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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第2课时 命题及其关系、充要条件


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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第一章 集合与简易逻辑

第一章

集合与简易逻辑

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第2课时 命题及其关系、充要条件

第一章

第2课时

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1.理解命题的概念.

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2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命 题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

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请注意!
以选择题或填空题为主要题型,一般为容易题或中等 题,近两年的新课标高考题多为对充要条件的考察,少数 涉及到四种命题及其真假的判断.

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1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述 句叫做命题.

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2.四种命题及其关系
p (1)原命题为“若 p 则 q”, 则它的逆命题为 若 q 则 ;

否命题为若┐p 则┐q ;逆否命题为 若┐q 则┐p . (2)原命题与它的 逆否命题 等价; 逆命题与它的 否命题 等价.

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3.充分条件与必要条件

/ (1)若 p?q 且 q? p,则 p 是 q 的充分非必要条件;

/ (2)若 q?p 且 p? q ,则 p 是 q 的必要非充分条件;
(3)若 p?q 且 q?p ,则 p 是 q 的充要条件;

/ / (4)若 p? q 且 q? p ,则 p 是 q 的非充分非必要条
件.

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1.下列语句是命题的________. ①y=lgx 是指数函数 ②x2+4x+4≤0(x∈R) ③在新课标教材中“简易逻辑”是选修内容 ④2012 年 7 月 1 日是中国共产党 90 岁生日吗? ⑤请给我一本衡水重点中学内部学案《高考调研》 !

答案 ①②③

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解析 ①②都是假命题,③为真命题.

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2.(2011· 山东)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c =3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 )

答案 A

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解析 a+b+c=3 的否定是 a+b+c≠3,a2+b2+ c2≥3 的否定是 a2+b2+c2<3.

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3.(2011· 福建)若 a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a- 2)=0”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

答案 A

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解析

若“a=2”则“(a-1)(a-2)=0”,即 a=2

?(a-1)(a-2)=0.若“(a-1)(a-2)=0”, 则“a=2 或 a =1”;故(a-1)(a-2)=0 不一定能推出 a=2,故选 A.

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4.(2011· 天津)设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈ R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈ C”的( )

A.充分而不必要条件 B.充分必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案 C

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解析 A∪B={x∈R|x<0 或 x>2},C={x∈R|x<0 或 x>2}, ∵A∪B=C, ∴x∈A∪B 是 x∈C 的充分必要条件. 故 选 C.

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题型一

四种命题及其真假的判定

例 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假. (1)面积相等的两个三角形是全等三角形. (2)若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实根. (3)若 x2+y2=0,则实数 x,y 全为零.

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【解析】 命题.

(1)逆命题:全等三角形的面积相等.真

否命题:面积不相等的两个三角形不是全等三角 形.真命题. 逆否命题: 两个不全等的三角形的面积不相等. 假命 题.

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(2)逆命题:若方程 x2+2x+q=0 有实根,则 q<1.假 命题. 否命题:若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 无实根.假 命题. 逆否命题:若方程 x2+2x+q=0 无实根,则有 q≥1. 真命题.

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(3)逆命题:若实数 x,y 全为零,则 x2+y2=0.真命 题. 否命题:若 x2+y2≠0,则实数 x,y 不全为零.真命 题. 逆否命题:若实数 x,y 不全为零,则 x2+y2≠0.真命 题.

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探究 1 ①此类题应先把原命题改写成“若 p, q” 则 的形式,然后再写出其他命题. 对于含有大前提的命题, 在改写命题形式时, 大前提 不要动. ②若说明命题为真,必须证明.若说明为假,只需举 出一个反例即可. ③否命题是难点,注意量词和逻辑联结词.

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思考题 1 若 a、b、c∈R,写出命题“若 ac<0,则 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根”的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断这三个命题的真假.

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【解析】 逆命题“若 ax2+bx+c=0(a、b、c∈R) 有两个不相等的实数根, ac<0”是假命题, 则 如当 a=1, b=-3,c=2 时,方程 x2-3x+2=0 有两个不等实根 x1 =1,x2=2,但 ac=2>0.否命题“若 ac≥0,则方程 ax2 +bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根”是假 命题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题, 而逆命题是假 命题.

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逆否命题“若 ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个 不相等的实数根,则 ac≥0”是真命题.因为原命题是真 命题,它与原命题等价.

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题型二

充要条件的判定

例 2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必 要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分 也不必要条件”中选出一种作答).

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(1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB; (2)已知 x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x- 1)(y-2)=0; (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6.

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【解析】 (1)在△ABC 中,∠A=∠B?sinA=sinB, 反之,若 sinA=sinB,因为 A 与 B 不可能互补(因为三角 形三个内角和为 180° ),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要 条件. (2)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,所 以 p?q 但 q? p,故 p 是 q 的充分不必要条件. /

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(3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x ∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件. (4)易知,綈 p:x+y=8,綈 q:x=2 且 y=6,显然

綈 q?綈 p,但綈 p? 綈 q,即綈 q 是綈 p 的充分不必要 /

条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分 不必要条件.
第一章 第2课时

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【答案】 (1)充要条件

(2)充分不必要条件

(3)必

要不充分条件 (4)充分不必要条件

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探究 2 判定充要条件应注意: ①弄清条件 p 和结论 q 分别是什么? ②尝试 p?q,q?p. ③一定要熟悉命题内容涉及到的知识.

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思考题 2

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判断下列各题中 p 是 q 的什么条件?

(1)p:a>b,q: a> b. (2)p:a>b,q:2a>2b-1. (3)p:x2-2x-3≥0,q:x≤1 或 x≥2. 3 (4)p:△ABC 中,∠A≠60° ,q:sinA≠ . 2 → → → (5)设向量AB=a,BC=b,CA=c,p:A、B、C 三点 构成三角形;q:a+b+c=0

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【解析】 (1)必要不充分条件.(2)充分不必要条件. (3)p:x≤-1 或 x≥3,∴p?q,但 q? p,故 p 是 q / 的充分不必要条件. (4)p? q,q?p,∴p 是 q 的必要不充分条件. / (5)p?q,但 q? p,∴p 是 q 的充分不必要条件. /

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题型三

充要条件的应用

x-1 例 3 已知 p:|1- 3 |≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0), 且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

【思路】 先求出两命题的解集,再利用其关系列出关于 m 的不等式或不等式组,得出结论.

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【解析】 解法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0, 得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0},

x-1 由|1- |≤2,解得-2≤x≤10, 3 ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}.

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∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件.

?m>0, ? ∴A? B,即?1-m≤-2, ?1+m≥10, ?

解得 m≥9.

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解法二

∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,

∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m}, x-1 由|1- 3 |≤2,解得-2≤x≤10, ∴p:P={x|-2≤x≤10}.

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∵p 是 q 的充分而不必要条件, ?m>0, ? ∴P? Q,即?1-m≤-2, ?1+m≥10, ?

解得 m≥9.

【答案】

m≥9

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探究 3

①充要条件可以渗入到数学各个分支题型

灵活多变,但万变不离其宗,只要紧扣定义,结合其他知 识,便可迎刃而解. ②本例涉及参数问题, 直接解决较为困难, 先用等价 转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题 来解决. 一般地, 在涉及字母参数的取值范围的充要关系 问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是 破解此类问题的关键.

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思考题 3 (1)已知 p:4x+m<0,q:x2-x-2>0,若 p 是 q 的一个充分不必要条件,求 m 的取值范围.

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m m 【解析】 ∵4x+m<0,∴x<- ,∴p:x<- 4 4 ∵x2-x-2>0,∴x<-1 或 x>2.∴q:x<-1 或 x>2. m ∵p?q,∴- ≤-1,∴m≥4. 4 即 m 的取值范围是[4,+∞).

【答案】 [4,+∞)

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(2)(2011· 陕西理)设 n∈N*,一元二次方程 x2-4x+n =0 有整数根的充要条件是 n=________.

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【解析】 由于方程都是正整数解,由判别式 Δ=16 -4n≥0 得“1≤n≤4”,逐个分析,当 n=1、2 时,方 程没有整数解;而当 n=3 时,方程有正整数解 1、3;当 n=4 时,方程有正整数解 2.

【答案】

3或4

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1.命题真假的判断: (1)对于一些简单命题,若判断其为真命题需推理证 明.若判断其为假命题只需举出一个反例. (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表. (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性, 判断其逆 否命题的真假.

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2.充分、必要条件的判定方法: (1)定义法; (2)传递法; (3)集合法:若 p 以集合 A 的形式出现,q 以集合 B 的形式出现,即 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则

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①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件; ②若 B?A,则 p 是 q 的必要条件; ③若 A=B,则 p 是 q 的充要条件. (4)等价命题法:利用原命题和逆否命题是等价的这 个结论, 有时可以准确快捷地得出结果, 是反证法的理论 基础.

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