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2012年高考数学 冲刺60天解题策略 专题三 数列与不等式测试卷

数列与不等式
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 一个凸 n 边形内角的度数成等差数列, 公差为 5°, 且最大角为 160°, n 的值为 则 ( ) (A)9 (B)12 (C)16 (D)9 或 16 2.若函数 f(x)=min{3+log 1 x,log2x},其中 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者,则 f(x)<2
4

的解集为 ( ) A.(0,4) B.(0,+∞) C. (0,4)∪(4,+∞) D (
1 ,+∞) 4

?????? ? 3. 设数列 {an } 满足 a1 ? 2a2 ? 3 , Pn (n an 对任意的 n ? N * , 点 都有 Pn Pn?1 ? (1, 2) , 则数列 {an } , )

的前 n 项和 S n 为(
4 A. n(n ? ) 3


3 B. n(n ? ) 4 2 C. n(n ? ) 3 1 D. n(n ? ) 2

2 4.已知各项都不为 0 的等差数列 {an } ,满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

b7 ? a7 ,则 b6b8 等于(

) B.4 C.8 D.16

A.2
2

5.如果不等式 f(x)=ax -x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},那么函数 y=f(-x)的大致图象是 ( )

6.已知 ? an ? 是首项为 1 的等比数列, S n 是 ? an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 { 1 } 的前 an 5 项和为( A. ) B.
2

15 或5 8

31 或5 16
2 3 3

C.

31 16

D.

15 8

7.若数列 1, 2cos ? , 2 cos ? , 2 cos ? ,??, 前 100 项之和为 0,则 ? 的值为 ( A. k? ? 不对 )

?
3

(k ? Z )

B. 2k? ?

?
3

(k ? Z )

C. 2k? ?

2? (k ? Z ) 3

D.以上的答案均

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? x ? ?1 ? 8.若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9.已知数列 {an } 是公差为 d 的等差数列, S n 是其前 n 项和,且有 S9 ? S8 ? S7 ,则下列说法 中不正确的是( A. S9 ? S10 ) B. d ? 0 C. S 7 与 S8 均为 S n 的最大值 D. a8 ? 0

10.定义在实数集 R 上的可导函数 y ? f ( x) 满足 f (4) ? 1 ,导函数 y ? f '( x) 的图象如 右图所 b?2 示,若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 的取值范围是( ) a?2 1 1 1 1 A. ( , ) B. (??, ) ? (3, ??) C. ( ,3) D. (??, ?3] 3 2 2 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 a 11.在数列{an}中,a1=1,an+1= n (n ? 1,2,3,?) ,则此数列的通项公式可归纳为______. 1?an 12 . 已 知 y ? l n a ? 1有 意 义 , 且 y ? log a x 在 [2, ??) 上 恒 有 | y |? 1 , 则 a 的 取 值 范 围 为 . 13.(2009 浙江文)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成 等 差 数 列 . 类 比 以 上 结 论 有 : 设 等 比 数 列 {bn } 的 前 n 项 积 为 Tn , 则

T4 ,





T16 成等比数列. T12
2 ,n 为{an}的前 n 项和.记 Tn ? S
. .

14. 设{an}是等比数列, 公比 q ?

17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 an ?1

为数列{ Tn }的最大项,则 n0 =

15.若不等式 4x ? x 2 ? ax 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,则 a 的取值范围是

三,解答题:本大题共 75 分.其中(16)~(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14 分.解 答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 16. (本小题满分 12 分)实系数方程 f(x)=x +ax+2b=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在 (1,2)内,求: (1)
b?2 的值域; a ?1
2 2 2

(2) a-1) +(b-2) 的值域; ( (3)a+b-3 的值域.
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17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ? 2 , S3 ? 9 ? 3 2 (1)求数列 {an } 的通项公式 an 与前 n 项和 S n ; (2)设 bn ?

Sn (n ? N * ) 求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | .

(1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立 ,求实数 m 的取 值范围. 19. (本小题满分 12 分) (2011 山东文数)等比数列 ? an ? 中,a1 , a2 , a3 分别是下表第一、 二、 三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

?

?

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2n .

20. (本小题满分 13 分)某企业 2010 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的 生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年(2011 年)起每年比上一年纯利润 减少 20 万元,今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改 造资金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+

1 )万元(n 为正整数) . 2n

( 1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改 造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不 进行技术改造的累计纯利润?

21. (本小题满分 14 分)数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式;

*

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(2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn; (3)设 bn=

1 * * (n∈N ),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N ),是否存在最大的整数 m,使得对任 n(12 ? a n )

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 32 专题三测试卷 (答案) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 号 答 A C A D C C C C 案 1. 【答案】A. 【解析】设首项为 160°,则公差为-5°,由多边形内角和定理知:
意 n∈N 均有 Tn>
*

9 A

1 0 C

1600 n ?

n(n ? 1) ? (?50 ) ? (n ? 2) ?1800 ? n2 ? 7n ? 16 ? 9 ? 0 2 ,∴n=9 或 n=-16(舍).选 A.
0? x?4 x?4

2. 【答案】C
?log 2 x ? 【解析】f(x)=min{3+log 1 x,log2x}= ? 1 ?3 ? 2 log 2 x 4 ?

分别解 f(x)<2 可得 0<x<4

或 x>4,故应选 C. 3. 【答案】A ?????? ????? ???? ? ? ? 【解析】∵ Pn Pn?1 ? OPn?1 ? OPn ? (n ? 1, an?1 ) ? (n, an ) ? (1, an?1 ? an ) ? (1, 2) ,∴ an?1 ? an ? 2 , 1 ∴ {an } 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 . 由 a1 ? 2a2 ? 3 , 得 a1 ? ? , ∴ 3 n 1 4 Sn ? ? ? n(n ? 1) ? 2 ? n(n ? ) 选 A 3 2 3

4. 【答案】D 2 2 【解析】 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 , 2 a3 ?a1 ) ?a 2?0 , 4a7 ? a7 ? 0 , an ? 0 , a7 ? 4 . 由 得 ( 即 ∵ ∴ 又 1 7
2 2 ∵数列 {bn } 是等比数列,∴ b6b8 ? b7 ? a7 ? 16 .

5. 【答案】C
1 ? ?? 2 ? 1 ? a ? a ? ?1 ? 2 2 ?? 【解析】由已知 ? ,y=f(-x)=ax +x-c,即 y=-x +x+2,其图象为 C. c c ? ?2 ? ?? 2 ? 1 ? ? ? a ?

6【答案】C.
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【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质.显然 q ? 1,所以

9(1 ? q 3 ) 1 ? q 6 1 1 ? ? 1 ? q 3 ? 9 ? q ? 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的等比数列, 1? q 1? q an 2

1 1 ? ( )5 2 ? 31 . 前 5 项和 T5 ? 1 16 1? 2
7. 【答案】C. 【 解 析 】

S100 ? 1 ? 2 cos ? ? 22 cos 2 ? ? ? ? 299 cos99 ? ?
选.C. 8. 【答案】C

(2 cos ? )100 ? 1 ? 0 ?2 2 cos ? ? 1

?

, 故

c

?

【解析】 本题考查了线性规划的知识.∵ 作出可行域, : 作出目标函数线, 可得直线与 y ? x 与 3x ? 2 y ? 5 的交点为最优解点,∴即为(1,1) ,当 x ? 1, y ? 1 时

zmax ? 3

9. 【答案】A 【解析】由 S9 ? S8 ? S7 可知,a9 ? 0 ,a8 ? 0 ,故等差数列的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,S 7 与 S8 均为 S n 的最大值.而 S10 ? S9 ? a10 ,且 a10 ? a9 ? d ? a9 ? 0 ,故必有 S9 ? S10 .选 A 10. 【答案】C 【解析】由题中图可知,当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数,由 2a ? b ? 0 , f (2a ? b) ? 1 ? f (4) 得 2a ? b ? 4 ,即 2a ? b ? 4 ? 0 .
?a ? 0 ? 在直角坐标平面 aOb 内画出不等式组 ?b ? 0 表示的平面区域 ? 2a ? b ? 4 ? 0 ? b?2 将 视为该平面区域内的点 (a, b) 与点 (?2, ?2) 连线的斜率, a?2 b?2 1 结合图形不难得知 的取值范围是 ( ,3) . 选 C. a?2 2 二、填空题

11. an ?

1 n

12.由 y ? ln a ? 1 有意义,得 a ? 1 ,又当 a ? 1 时, y ? log a x 在 [2, ??] 上恒有 | y |≥1 ,由图 象分析知 1 ? a ≤ 2 .故填 (1, 2] . 13.解:对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,

T8 T12 T16 , , T4 T8 T12

成等比数列. 14. 【答案】4 【解析】 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用, 属于中等
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题.

17 a1[1 ? ( 2) n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1? 2 1? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2) n 1? 2 ( 2) n

?

1 1? 2

? [( 2)n ?

16 ( 2)n

? 17] .

因为 ( 2) ?
n

16 n ≧8, 当且仅当 ( 2) =4, n=4 时取等号, 即 所以当 n0=4 时 Tn 有最大值. n ( 2)

15. 【答案】 ?1, ?? ?

y1 ? 4 x ? x 2 , y2 ? ax , 如右图,由题意知, 2a ? 2 ,于是 a ? 1 . 测 3 答图 1 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 16.解答:由题意知:f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0 3分 ? b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0. 如图所示,A(-3,1) ,B(-2,0) ,C(-1,0). 又由所求式的几何意义知,值域分别为
(1) (
1 ,1) ; 4

6分 9分 12 分

(2) (8,17) ; (3) (-5,-4).

测 3 答图 2

? a1 ? 1 ? 2 ? ? d ? 2 ………………3 分 17.解: (1) {an } 的差为 d ,则 ? ? S3 ? 3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ?

n 2 ? 所 以 an ? (1 ? 2 ) ? 2( ? 1)? n ? 1


2

Sn ? 2 ? 2 ………………6 n n

(2)由(1)知 bn ? n ? 2, 用反证法,假设数列 [bn ] 中存在三项 br , bs , bt

( r, s, t ?且互不相等) 成等比数列,则 bs2 ? br bt ,………………8 分
即 ( s ? 2)2 ? ( s ? 2)2 ? ( r ? 2)(t ? 2)

? S 2 ? rt ? 0 ? ( r ? t )2 ? ( r ? t )2 ? 0 ? r ? t 所以 ( s 2 ? rt ) ? (2s ? r ? t ) 2 ? 0 则 ? 2S ? r ? t ? 0 ?
与 r、s、t 互要等,矛盾,所以数列给中任意三项都不要能成为行为等比数 列………………12 分 18.解法一: (1)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 . 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,

?

?

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所以 ?

? a ? 3 ? ?1, 解得 a ? 2 .………………6分 ? a ? 3 ? 5,

(2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | 。设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

??2 x ? 1,x ? ?3; ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5, 3 ? x ? 2; ? ?2 x ? 1,x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ; 当 ?3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时, g ( x) ? 5 。 综上可得, g ( x) 的最小值为 5。 从而,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为 (- ? ,5]. ………………12 分 解法二: (1)同解 法一. ………………6分 (2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | 。设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) . 由 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5(当且仅当 ?3 ? x ? 2 时等号成立) 得,g ( x) 的最小值为 5. 从而,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为 (- ? ,5]. ………………12 分 19. (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ? an ? 是等比数列,所以公比为 3, 所以数列 ? an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3
n
n ?1

.……………………… ……5 分
n

n?1 (Ⅱ) bn = an ? (?1) ln an = 2 ? 3 ? (?1) [ln 2 ? (n ? 1) ln 3]

= 2?3 所

n?1

? (?1)n ln 2 ? (?1)n (n ? 1) ln 3 ,……………………………7 分

0

S2 n ? ( ?

? ?

? ?

?? ?

n?

? ?

? ?

??? ?

n

? ?

? ?

2

1

(?1)2 ?1 ? (?1)3 ? 2 ? ? ? (?1) 2 n ? (2n ? 1)) ln 3 ……………………………10 分

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= 9 ? 1 + 0 ? ln 2 ? n ln 3 ? 9 ? 1 ? n ln 3 ……………………………12 分
n n

(2) 依

题 意 得 , Bn ? An , 即 500n ?

500 ? 100 ? 490n ? 10n2 , 化 简 得 2n

50 2 ? n ? n ? 10 ,………………7 分 2n 50 ?可设 f (n) ? n , g (n) ? n2 ? n ? 10 又 n ? N * ,?知 f (n) 是减函数, g (n) 是增函数, 2 50 50 又 f (3) ? ? g (3) ? 2, f (4) ? ? g (4) ? 8 , 则 n ? 4 时 , 不 等 式 成 立 , 即 4 8 16
年 ……………12 分 答:从今年即 2011 年起该企业至少经过 4 年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技 术改造的累计纯利润. ……………………………13 分 21.解
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(1)由 an+2=2an+1-an ? an+2-an+1=an+1-an 可知{an}成等差数列,d=

a 4 ? a1 =-2, 4 ?1

∴an=10-2n 5分 2 (2)由 an=10-2n≥0 可得 n≤5,当 n≤5 时,Sn=-n +9n,

? 2 ?? n ? 9 n 2 当 n>5 时,Sn=n -9n+40,故 Sn= ? 2 ?n ? 9n ? 40 ?

1? n ? 5 n?5

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