡视, 引导、 从 最 简 单 的 问 题 评价。 入手, 以提高学生 学习的积极性。

2 ■问题 1: 如果向量 b 与 e1 共线、 c 与 相互讨论、 交流, 学生单独 回答。 根据作图进行提问、 引 学生已经学习过 用共线向量定理 解决这里的问题 应该不难。 在教学 中, 应基于学生的 知识生长点。 学生阅读教材 93 页—94 页第 1、2 自然段。 ■问题 2: 对平面向量基本定理的理解, 讨论、 交流, 学生单独回答。 我们应注意些什么?谁来讲 2、 探 究 定 理 注意: (1) e1 , e2 是不共线的; (为什么?) (2) e1 , e2 叫做表示这个平 面内所有向量的一组基底; (3)向量 a 是任意的,但一 经确定后, ?1 , ?2 是唯一的; (4)基底具有不唯一性。 (5)对这一式子: 讨论、 交流, 学生单独回答。 对(1 )—(5 ) ,在学 生 归 纳 总结的基础上 加以补充, 讲清楚 (1 ) 、 (3) 、 (4)的原因。 让同桌之间相互讨论, 经过讨论后, 提问不同 的学生,给出评价,让 学 生 们 自己归纳出理 解 平 面 向量理时应注 意的问题。 以学生发展为本, 一切为了学生, 为 了学生一切! 一讲。 学生阅读教材。 教师巡视、引导 板书定理内容 引导、提问。 新课程标准指出: “学生的学习活 动不应只限于接 受、记忆、模仿与 练习, 高中数学课 程还应倡导?? 阅读自学等学习 的方式??” 导、 归纳, 板书表达式: 共线向量定理, 运

a = ?1 e1 ? ?2 e2
引入课题: 平面向量基 本定理

e2 共线,上面的表达式发生
什么变化?

a

=

?1 e1 ? ?2 e2

称 为 用

e1 , e2 线性表示 a 。
例 1、 如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的一个四等分点, 试用基 底 ※ 练习: 1.下面三种说法: (1)一个平面内只有一对 不共线的向量可作为表示 这个平面内的任一向量的 基底; 提问、引导、评价。 检测学生对已学 知识的掌握情况, 给予及时补充与 辅导。 根据教学需要, 例1与 这 里 的 练习可适当调 整。 学生独立思考 挂小黑板: 展示题目; 师生共同解决。 对平面向量定理 中基底, 要有一个 正确的理解。

AB , AC 表示 AD 。
A

C D B

(2)一个平面内有无数对 不共线的向量可作为表示 这个平面内的任一向量的

3 基底; (3)零向量不可以作为基 底中的向量。 其中说法正确的是 (写出正确说法的序号) 2、在平面内的四边形 MNPQ 中,下列一定可以 作为该平面内任一向量的 一组基底是( )

( A) MN与QP; ( B ) MQ与 PN ; (C )QN与 NQ; ( D ) MN与MP.
■问题 3: 在向量加法一节中,曾经学 习过求轮船的实际速度的方 3、 向 量 夹 角 ■问题 4: 对于平面内不共线的两个向 量, 怎样描述它们的位置关系 呢? 教材上对这一知 例 2、在等边三角形 ABC 中, 挂小黑板: 设向量 识点仅只概念而 已,因此,有必要 及时检测学生对 夹角这一知识点 的掌握情况, 查缺 补漏。 展示题目, 师生互动, 从不同的角度对向量夹角进行 辨别。可进行变式训练,如求 cos ? ,sin ? 的值等。 师生互动,教师给出向量夹角的概念。 向, 那里是用轮船的实际速度 与水流速度的夹角来确定。 这 对你有何启示? 向量是具有大小 又有方向的量, 对 于两个方向的表 示用夹角来表示 比较直观。 学生独立解决,教师进提问、引导、评价 “温故而知新” , 用学生已有的知 识体系, 构建新的 知识体系。

AB 与 BC 的夹角为 ? ___;

?

,则 ?

4、 课 堂 练 习

1、已知

a, b 一 组 基 底 且

m ? 2n ? a, 2m ? n ? b ,
请用基底 a, b 表示 m, n. 2、 已知 学生独立完成。 巡视,引导、评价 对教学目标进行 达成度检测, 以便 及纠错与补充。

a ? b ? 2, 且a 与
600,求 a + b 与

b 的夹角为

4

a 的夹角; a - b 与 a 的夹
角。

5、 课 堂 小 结 6、 布 置 作 业

(1)平面向量基本定理及应 用; (2)夹角的概念; (3)特殊到一般、数形结合 等数学思想的运用。 1、书面作业: (1)已知 e1 , e2 不共线, a ? e1 ? 2e2 , b ? ?e1 ? e2 , 且 a, b 是一组基底,求实 数 ? 的取值范围。 (2)已知等腰三角 ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 边的中点,∠BAC=80 。 ①求向量
0

反思过程, 提炼思 师生互动、共同总结。 想;回顾思路,总 结方法。

巩固知识, 升华方 法。 让学生带着问题 回去, 有利于学习 的可持续性发展, 笔者认为, 数学也 应该先预习。

AB 与向量 DA 的夹角;

②向量 DA 与向量 BC 是什么关系?说明理由。 2、课后思考:教材 93 页图 2.3-2 中,如是使 e1 3、课后预习:教材 2.3.2 节的内容。 7、 板 书 设 计 §2.3.1 平面向量基本定理 一、定理探究 平面向量基本定理的内容。 例 1:解题过程。 二、向量夹角 向量夹角的的概念。 例 2:解题过程。 知识点归纳

? e2 会出现什么情况?

8、 教 学 反 思

七、教学程序框图

开始上课

5

情境导入

定理探究

夹角问题

课堂练习 否

效果是否满意 是 归纳小结

布置作业





八、指导思想与理论依据 1、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一, 它是沟通代数、 几何与三角函数的一种工具, 有着丰富的实际背景。 2、新课程标准指出: “学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿与练习,高中数学课程还 应倡导自主探究、 动手实践、 合作交流、 阅读自学等学习的方式??” “还应注重数学思维能力” “与 时俱进地认识‘双基’ ” 。因此,笔者这次教学设计就是基于此而设计的,其基本想法就是让学生经 历知识的发生过程,通过动手操作、观察归纳、抽象概括、数形结合等思维活动获取新知识,从而 对数学思想方法有一定程度的认识。


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