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高二数学必修2立体几何单元测试


高二数学必修 2 立体几何单元测试
一、.选择题(10× 5) 1.下列命题中,正确的是 ( ) A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 2. 已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ ABC 的平面直观图 ?A ' B' C' 的面积为( ) A.

3 2 a 4

B.

3 2 a 8

6 2 6 2 a a C. 8 D. 16 3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

(

)

4、若 l 、m、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? ( ) C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m 5.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立 的是 ( ) A.BC∥面 PDF B.DF⊥面 PAE C.面 PDE⊥面 ABC D.面 PAE⊥面 ABC 6.已知两个平面垂直,下列命题 D1 C1 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; A1 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; B1 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; D ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. C A 其中正确的个数是以 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 7、如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小为 ( A.30° B.45° C.60° D.90° ( B.直线 a// ? ,a// ? ) 8、平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是 A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; )

C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行 9、如图,一个封闭的立方体,它的六个表面各标有 A,B,C,D,E,F 这六个字母之一,现放置成 如图的三种不同的位置,则字母 A,B,C 对面的字母分别为 ( )

D C A

B C E

B A C

A.D ,E ,F B.F ,D ,E C.E, F ,D D.E, D,F 10. 如图,棱长为 5 的立方体无论从哪一面看,都有一个直通的边 长为 1 的正方形孔, 则这个有孔立方体表面积 (含孔内各面) 是 ( ) A.204 B.198 C.196 D.192 二.填空题(5× 4=20 分) 11.已知直线 b//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则直线 b 与 ? 的位置关系 为 .

P

12.如图,△ABC 是直角三角形, ? ACB= 90? ,PA ? 平面 ABC,此图 A 形中有 个直角三角形 13.如下图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多 面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

C B

14. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四 个结论: (1)AC⊥BD; (2)△ACD 是等边三角形 (3)AB 与平面 BCD 所成的角为 60° ; (4)AB 与 CD 所成的角为 60° 。则正确结论的序 号为 15.如图, 在正四面体 A-BCD 中, E、 F、 G 分别是三角形 ADC、 ABD、 BCD 的中心, 则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 。

A

B

F?

G?

?

E

C

D









三、解答题 16.(6 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DA ? DC ? 4,

DD1 ? 3 ,求异面直线 A1 B 与

B1C 所成角的余弦值 。.

17.(12 分)如图所示的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它 的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm). (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接 BC′,求证:BC′∥ 面 EFG.

18.(10 分)如图所示,已知在三棱锥 A—BPC 中,PA⊥ PC,AC⊥ BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△ PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥ 平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥ 平面 APC;

19. (10 分)在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥ 底面 ABC。 (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥ CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥ 侧面 BB1C1C;

20.(12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD,

?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ )求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ )证明 AE ? 平面 PCD ; (Ⅲ )求二面角 A ? PD ? C 的正弦值.

P
E A B D

C

试卷答案
CDDCC AADDD 11、平行或在平面内; 12.4 13. 2 3 14、 (1) (2) (4) 15. ③ ④ 16、连接 A1 D , ? A1 D // B1C , ? ?BA1 D 为异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角. 连接 BD ,在△ A1 DB 中, A1 B ? A1 D ? 5, 则 cos ?BA1 D ? 17.解:(1)如图所示.

BD ? 4 2 ,
12 分

A1 B ? A1 D ? BD 2 ? A1 B ? A1 D
2 2

2

?

25 ? 25 ? 32 9 ? 2?5?5 25

4分 1 1 284 (2)所求多面体体积 V=V 长方体-V 正三棱锥=4× 4× 6- × ( × 2× 2)× 2= (cm3). 3 2 3 8分

(3)证明:如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中, 连接 AD′,则 AD′∥ BC′. 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′的中点,所以 AD′∥ EG,从而 EG∥ BC′. 又 BC′?平面 EFG,所以 BC′∥ 面 EFG. 18. [解析] (1)证明:∵ M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,∴ MD∥ AP. 又∵ DM? 平面 APC,AP 平面 APC, ∴ DM∥ 平面 APC. 6分 (2)证明:∵ △ PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, ∴ MD⊥ PB,∵ MD∥ AP,∴ AP⊥ PB. 又∵ AP⊥ PC,PC∩BP=P,∴ AP⊥ 平面 PBC, ∵ BC 平面 PBC,∴ AP⊥ BC, ∵ AC⊥ BC,且 AC∩AP=A, ∴ BC⊥ 平面 APC. 又∵ BC 平面 ABC,∴ 平面 ABC⊥ 平面 APC. 12 分 19.证明: (1)∵ AB=AC,D 是 BC 的中点,∴ AD⊥ BC, ∵ 底面 ABC⊥ 平面 BB1C1C,∴ AD⊥ 侧面 BB1C1C。 ∴ AD⊥ CC1。 (2)延长 B1A1 与 BM 交于 N,连结 C1N, ∵ AM=MA1,∴ NA1=A1B1 ?C1 N ? C1B1 ∵ A1B1=A1C1,? A1C1 ? A1 N ? A1B1, ∵ 底面 NB1C1 ? 侧面 BB1C1C,∴C1 N ? 侧面 BB1C1C,

12 分

6分

∴ 截面 C1 NB ? 侧面 BB1C1C,∴ 截面 MBC1⊥ 侧面 BB1C1C。 13 分 20.(Ⅰ )解:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,故 PA ? AB .又 AB ? AD , PA AD ? A , P 从而 AB ? 平面 PAD . M 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA , E 从而∠ APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中, AB ? PA ,故∠APB ? 45 . 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 . 4分 C (Ⅱ )证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, B 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 CD ? PA . 由条件 CD ? AC , PA AC ? A ,? CD ? 面 PAC .又 AE ? 面 PAC ,? AE ? CD . 由 PA ? AB ? BC ,∠ABC ? 60 ,可得 AC ? PA . E 是 PC 的中点,? AE ? PC , ? PC CD ? C .综上得 AE ? 平面 PCD . 9分 (Ⅲ )解:过点 E 作 EM ? PD ,垂足为 M ,连结 AM .由(Ⅱ )知, AE ? 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 AM ? PD . 因此∠AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角.由已知,得∠CAD ? 30 .设 AC ? a ,得

A

D

21 2 3 2 a , AE ? a , PD ? a. 3 3 2 在 Rt△ ADP 中, AM ? PD ,? AM PD ? PA AD ,则
PA ? a , AD ?

PA AD AM ? ? PD

a

2 3 a 2 7 AE 14 3 a .在 Rt△ AEM 中, sin AME ? ? 7 AM 4 21 a 3

14 分


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