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函数图像的三种变换


函数图像的三种变换
函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容, 函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题 的基础,而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种:

一 、平移变换
函数图象的平移变换,表现在函数图象的形状不变,只是函数图象的相对位置在变化,其平移方式可分为以下两种:

1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( x ? a)(a ? 0) ,由于两函数的对应法则相同, x ? a与x 取值范围一样,函数的值域
一样。以上三条决定了函数的形状相同,只是函数的图象在水平方向的相对位置不同,如何将函数 y ? f ( x) 的图象水平移动 才能得到函数 y ? f ( x ? a)(a ? 0) 的图象呢?因为对于函数 y ? f ( x) 上的任意一点( x1 , y1 ) ,在 y ? f ( x ? a) 上对应的点为

( x1 ? a, y1 ) ,因此若将 y ? f ( x) 沿水平方向向右平移 a 个单位即可得到 y ? f ( x ? a)(a ? 0) 的图象。同样,将 y ? f ( x) 沿水平
方向向左平移 a 个单位即可得到 y ? f ( x ? a)(a ? 0) 的图象。

2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) ? b(b ? 0) ,由于函数 y ? f ( x) 函数 y ? b ? f ( x)(b ? 0) 中函数 y 与 y ? b 的对
应法则相同,定义域和值域一样,因此两函数形状相同,如何将函数 y ? f ( x) 的图象上下移动得到函数 y ? b ? f ( x) 的图象 呢?因为对于函数 y ? f ( x) 上的任意一点( x1 , y1 ) ,在 y ? b ? f ( x)(b ? 0) 上对应的点为 ( x1 , y1 ? b) ,因此若将 y ? f ( x) 沿竖 直方向向上平移 a 个单位即可得到 y ? b ? f ( x)(b ? 0) 的图象。同样,将 y ? f ( x) 沿竖直方向向下平移 a 个单位即可得到

y ? b ? f ( x)(b ? 0) 的图象。

函数图象的平移变化可以概括地总结为:
(1)函数 y ? f ( x) 的图象变为 y ? b ? f ( x ? a)(a ? 0, 且b ? 0) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象沿水平方向向 右平移 a 个单位,然后再沿竖直方向向上平移 b 个单位即可。 (2)函数 y ? f ( x) 的图象变为 y ? b ? f ( x ? a)(a ? 0, 且b ? 0) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象沿水平方向向 左平移 a 个单位,然后再沿竖直方向向下平移 b 个单位即可。 (3)函数 y ? f ( x) 的图象变为 y ? b ? f ( x ? a)(a ? 0, 且b ? 0) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象沿水平方向向 左平移 a 个单位,然后再沿竖直方向向上平移 b 个单位即可。 (4)函数 y ? f ( x) 的图象变为 y ? b ? f ( x ? a)(a ? 0, 且b ? 0) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象沿水平方向向 右平移 a 个单位,然后再沿竖直方向向下平移 b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。

3、例题讲解
例 1. 为了得到函数 的图象,只需把函数 的图象上所有的点( )

A. 向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B. 向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C. 向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D. 向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 分析 把函数

y ? 2 x 的图象向右平移 3 个单位,然后再向下平移 1 个单位,就得到函数 y ? 2x?3 ?1 的图象。

故,本题选 A 例 2 把函数 的图象向右平移 1 单位,再向下平移 1 个单位后,所得图象对应的函数解析式是( ).

(A) (C)

(B) (D)

分析 把已知函数图象向右平移 1 个单位, 即把其中自变量 换成 ,得 .

再向下平移 1 个单位,即得 故本题选 C.



二、对称变换
图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应, 函数图象的对称性反应在两个方面, 一是两个函数图 象间的对称情况, 二是一个函数图象本身的对称情况。 两个函数图象间的对称情况有两种形式: 一是两图关于某条直线对称, 二是两图象关于某点呈中心对称。 1、一般地,函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? b ? a 对称。
2

证 明 : 在 函 数 y ? f ( a ? x) 的 图 象 上 任 取 一 点 M (

,则 M 关于支线 x0 , y0 )

x?

b ? a 的对称点为 2

M'



b ? a ? x0 , y0 ) 。 ∵ M( x0 , y0 ) 在 直 线

y ? f ( a ? x)

上 , ∴

f (a ? x0 ) ? y0

, ∴

' f [b ? (b ? a ? x0 )] = f (a ? x0 ) = y0 ,M ( b ? a ? x0 , y0 )在函数 y ? f (b ? x) 上,同理,在函数 y ? f (b ? x) 上

任意取一点 M,关于直线 x ?

b ? a 的对称点也在函数 y ? f (a ? x) 的图象上。上述结论得证。 2

2、两个函数图象间的常见的轴对称情况有以下几种情况:对于函数 f ( x) :
(1) (2) (3) (4) 关于

y 轴对称的函数解析式为 y ? f (? x) ;

关于 x 轴对称的函数解析式为 关于 关于

y ? ? f ( x) ;

y ? x 轴对称的函数解析式为 y ? f ?1 ( x)或x ? f ( y) ; y ? ? x 轴对称的函数解析式为 y ? ? f ?1 (? x)或 ? x ? f (? y) 。

一般地,函数

y ? f ( x) 的图象关与点 P(a, b) 对称的函数图象的解析式为 y ? 2b ? f (2a ? x) 对称。
M ' ( x ' , y ' ) 为 y ? f ( x) 的 图 象 上 任 一 点 , 则 y ' ? f ( x ' ) , 此 点 关 于 点 P ( a, b) 的 对 称 点 为

证明:不妨设

M (2a ? x' ,2b ? y ' ) , 满 足 y ? 2b ? f (2a ? x) , ∴ y ? f ( x) 的 图 象 关 于 点 P(a, b) 对 称 的 函 数 解 析 式 为

y ? 2b ? f (2a ? x) 。
例如:关于原点对称的函数解析式为 y ? ? f (? x) 。 3、一个函数图象自身的对称情况有两种表现形式:一是轴对称图象;一是中心对称图象。 4、如果一个函数满足 称图形。 5、一般地,对于函数

f (a ? x) ? f (a ? x), a ? R, x 取到定义域内任一数,则此函数的图象关于 x ? a

是轴对

y ? f ( x) 在 定 义 域 内 满 足 f (a ? x) ? f (b ? x), 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线

x?

a?b 2

对称。

证明:在函数

y ? f ( x) 上任取一点 M ( x0 , y0 ) ,则 M

关于直线 x

?

a?b 2

的对称点为 M

'

(a ? b ? x0 , y0 ) ,且

y0 ? f ( x0 ) 。


f (a ? b ? x0 ) ? f [a ? (b ? x0 )] ? f (b ? (b ? x0 ) ? f ( x0 ) ? y0
'

∴点 M 在 ∴函数

y ? f ( x) 的图象上,
a?b 2
对称。

y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

函数图象呈中心对称图形的函数都是奇函数或由奇函数经过平移后的函数, 其对称中心有两种情况, 一是对称中心在函 数图象上,如函数

y ? x3 , x ? R ;二是对称中心不在函数图象上,如函数 y ? 1 , 如何确定一个函数的对称中心,可以
x

通过为上面的两种形式,如求函数 y ? 函数

x?3 5 的对称中心,可以把函数转化为 y ? 1 ? 的形式,可以发现它是由 x?2 x?2

y?

5 x

右平移两个单位,然后向上平移 1 个单位得到的,因此所求函数的对称中心为(2,1)点。函数本身的对称性

与函数的其他性质有密切的联系。若一个函数的图象关于

y 轴对称,则其定义域与值域之间存在多对一的映射关系,其对

称点为 ( x, y ) ? (? x, y ) ;图象关于原点对称的函数其定义域与值域之间存在一一对应的关系,其点的对称特点为

( x, y) ? (? x,? y) 。 图象关于 y 轴对称的函数单调性一般具有双重性,图象关于原点对称的函数单调性一般具有单一性。 图象关于 y 轴对称的函数为偶函数,图象关于原点对称的函数为奇函数。
6.例题讲解 例 3 作函数

y?

1 的图象. x ?1
1 1 ,它的图象可由 y ? x ?1 x
轴对称的图形。

分析 已知函数的定义域为 R,且显然为偶函数.又当 x

? 0 时, y ?

1 的图象向

左平移个单位,并截取所得图象在

的部分,最后再作所得图形关于

三、伸缩变换
在中学阶段伸缩变换的实质是函数图象的周期及振幅的改变,其主要内容集中在三角函数部分。在一些抽象的函数中 也存在这种变换,如:已知直线 x

? 1 是函数 y ? f (2 x) 图象的一条对称轴,求函数 f (3 ? x) 图象的一条对称轴。


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