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2017-2018学年人教版高中数学必修一 第一章 1.3 1.3.1 第一课时 函数的单调性_图文

1.3 1.3.1 函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性 第一课时 [提出问题] 观察下列函数图象: 问题1:从图象上看,自变量x增大时,函数f(x)的值如何变 化? 提示:甲图中,函数f(x)的值随x增大而增大. 乙图中,函数f(x)的值随x增大而减小. 丙图中,在y轴左侧,函数f(x)的值随x的增大而减小; 在y轴右侧,函数f(x)的值随x的增大而增大. 问题2:甲、乙图中,若x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是 什么? 提示:甲图中,若x1<x2,则f(x1)<f(x2); 乙图中,若x1<x2,则f(x1)>f(x2). 问题3:丙图中,若x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量x属于哪个 区间? 提示:(0,+∞). [导入新知] 1.定义域为I的函数f(x)的增减性 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函 数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 ,区间D叫做y=f(x) 的 单调区间 . [化解疑难] 1.x1,x2的三个特征 (1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值,不能以 特殊值代换; (2)有大小,即确定的两个值x1,x2必须区分大小,一般令 x1<x2; (3)同属一个单调区间. 2.理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质,体现在函数的定义域 或其子区间上,所以函数的单调区间是其定义域的子集. (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在 单调性. (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用 1 “∪”连接,而应该用“和”连接.如函数y= x 在(-∞,0)和 1 (0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y= x 在(-∞,0)∪ (0,+∞)上单调递减. (4)并非所有的函数都具有单调性.如函数f(x)= ? ?1,x是有理数, ? ? ?0,x是无理数 就不具有单调性. 由函数图象说明函数的单调性 [ 例 1] (1) 函数 y = f(x) 的图象如图所 ( ) 示,其增区间是 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] (2)画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数的单调区间. [解] (1)选 C 根据函数单调性定义及函数图象知 f(x)在[- 3,1]上单调递增. 2 ? ?-x +2x+1, (2)y=? 2 ? ?-x -2x+1, 2 ? ?-?x-1? +2, y= ? 2 ? ?-?x+1? +2, x≥0, x<0, x≥0, x<0, 即 函数图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调 减区间为[-1,0],[1,+∞). [类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项 (1)图象从左向右上升,则函数递增;图象从左向右下降, 则函数递减. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能 用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接. [活学活用] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|. ? ?3x,x≥0, 解:(1)f(x)=3|x|=? ? ?-3x,x<0. 图象如图所示. f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为[0,+∞). (2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方 的图象翻到x轴上方就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示. 由图象易得函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数的递 减区间是(-∞,-3],[-1,1]. 函数单调性的证明 [例 2] 1 求证:函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞, x 证明:对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2, 0)上是增函数. [解 ] 1 1 有f(x1)-f(x2)= 2- 2 x1 x2 2 x2 ?x2-x1??x2+x1? 2-x1 = 2 2 = . 2 2 x1x2 x1 x2 2 ∵x1<x2<0,∴x2-x1>0,x1+x2<0,x2 x 1 2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 1 ∴函数f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数. x 对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,有 ?x2-x1??x2+x1? f(x1)-f(x2)= . 2 2 x1 x2 2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x2 x 1 2>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 1 ∴函数f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数. x [类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤 [活学活用] 求证:函数f(x)=- x在其定义域上是减函数. 证明:f(x)=- x的定义域为[0,+∞). 设0≤x1<x2,则x1-x2<0, 且f(x2)-f(x1)=(- x2)-(- x1)= x1- x2 ? x1- x2?? x1+ x2? x1-x2 = = . x1+ x2 x1+ x2 ∵x1-x2<0, x1+ x2>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1). ∴f(x)=- x在它的定义域[0,+∞)上是减函数. 由函数的单调性求参数的取值范围 [例3] (1)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1- a)<f(2a-1),则a的取值范围是________. (2)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的 取值范围. ? ?-1<1-a<1, (1)由题意可知? ? ?-1<2a-1<1, [解 ] 解得0<a<1. ① 又∵f(x)在(-1,1)上是减函数

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