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东北三省四市教研联合体2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题


2015 年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)

3. 已知 a ? 1, b = 2 ,且 a ? b ,则 a ? b 为( (A) 2 (B) 3 (C) 2

?

?

?

?

?

?

) (D) 2 2
2 2 2



学(文科)

4. 已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c , a ? b ? c ? bc ,bc ? 4 , 沈阳命题:沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝 沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二 0 中学 潘 戈 沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧 沈阳主审:沈阳市教育研究院 王恩宾 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 其中第Ⅱ卷第 22 题~ 第 24 题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷 上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条码粘贴在答题卡 指定区域。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡 指定位置书写作答,在本试题卷上作答无效。 3.考试结束后,考生将答题卡交回。 则△ ABC 的面积为( (A) ) (C) 3 ) (D)2

1 2

(B)1

2 5. x ? 2 是 x ? 3x ? 2 ? 0 成立的(

(A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 6. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序 . 若输出的 S 为

11 ,则判断框中填写的内容可以是( ) 12 (A) n ? 6 (B) n ? 6 (C) n ? 6

(D) n ? 8 )

4 3 球的体积公式: V ? ? R . 3

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的 是某多面体的三视图,则该多面体的体积为(

第Ⅰ卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? {x ?1 ? x ? 1}, B ? {x 0 ? x ? 2} ,则 A (A) [?1, 0] (B) [1,2] (C) [0,1]

(A)

32 3

(B) 64

(C)

32 3 3

(D)

64 3

8. 函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ?)(? ? 0) 对任意 x 都有

B?





? ? ? f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) 等于( 4 4 4
(A) 2 或 0 (B) ?2 或 2 (C) 0

) (D) ?2 或 0

(D) (??,1] ? [2, ??)

2. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 (A) 1 ? i (B) 1 ? i

2 =( z

) (D) ?1 ? i

(C) ?1 ? i

?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 9. 在平面直角坐标系中,若 P ( x, y ) 满足 ? 2 x ? y ? 10 ? 0 , ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
·1·

则 x ? 2 y 的最大值是( (A)2 (B)8

) (C)14 (D)16

15. 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式

f ( x ? 2) ? 0 的解集是

.

10. 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,直线 y ? 3( x ?1) 与 C 交于 A, B ( A 在 x 轴上方)两点.若 AF ? mFB ,则实数 m 的值为( (A) 3 ) (D)3 )

16. 如图,半球内有一内接正四棱锥 S ? ABCD , 该四棱锥的体积为 为

3 (B) 2
(B) b ? 0

(C)2

4 2 ,则该半球的体积 3

11. 若关于 x 方程 log a x ? b ? b(a ? 0, a ? 1) 有且只有两个解,则 ( (A) b ? 1 (C) b ? 1

.

(D) b ? 0 三. 解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a 7 ? ?9, S 9 ? ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

12. 定义在 [0,1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x) 称为 M 函数:① 对 任意的 x ,总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则下列 函数不是 M 函数的是( ( A ) f ( x) ? x
2


x

99 . 2

( B ) f ( x) ? 2 ? 1

( C ) f ( x) ? ln( x ? 1)
2

(D)

f ( x) ? x ? 1
2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二. 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置 上) 13. 函数 y ?

3 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,求证: Tn ? ? . 4 2S n

? 1 3 sin x ? cos x ( x ? [0, ] )的单调递增区间是__________. 2 2 2

14. 将高一 9 班参加社会实践编号为:1,2,3,?,48 的 48 名学生,采用系统抽样 的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号,29 号,41 号学生在样本中,则样 本中还有一名学生的编号是 .
·2·

18.(本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每

人投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 4 2号 5 8 3号 7 9 4号 9 7 5号 8 7

(Ⅰ)从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)? (Ⅱ)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求 甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 (0, 2) ,且离心率为 , 2 a b 2
2 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:过圆 x ? y ? r 上一点 Q( x0 , y0 ) 的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; 19.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=45°, (Ⅲ)从椭圆 C 上一点 P 向圆 x ? y ? 1上引两条切线,切点为 A, B . 当直线
2 2

AB 分别与 x 轴、 y 轴交于 M , N 两点时,求 MN 的最小值.

AE ? k ,点 F PD⊥平面 ABCD,PD=AD=1,点 E 为 AB 上一点,且 AB
为 PD 中点. (Ⅰ)若 k ?

1 ,求证:直线 AF // 平面 PEC ; 2

(Ⅱ)是否存在一个常数 k ,使得平面 PED⊥平面 PAB. 若存在,求出 k 的值; 若不存在,说明理由.

·3·

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ,常数 a ? R . (Ⅰ)若 a ? 1 ,过点 (1, 0) 作曲线 y ? f ( x ) 的切线 l ,求 l 的方程; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? x ? 1 只有一个交点,求实数 a 的取值范围. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求△ ABM 面积的最 大值.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, BC , CD 为 圆 O 的切线, B , D 为切点., (Ⅰ)求证: AD // OC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;
2 (Ⅱ)若 ?x ? R, f ( x ) ? t ?

7 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

·4·

2015 年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)

数学(文科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可 根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正 确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 (1)C; (2)A; (3)B; (4)C; (5)A; (6)C; (7)D; (8)B; (9)C; (10)D; (11) B; (12)D. 二.填空题 (13) [0,

3 ? ?a1 ? ? 解得 ? 2, ? ?d ? ?1
4分 于 是 可

??????????

求 ????????????6 分



2n ? 1 an ? ? . 2
(Ⅱ)因为 S n ? ? 8分 于

n ( n ? 2) 1 1 1 1 ?? ( ? ), ,故 bn ? ? 2 n(n ? 2) 2 n n?2

???



1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 Tn ? ? [(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ? ? )] ? ? ( ? ? ) . 2 2 3 n 3 4 5 n?2 2 2 n ?1 n ? 2
??10 分

3 3 3 1 1 ? ,所以 Tn ? ? . ? 又因为 ? 4 2 n ?1 n ? 2 2
12 分 (18)解: (Ⅰ)两个班数据的平均值都为 7, 1分 甲班的方差 s1 ?
2

????????????

?
6

]; (14) 17;(15) (??,1] [3, ??) ; (16)

4 2? . 3

??????????????

三.解答题

?2a1 ? 6d ? ?9 ? (17)解: (Ⅰ)设数列{an } 的公差为 d ,则由已知条件可得: ? 99 ,? 9a1 ? 36d ? ? ? 2 ?
2分

2 2 2 2 2 (6-7) +(5-7) +(7-7) +(9-7) +(8-7) =2 , 5

?????

3分
2 2 2 2 2 (4-7) +(8-7) +(9-7) +(7-7) +(7-7) 14 = , ????? 乙班的方差 s ? 5 5 2 2

5分 因为 s1 ? s2 , 甲班的方差较小, 所以甲班的成绩比较稳定.
2 2

?????

·5·

6分 (Ⅱ)甲班 1 到 5 号记作 a, b, c, d , e , 乙班 1 到 5 号记作 1, 2,3, 4,5 , 从两班中分别任 选一个同学,得到的基本样本空间为 (Ⅱ) 存 在 常 数

k?

2 2



使







PED⊥





PAB .
= ∵

?????????????7 分 ????????????8

?

{a1, a2, a3, a4, a5, b1, b2, b3, b4, b5, c1, c2, c3, c4, c5, d1, d 2, d 3, d 4, d 5, e1, e2, e3, e4, e5} ,
?????? ?8 分

AE 2 2 ? k , AB ? 1 , k ? ,∴ AE ? . AB 2 2

分 又∵∠DAB=45°,∴AB⊥DE. 又∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AB. 又∵ PD ? DE ? D ,∴AB⊥平面 PDE. ∵ AB ? 平面PAB ,∴平面 PED⊥平面 PAB. 分 (20) 解:(Ⅰ) ???????12 ????????????10 分

? 由 25 个基本事件组成,这 25 个是等可能的;
将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作 A , 则 A ? {a1, b1, c1, d1, d 2, d 4, d 5, e1, e4, e5} , A 由 10 个基本事件组成, ???? 10 分 所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为 12 分 (19)解:(Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. 分 ∵点 F 为 PD 中点,∴ FM ? ?????????????2

b ? 2,e ?

10 2 ? . 25 5

c 3 = , ? a ? 4, b ? 2 , a 2
???????????????????

????

? 椭圆 C 方程为
2分

x2 y2 ? ?1 . 16 4

1 CD . 2

(Ⅱ)当切线的斜率 k 存在时,设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) .
P

??????3

1 1 ∵ k ? ,∴ AE ? AB ? FM ,????4 分 2 2
∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM. ∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC , ∴直线 AF // 平面 PEC. ??????6 分
A D


F M

又因为 k ? ? 分

x0 x 2 ,故切线方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? x0 ) ,? x0 x ? y0 y ? r . ??5 y0 y0
2

C

当 k 不存在时,切点坐标为 ? ?r ,0 ? ,切线方程为 x ? ? r ,符合 x0 x ? y0 y ? r .
E B

·6·

综上,切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 . 分

??????????????????6

5分 设 g ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 ,则 g '( x ) ? 3x2 ? 2ax? 1 ,因为 ? ? 4a2 ?12 ? 0,所以

( Ⅲ ) 设 点 P 坐 标 为 ( x p ,y p ), PA, PB 是 圆 x 2 ? y 2 ? 1 的 切 线 , 切 点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,过点 A 的圆的切线为 x1 x ? y1 y ? 1 , 过点 B 的圆的切线为 x2 x ? y2 y ? 1.
两切线都过 P 点,? x1 xp ? y1 y p ? 1 ,x2xp ? y 2y p ? 1. 分 ???????? 8

g '(x ) 有 两 个 零 点 x1 , x2 , 即 3xi2 ? 2 ( i ? 1, 2 ) , 且 x1 x2 ? 0 , axi ? 1 ? 0

a?

3xi2 ? 1 . ?7 分 2 xi

? 切点弦 AB 的方程为 xp x ? y p y ? 1 ,由题知 xP yP ? 0 ,
2 2 1 1 ? 1 1 ? ? xp yp ? 1 1 2 ? M (0, ) , N ( ,0) ,? MN ? 2 ? 2 = ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? xp yp ? yp xp ? x p y p ? ? 16 4 ?

不妨设 x1 ? 0 ? x2 ,所以 g ( x) 在 (??, x1 ),( x2 , ??) 单调递增,在 ( x1 , x2 ) 单调递减,

g ( x1 ) 为极大值, g ( x2 ) 为极小值,
方程 x ? ax ? x ? 1 ? 0 只有一个根等价于 g ( x1 ) ? 0 且 g ( x2 ) ? 0 ,或者 g ( x1 ) ? 0
3 2

2 2 2 2 16 1 1 1 xp 1 y p 1 1 1 xp yp 9 2 , 当 且 仅 当 xP ? , = + + ? 2 ? ? 2 ? + ?2 ? 2? 2 ? 3 16 4 16 y p 4 x p 16 4 64 y p x p 16



3 8 3 2 yP ? 时取等号,? MN ? ,? MN 的最小值为 . 4 3 4
(21) 解 :( Ⅰ ) 设 切 点

g ( x2 ) ? 0 .
9分

???????????????????????????

???????12 分

P 为 ( x0 , y0 ) , 则 P 处 的 切 线 方 程 为

又 g ( xi ) ? xi3 ? axi2 ? xi ? 1 ? xi3 ? 设 h( x ) ? ?

3xi2 ? 1 2 x 1 xi ? xi ? 1 ? ? xi3 ? i ? 1(i ? 1, 2) . 2 xi 2 2

2 3 2 . 0x y ? ( 3x )x (? 0 x ? ) 0 ? 2x 0 0x ? 2 2 该 直 线 经 过 点 (1, 0) , 所 以 有 0 ? ( 3 , x0 ? 2 x0 ) ( ? 1x0 ?)3 x0 ? x 0 化 简 得 3 2 x0 ? 2x0 ? x0 ? 0 ,

1 3 x 3 1 x ? ? 1 ,所以 h '( x) ? ? x 2 ? ? 0 ,所以 h( x) 为减函数. 2 2 2 2

又 h(1) ? 0 ,所以 x ? 1 时, h( x) ? 0 ; x ? 1 时, h( x) ? 0 , 所以 xi (i ? 1, 2) 大于 1 或小于 1 ,由 x1 ? 0 ? x2 知, xi (i ? 1, 2) 只能小于 1 ,

解得 x0 ? 0 或 x0 ? 1, 所以切线方程为 y ? 0 和 y ? x ? 1 . 4分 (Ⅱ)法一:由题得方程 x ? ax ? x ? 1 ? 0 只有一个根.
3 2

???????

所以由二次函数 g '( x) ? 3x ? 2ax ?1 性质可得 g '(1) ? 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,
2

?????????

所以 a ? 1 . 12 分

??????????????????????????

·7·

法 二 : 曲 线 y ? f ( x) 与 直 线 y ? x ? 1 只 有 一 个 交 点 , 等 价 于 关 于 x 的 方 程

(22) 解: (1)连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,? BD ? OC ,

ax2 ? x3 ? x ? 1
根.











? ?ODB ? ?DOC ? 90? ,又∵ AB 为圆 O 的直径,? AD ? DB , ? ?ADO ? ?ODB ? 90? ? ?OAD ? ?ODA ,? ?OAD ? ?DOC ,即得证,
?????????? 5分

??????????????????5 分

1 1 显然 x ? 0 ,所以方程 a ? x ? ? 2 只有一个实根. x x
1 1 1 2 x3 ? x ?2 设函数 g ( x ) ? x ? ? 2 ,则 g '( x) ?1 ? 2 ? 3 ? . x x x x x3
7分 设 h( x) ? x ? x ? 2 , h '( x) ? 3x ? 1 ? 0 , h( x) 为增函数. 又 h(1) ? 0 ,
3 2

???????

(2)? AO ? OD ,? ?DAO ? ?DOC ,∴ Rt △ BAD ∽△ COD ,

AD ? OC ? AB ? OD ? 8 .
0分
y

??????????????????????1

所以当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 为增函数;当 0 ? x ? 1 时,

g '( x) ? 0 , g ( x) 为减函数;当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 为
增函数;所以 g ( x) 在 x ? 1 时取极小值 1 .
1

(23)解: (1)圆 C 的参数方程为 ?
O 1 x

?????9 分

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
通 方 程 为 ??????????????2 分 ???????5







又当 x 趋向于 0 时, g ( x) 趋向于正无穷;又当 x 趋向于负无穷 时, g ( x) 趋向于负无穷;又当 x 趋向于正无穷时, g ( x) 趋向于正无穷. 所以 g ( x) 图象大致如图所示:

( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 .

? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 ? 圆 C 的极坐标方程:
分 ( 为 2 ) 点

1 1 所以方程 a ? x ? ? 2 只有一个实根时,实数 a 的取值范围为 (??,1) . ???? x x
12 分

M ( x, y)





线

AB

:

x? y?2?0







????????6 分

d?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2
7分

???????????????????

·8·

△ ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

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??????????????????????????????? ?9 分 所 以 △

ABM















9?2 2

???????????????10 分

?? x ? 4, x ? ?1 ? (24) 解: (1) f ( x) ? ?3 x, ?1 ? x ? 2 , ? x ? 4, x ? 2 ?
分 当 x ? ?1, ? x ? 4 ? 2, x ? ?6,? x ? ?6 当 ?1 ? x ? 2,3x ? 2, x ?

?????????????2

2 2 ,? ? x ? 2 3 3

当 x ? 2, x ? 4 ? 2, x ? ?2,? x ? 2 综上所述 ? x | x ? 分
2 (2)易得 f ( x)min ? f (?1) ? ?3 ,若 ?x ? R, f ( x ) ? t ?

? ?

2 ? 或x ? ?6? . 3 ?

????????????5

则只需 f ( x) min 综上所述 分

11 t 恒成立, 2 7 3 ? ?3 ? t 2 ? t ? 2t 2 ? 7t ? 6 ? 0 ? ? t ? 2 , 2 2
?????????????????10

3 ? t ? 2. 2

·9·


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