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湖南省岳阳县第一中学2014-2015学年高一数学期中测试


高一数学期中测试
时 量: 120 分钟 分 值: 100 分 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 A ? ?0, 1, 2, 3? ,集合 B ? ?2, 3, 4? ,则 A B ? ( A. ) D.

?2, 3?

B.

?0, 1?

C. )

?0, 1, 4?

?0, 1, 2, 3, 4?

2.下列函数与函数 y ? x 相等的是( A. y ? loga a x (a ? 0, a ? 1)

B. y ? x2

C. y ?

x2 x


D. y ? ( x )2

? x ? 1, x ? 0 3.已知函数 f ( x ) ? ? 2 , 则 f [ f ( ?2)] 的值为( ?x , x ? 0
A.1 B.2 C.4

D.5 ) D.

4. 如果幂函数 f ( x) 的图象经过点 (2, 2) ,则 f (4) 的值等于 ( A. 16 B. 2 ) C. C.

1 16

1 2

5. 若 log2 4x ? 1 ,则 x 的值为( A. 2 B. ?2

1 2
)
y x

D ?

1 2
x y

6. 若 0 ? x ? y ? 1, 则下列不等关系正确的是 ( A. log 4 x ? log 4 y B. log x 3 ? log y 3

C. 3 ? 3

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 4? ? 4?

7. 已知定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) , 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 2x , 则 f (log2 ) 的 值为( A. 5 ) B. ?5 C. ?

1 4

1 5

D.

1 5

8. 已知某一种物质每 100 年其质量就减少 10% .设其物质质量为 m ,则过 x 年后,其物 质的质量 y 与 x 的函数关系式为( A. y ? 0.9
100 x

) C. (1 ? 0.1100 )m ,
x

m
x

B. y ? 0.9100 m

x

D. y ? (1 ? 0.1

100 x

)m

9.已知 f ( x ) ? ?

?(3 ? a ) x ? 1

x ?1

? a ( a ? 0且a ? 1) x ? 1
) B. ?1, 2?

满足对任意 x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

成立,那么 a 的取值范围是( A. (1,3)

C. ? 2, 3?

D. (1, ??)

10. 设函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) , h( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) ,则对在其定义域内的 任意实数 x1 , x2 , ① f( 下列不等式总成立的是( ② f( )

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) )? ③ g( 1 2 2
A. ② ④ B. ② ③

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x ? x2 h( x1 ) ? h( x2 ) )? ④ h( 1 2 2
C. ① ④ D. ① ③

二、填空题: 本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.
2 11.已知集合 A ? x x ? 1 , B ? x ax ? 1 . 若 B ? A ,则实数 a ?

?

?

?

?



12.已知集合 A ? [0, ? ?), B ? R ,且 f : x ? 2 x ? 1 是从集合 A 到 B 的一个映射,若集 合 A 中的元素 a 与集合 B 中的元素 3 对应,则 a ? 13.计算 0.25?2 ? lg16 ? 2lg5 ? log2 3 ? log3 4 = . .

1 2

14 . 若 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f ( x ) 在 [ 0, + ∞) 上 是 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式 f ? x ? ? 0 的 解 是 . . ② 方程 f ( x ) = 15.符号 [ x ] 表示不超过 ...x 的最大整数,如[ ? ]=3,[-1.8]=-2,定义函数: f ( x ) ? x ? [ x ] ,则 下列命题正确的序号是 ① f ( ?0.2) ? 0.8 ; ③ 函数 f ( x ) 是增函数;

1 有无数个解; 2

④ 函数 f ( x ) 是奇函数.

⑤ 函数 f ( x ) 的定义域为R,值域为[0,1].

三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 8 分) 已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,集合 B ? ?x m ? x ? m ? 8? . (1)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围; (2)若 A

B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 8 分)

1 ? ( ) 2?3 x ; 4 2 (2) 求函数 y ? log2 ( x ? 2 x ? 3) 的值域, 并写出其单调区间.
(1) 解含 x 的不等式: 2
2 x ?1

18. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2,
2

(1)求实数 a 的取值范围,使函数 y ? f ( x) 在区间 [?5, 5] 上是单调函数; (2)若 x ? [?5, 5] , 记 y ? f ( x) 的最大值为 g ( a ) , 求 g ( a ) 的表达式并判断其奇偶性.

19.(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x ) 在其定义域 x ? ?0, ? ?) 时单调递增, 且对任意的 x , y ? ?0, ? ?) 都有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 1 成立,且 f (1) ? 2 ,
(1)求 f (0), f (3) 的值; (2)解不等式: f (2 x) ? f ( x ? 1) ? 7 .

20.(本小题满分 8 分) 如图, 已知底角为 45 的等腰梯形 ABCD , 底边 BC 长为 5cm , 腰长为 2 2cm , 当一条垂直于底边 BC 的直线 l 从左至右移动 (与梯形 ABCD 有公共点)时, 直线 l 把梯形分成两部分 , 令 BF ? x , 试写出左边 部分的面积 y 与 x 的函数解析式, 并画出大致图象.

21.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx (k ? R) 是偶函数. (1)求实数 k 的值; (2)设 g ( x) ? log4 (a 2 x ? a) ,若 f ( x ) ? g ( x) 有且只有一个实数解,求实数 a 的取值范围.

答题卡模板 一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分)

题 答

号 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分)

11.

12.

13.

14.

15.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 50 分)

16. (8 分) 17. (8 分) 18. (8 分) 19. (8 分)

20. (8 分)

A E B F G

D

H

C

21. (10 分)

参考答案
一、选择题

二、填空题

三、解答题

?m ? ?1 16. 【解】 (1) ? ?m ? 8 ? 2 ∴ m ?? ?6, ?1?
(2)若 A 即 m ? ? ??, ?9? ? ? 2, ?? ?

…………………………………2 分 …………………………………4 分
m ? 2 …………………………………6 分

B??

则 m ? 8 ? ?1 或

………………………………8 分

18. 【解】教材 P 44 A组T9改编 设计

对称轴x=-a,当-a ? ?5或-a ? 5时,f(x)在[-5,5]上单调
∴ a ? 5或a ? ?5 …………………………………4 分

?27 ? 10a a ? 0 g (a ) ? ? ?27 ? 10a a ? 0
偶函数

…………………………………7 分 …………………………………8 分

19. 【解】教材 P 75B组T5改编设计 (1)

f (0) ? ?1; f (3) ? 8

…………………………………4 分

(2) f (2 x) ? f ( x ? 1) ? 7 得: f (2 x) ? f ( x ? 1) ? 1 ? 7 ? 1 ? f (3)

f (3x ? 1) ? f (3)

?3x ? 1? 3 4 ? ?2 x ? 0 ? x ? 3 ?x ?1 ? 0 ?

………………8 分

21.【解】(1)由函数 f ( x) 是偶函数可知: f ( x) ? f (? x) , ∴ log4 (4x ? 1) ? kx ? log4 (4? x ? 1) ? kx 化简得 log 4

………1 分

4x ? 1 ? ?2kx , 4? x ? 1

即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立,∴ k ? ? . (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 即方程 log4 (4 x ? 1) ? 化简得:方程 2 x ?

1 2

………………………3 分

1 x ? log4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实根…………4 分 2

1 ? a ? 2 x ? a 有且只有一个实根, x 2

且 a ? 2 x ? a ? 0 成立, 则 a ? 0 令 t ? 2 x ? 0 ,则 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根…………………6 分 设 g (t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ,注意到 g (0) ? ?1 ? 0 ,所以 ①当 a ? 1 时, 有 t ? 1 , 合题意; ②当 0 ? a ? 1 时, g (t ) 图象开口向下,且 g (0) ? ?1 ? 0 ,则需满足

a ? ?0 ?t对称轴 ? ? 2( a ? 1) ,此时有 a ? ?2+2 2 ; a ? ?2 ? 2 2 (舍去) ? ?? ? 0 ?
③当 a ? 1 时,又 g (0) ? ?1 ,方程恒有一个正根与一个负根. 综上可知, a 的取值范围是{ ?2+2 2 }∪[1,+∞).………………………10 分


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