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圆锥曲线的综合问题2013406


稳定持久赢高分

圆锥曲线的综合问题
高考要求
圆锥曲线的性质、直线和圆锥曲线的综合性问题和动点轨迹问题是高考中考察的热点,学生应该牢记 圆锥曲线,掌握使用舍而不求的固定套路解决直线和圆锥曲线的综合性问题,熟练掌握了求轨迹方程的常 见的方法.本版块在高考中以一大一小的形式进行考察,考生应加强练习.

重难点归纳
一、弦中点问题
1.问题类型: (1)求中点弦所在直线的方程; (2)求弦中点轨迹问题. 2.处理方法: (1)根与系数的关系法:将直线方程带入圆锥曲线消去 y (或 x )并整理得到关于 x (或 y )的一元二次方 程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解. (2) “点差法” :若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A、B ,设出 A、B 的坐标 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) ,带入 曲线方程后做差,通过构造建立中点坐标和斜率的关系式.

二、圆锥曲线上两点关于直线对称问题
1. “判别式” 解法: 若圆锥曲线上两点关于直线 y ? kx ? b 对称, 那么两点的直线方程设为:y ? ?

1 x?m, k

带入曲线方程, 消去 y (或 x )并整理得到关于 x (或 y )的一元二次方程.利用中点在直线 y ? kx ? b 上和方 程的两根,利用 ? ? 0 解决问题.

三、直线与圆锥曲线中的定点、定值、最值等问题
1.直线与圆锥曲线中的综合问题:使用根与系数的关系和设而不求的思想解题. 2.圆锥曲线中的求最值的方法: (1)几何法:如题目中有明显的几何关系和意义时,可考虑几何法求解. (2)代数法:建立所求值的关于某一变量的一元函数,借助函数求最值方法求解.

四、常用思想和技巧
(1)方程思想 (6)转化思想 (2)函数思想 (3)坐标法 (4)对称思想 (5)参数法

(7)数形结合思想

(8)舍而不求与整体带入技巧

五、曲线与方程的概念
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稳定持久赢高分 在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的解一一对应,即曲线上的点的 坐标都是方程的解,并且以方程的解为坐标的点在曲线上,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做 方程的曲线.

六、两曲线公共点问题
1.求法:两条曲线交点坐标就是两个曲线的方程联立后的解.解得组数就是公共点的个数. 2.直线与二次曲线公共点问题: 将直线方程带入圆锥曲线消去 y (或 x )并整理得到关于 x (或 y )的一元二次方程,讨论二次项系数是 否为零,当二次项系数不为 0 时, ? ? 0 有两个公共点, ? ? 0 有一个公共点, ? ? 0 没有公共点 .

七、求轨迹的常用方法
1.常用方法 (1)直接法:根据动点所满足的几何条件,用动点坐标表示其中的几何量,建立坐标等式化简后求得轨 迹方程的方法叫做直接法.要特别注意有无遗漏点和应该挖去的点. (2)定义法:运用常见曲线的定义直接写出轨迹方程的方法叫做定义法. (3)相关点法(代入法) :当形成轨迹的动点 P( x, y) 是随着另一相关动点 Q( x ', y ') 的运动而运动,根据题 中的条件建立两点坐标之间的联系,变形后用含 x、 y 的代数式子表示 x '、y ' ,然后再带入相关点

Q( x ', y ') 所满足的方程中,化简整理便得出动点 P( x, y) 的轨迹方程,这种方法叫做相关点法.
2.注意事项: (1)注意有无遗漏点和应该挖去的点; (2)注意挖掘图形几何属性,建立适当关系,尝试几何法解题减少运算量. 3.求轨迹方程的一般步骤:建系、设点、列式、带入、化简、检验.

典型例题分析
例 1. 已知双曲线 C :

x2 y2 ? =1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a 2 b2
B.

A.

x2 y2 ? =1 20 5

x2 y2 ? =1 5 20

C.

x2 y2 ? =1 80 20

D.

x2 y2 ? =1 20 80

解析:选 A.设双曲线 C :

b x2 y2 ? 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 .又? C 的渐近线为 y ? ? x , 2 a b a b ? 2 ,即 a ? 2b .又 c 2 ? a 2 ? b2 , a
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点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,?1 ?

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? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为

x2 y2 =1. 20 5
y
.

例 2.设圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,过原点 O 做圆的任意弦, 则所作弦的中点的轨迹方程为 解析:设 OQ 为过 O 点的一条弦, P( x, y) 为其中点, 则 CP ? OQ ,由于 OC 的中点为 M ( , 0) ,连接 PM . 故 | PM |?

P

Q

O M C (1, 0)
例2

x

1 2

1 1 | OC |? , 2 2 1 2
2 2

故所得轨迹方程为 C : ( x ? ) ? y ?

1 (0 ? x ? 1) . 4

例 3.已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线, 两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________. 解析:因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y , 则y ?

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所以过点 P,Q 的 2

抛物线的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ?4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4.

x2 ? y 2 ? 1 .过点 (m,0) 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 例 4.已知椭圆 G : 4
(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 解析: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) 离心率为 e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1,

3 3 ), (1,? ), 2 2

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稳定持久赢高分 此时 | AB |?

3 3

当 m=-1 时,同理可得 | AB |?

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k 2
2

, x1 x2 ?
2

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

? (1 ? k 2 )[ ? 4 3|m| . m2 ? 3

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3, 所以 | AB |?

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 例 5.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 外,且对 C1 上任意一点 M , M 到直 线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )( y0 ≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A, B 和

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C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值.
解析: (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得

x ? 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,
易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以

( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 .
化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . 解法 2 :由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离,因此, 曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线,故其方程为 y 2 ? 20 x . (Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时, P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? 4) .
即 kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 ,于是

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1
整理得
2 72k 2 ?18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.

? 3.



设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,故

k1 ? k2 ? ?
由?

18 y0 y ?? 0. 72 4



?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 得 k1 y2 ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x, ?



设四点 A, B, C , D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根,所以

y1 ? y2 ?
同理可得

20( y0 ? 4k1 ) . k1 20( y0 ? 4k2 ) . k2



y3 ? y4 ?
于是由②,④,⑤三式得



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2 2 2 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? y0 ? 4(k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? 400 ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ? ?? ? ? ? 6400 y1 y2 y3 y4 ? ? k1k2 k1k2 k1k2

巩固强化练习
一、选择题
1. 已 知 F 、 F2 为 双 曲 线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 C 上 , | PF |? 2 | PF2 | , 则 1 1

cos ?F1PF2 ? (
A.

) B.

1 4

3 5

C.

3 4

D.

4 5

x2 y 2 3a 2.设 F1、F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ? F2 PF 是底角 1 2 a b
为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.
?

) C.

1 2

B.

2 3

? ?

D.

? ?

3. 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,则 C 的实轴长为( A. 2 B. 2 2 ) C. ? D. ?

4.设 O 是坐标原点, F1、F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线上存在点 P ,满 a 2 b2
) D.

足 ?F PF2 ? 60?,| OP |? 7a ,则双曲线的渐近线方程为( 1 A. x ? 3 y ? 0 B.

3x ? y ? 0

C. x ? 2 y ? 0

2x ? y ? 0
) D.圆

2 2 5.设圆 C 与圆 x ? ( y ? 3) ? 1外切,与直线 y ? 0 相切,则圆 C 的圆心轨迹为(

A.抛物线 6.设椭圆 为( A.

B.双曲线

C.椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 ,则椭圆的方程 2 2 m n


x2 y 2 ? ?1 12 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

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二、填空题
7.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A 和 B .若

???? ???? ? AM ? MB ,则 p ?
8. 椭圆

.

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,当 ?FAB 的周长最大时,?FAB 4 3

的面积是______. 9. 过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若 AB ?

25 , AF ? BF , 则 12

AF =

.

10. 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 m m ?4



三、解答题:
11.在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上位于第一象 限内的任意一点,过 M 、F、O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 不同的交点 D, E ,求当

3 . 4

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 与圆 Q 有两个 4

1 ? k ? 2 时, | AB |2 ? | DE |2 的最小值. 2

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12. 如 右 图 , 动 点 M 和 两 定 点 A(?1, 0) 、 B(2, 0) 构 成 ?M A B, 且

?M B A?2 ? M A,设动点 M 的轨迹为 C 。 B
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R , 且 | PQ |?| PR | ,求

y

M

| PR | 的取值范围. | PQ |

A

O

B x

13.如右图, 椭圆 C :

1 x2 y 2 其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . 不过原点 O 的 + ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a 2 b2

直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

y A P

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ?APB 的面积取最大时直线 l 的方程.

O
R B
第 13 题

x

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巩固强化练习答案
一、选择题 1.C 二、填空题 7.2 三、解答题 11. 解: (Ⅰ) F 时抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F (0, 题意可知 b ? 8. 3 9. 2.C 3.C 4.D 5. A. 6.B

5 6

10. 2

x p ) ,设 M ( x0 , 0 )(x0 ? 0) , Q(a, b) ,由 2 2p

2

3 p p p p 3 ,则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 b ? ? ? ? p ? ,解得 p ? 1 ,于是抛物 4 4 2 4 2 4

线 C 的方程为 x 2 ? 2 y . (Ⅱ)假设存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ,

而 F (0, ), O(0,0), M ( x0 ,
2

1 2

x0 1 ) , Q(a, ) , MQ ? OQ ? QF , 4 2
3

2

( x0 ? a) 2 ? (

x0 x 1 1 3 ? ) 2 ? a 2 ? , a ? 0 ? x0 , 2 4 16 8 8
2

1 x0 ? 2 2 ,则 1 x 4 ? 3 x 2 ? 1 ? 1 x 2 , 由 x ? 2 y 可得 y ? ? x , k ? x0 ? 43 0 0 0 8 8 4 2 x0 3 ? x0 8 8
即 x0 ? x0 ? 2 ? 0 ,解得 x0 ? 1 ,点 M 的坐标为 (1, ) .
4 2

1 2

(Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,则点 M ( 2,1) , Q(?

2 1 , )。 8 4

? x2 ? 2y 1 ? 2 由? 1 可得 x ? 2kx ? ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 2 ? y ? kx ? 4 ?

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AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2)
2

k?
圆 Q : (x ?

2 2 1 2 1 3 ) ? ( y ? )2 ? ? ? ,D ? 8 2 64 16 32

? 2 8

1? k 2

?

2k 8 1? k 2

DE ? 4[
2

3 k2 3 ? 2k 2 , ? ]? 32 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 )
2

于是 AB ? DE
2

? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ?

5 3 ? 2k 2 2 ,令 1 ? k ? t ? [ ,5] 2 4 8(1 ? k )

3 ? 2k 2 2t ? 1 1 1 AB ? DE ? (1 ? k )(4k ? 2) ? ? t (4t ? 2) ? ? 4t 2 ? 2t ? ? , 2 8t 8t 4 8(1 ? k )
2 2 2 2

1 1 1 ? , g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 , 8t 4 8t 5 1 当 t ? [ ,5] 时, g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 ? 0 , 4 8t 5 1 25 5 1 1 1 即当 t ? , k ? 时 g (t ) min ? 4 ? ? 2? ? ? ?4 . 5 4 4 2 16 4 10 8? 4 1 1 2 2 故当 k ? 时, ( AB ? DE ) min ? 4 . 2 10
设 g (t ) ? 4t ? 2t ?
2

12. 解: (I)设 M 的坐标为 ( x, y ) ,显然有 x ? 0 ,且 y ? 0 当 ?MBA ? 90 时,点 M 的坐标为 (2, ?3)
?

? 当 ?MBA ? 90 时, x ? 2 ,由 ?MBA ? 2?MAB ,有

| y| 2 tan ?MAB | y| x ?1 tan ?MBA ? ,即 ? ? 2 1 ? tan ?MAB x ? 2 1 ? ( | y | )2 x ?1 2
化简可得, 3x ? y ? 3 ? 0
2 2

而点 (2, ?3) 在曲线 3x ? y ? 3 ? 0 上
2 2

综上可知,轨迹 C 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0( x ? 1) ;
2 2

(II)由 ?

? y ? ?2 x ? m,
2 2 ?3x ? y ? 3 ? 0

消去 y ,可得

x 2 ? 4mx ? m2 ? 3 ? 0

(*)

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稳定持久赢高分 由题意,方程(*)有两根且均在 (1, ??) 内,设 f ( x) ? x2 ? 4mx ? m2 ? 3

? ?4m ?? 2 ? 1 ? ? 所以 ? f (1) ? 12 ? 4m ? m 2 ? 3 ? 0 ?? ? (?4m) 2 ? 4(m2 ? 3) ? 0 ? ? ?
解得, m ? 1 ,且 m ? 2 设 Q、R 的坐标分别为 ( xQ , yQ ),( xR , yR ) ,由 | PQ |?| PR | 有

xR ? 2m ? 3(m2 ? 1), xQ ? 2m ? 3(m2 ? 1)

1 2 ? 3(1 ? 2 ) | PR | xR 2m ? 3(m2 ? 1) 4 m ? ?1 ? ? ? ? 所以 | PQ | xQ 2m ? 3(m2 ? 1) 1 1 2 ? 3(1 ? 2 ) 2 ? 3(1 ? 2 ) m m
由 m ? 1 ,且 m ? 2 ,有

1 ? ?1 ?

4 1 2 ? 3(1 ? 2 ) m

? 7 ? 4 3 且 ?1 ?

4 1 2 ? 3(1 ? 2 ) m

?7

所以

| PR | 的取值范围是 (1,7) ? (7,7 ? 4 3) . | PQ |
c 1 ? ; ① a 2

13. 解:(Ⅰ)由题: e ?

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c)2 ? 12 ? 10 . ② 由①②可解得: a 2 ? 4,b 2 ? 3,c 2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ∴? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . x A ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2

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? x2 y 2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, y A ? yB = ∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?
m2 ? 3 . 3

( xA ? xB )2 ? 4xA xB = 1 ? k AB
?3 ? 1 ? m 1 ? k AB ? m? 2 1 ? k AB

4?

m2 . 3



m2 1 1 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

当|m+2|= 4 ?

1 m2 ,即 m=﹣3(m=0 舍去)时, ( S ?ABP ) max ? . 3 2 3 1 x? . 2 2

此时直线 l 的方程为 y ? ?

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