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高中数学选修2-1北师大版 2.1从平面向量到空间向量 课件(27张)_图文

第二章 空间向量与立体几何 §1 从平面向量到空间向量 学 习 目 标 思 维 1.经历 从平面向量到空间向量 的推广过程. 2.了解 空间向量有关概念的含 义. 3.掌握 直线的方向向量和平面 的法向量. 4.掌握 直线的方向向量和直线 上一点确定直线,会 用法向量 和点确定平面. 5.能 对平面向量与空间向量的 有关概念和结论进行类比和 区分. 脉 络 一 二 思考辨析 一、向量概念 一 二 思考辨析 名师点拨1.空间向量是平面向量概念的拓展,只有大小和方向两 个要素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间内的任意一 点,只要保证它的大小和方向不变,它是可以自由平移的,与起点无 关. 2.数量可以比较大小,但向量不可以比较大小,向量的模是个非负 实数,可以比较大小. 3.平行向量方向不一定相同,共线向量也不是向量必须在同一条 直线上. 4.两个非零向量的夹角是唯一确定的,因此有<a,b>=<b,a>,并且 <a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>. 一 二 思考辨析 【做一做1】 “两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模 一定相等. 答案:B 一 二 思考辨析 【做一做2】 给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的 起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正 方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 = 1 1 ;④若空间向量m,n,p满足 m=n,n=p,则m=p.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相 等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错.根据向 量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要 相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错.根据正方体的性 质,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 与1 1 的方向相同,模也相 等,所以 = 1 1 ,故③正确.命题④显然正确. 答案:C 一 二 思考辨析 【做一做3】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求下列各对向量的 夹角: (1)<, ''>= (2)<, '' >= (3)<, ''>= ; ; . 解析:(1)∵'' = , ∴< , ''>=<, >. 又∵∠CAB=45°,∴<, '' >=45°. (2)<, '' >=180°-<, '' >=180°-45°=135°. (3)<, ''>=< , >=90°. 答案:(1)45° (2)135° (3)90° 一 二 思考辨析 二、向量、直线、平面 一 二 思考辨析 特别提醒1.在空间中,一个向量成为直线的方向向量的条件包含 两个方面:一是该向量为非零向量;二是该向量与直线平行或重合, 二者缺一不可. 2.表示平面的法向量的有向线段所在的直线与该平面垂直,这是 寻找已知平面的法向量的依据. 一 二 思考辨析 【做一做4】 一条直线的方向向量是( ) A.唯一的 B.相等的 C.平行的 D.相反的 解析:与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量. 答案:C 【做一做5】 下列说法不正确的是( ) A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量互相垂直,那么这两个平面也互相垂直 D.如果a,b与平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法 向量 解析:A,B,C正确,而D中,若a∥b,虽然n⊥a,n⊥b,但n不一定是平 面的法向量. 答案:D 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示 的向量的模就越大. ( √ ) (2)零向量是长度为0,没有方向的向量. ( × ) (3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b. ( × ) (4)向量的长度与向量的长度相等. ( √ ) (5)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反. ( × ) 探究一 探究二 探究三 思维辨析 空间向量的有关概念 【例1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)试写出与相等的向量; (2)试写出与1 相反的向量; (3)试写出与平行的向量. 思维点拨:根据长方体的性质及空间向量的有关概念写出即可. 解 :(1)与 相等的向量有:1 1 , 1 1 , . (2)与1 相反的向量有:1 , 1 , 1 , 1 . (3)与 平行的向量有:, 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , , . 反思感悟1.只要两个向量的方向相同,模相等,这两个向量就相等, 与起点和终点位置无关. 2.熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AC,A1C1的中 点. (1)图中向量 的相反向量有 个; (2)图中与向量 平行的向量有 解析:(1)由题意得AE=CE=A1F=C1F, 个. 且向量 与向量, , 1 , 1 的方向相反, 故向量 的相反向量有:, , 1 , 1 ,共 4 个. (2)由题意得 AA1∥BB1∥CC1∥EF, 故与向量 平行的向量有:1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , , 共 7 个. 答案:(1)4 (2)7 探究一 探究二 探究三 思维辨析 直线的方向向量与直线 【例2】 如图,若直线l平行于正方体的棱AA1,则在正方体中可以 作为直线l的方向向量的有 . 解析:平行于1 (包括1 )的

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