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2018年全国高考文科数学二轮专题-复习平面向量

2018 年高中数学高考二轮复习 2018 年高考文科数学二轮专题-复习平面向量 一、考纲指导 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算,多以熟知的 平面图形为背景,难度中低档; 2.以选择题、 填空题的形式考查平面向量的数量积, 多考查角、 模等问题,难度中低档; 3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何 等结合,以解答题形式出现. 二、考点归纳 1.平面向量的两个重要定理 [来源:学科网] (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 λ1, λ2, 使 a=λ1e1 +λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. 2018 年高中数学高考二轮复习 → (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|A B |= (x2-x1)2+(y2-y1)2. (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角, 则 cos θ= x1x2+y1y2 a· b = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 4.平面向量的三个重要结论 (1)向量共线的充要条件:O 为平面上一点,则 A,B,P 三点共线 的 → → → 充要条件是OP=λ1OA+λ2OB (其中 λ1+λ2=1). → (2)三角形中线向量公式: 若 P 为△OAB 的边 AB 的中点, 则向量OP与 → → → 1 → → 向量OA,OB的关系是OP=2(OA+OB). → → → (3)三角形重心坐标的求法: G 为△ABC 的重心?GA + GB +GC = 0?G? ? ?xA+xB+xC 3 , yA+yB+yC? ?. 3 ? 三、典型题例析 典型题一:平面向量的有关运算 【例 1】(2016· 全国Ⅰ卷)设向量 a=(m,1),b=(1 ,2),且|a+b|2= |a|2+|b|2,则 m=________. 解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,得 a⊥b, 所以 a· b=m×1+1×2=0,得 m=-2. 1 【例 2】设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB, BE → → → 2 =3BC.若DE=λ1AB+λ2AC (λ1, λ2 为实数), 则 λ1+λ2 的值为________. 2018 年高中数学高考二轮复习 → → → 1→ 2→ 解析:DE=DB+BE= 2AB+3BC 1→ 2 → → 1→ 2→ =2AB+3(AC-AB)=-6AB+3AC, → → → ∵DE=λ 1AB+λ2AC, 1 2 ∴λ1=-6,λ2=3, 1 因此 λ1+λ2=2. 答案 (1)-2 探究提高: 对于平面向量的线性运算,首先要选择一组基底,同时注意共线向量 定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量 间的关系. 【练习 1】 (2017· 衡阳二模)如图,正方形 ABCD 中,M,N 分别是 → → → BC,CD 的中点,若AC=λAM+μBN,则 λ+μ=( ) 1 (2)2 A.2 6 C.5 解析 法一 8 B.3 8 D.5 如图以 AB,AD 为坐标轴建立平面直角坐标系,设正方 2018 年高中数学高考二轮复习 → ? 1? → ? 1 ? → 形边长为 1,AM=?1,2?,BN=?-2,1?,AC=(1,1). ? ? ? ? → → → 1? μ λ ? ? 1 ? ? ? ∵AC=λAM+μBN=λ?1,2?+μ?-2,1?=?λ-2,2+μ?, ? ? ? ? ? ? 1 6 ? ? λ - μ = 1 , λ = ? 2 ? 5, 8 ∴? 解之得? 故 λ+μ=5. λ 2 ? ? + μ = 1 , μ = ?2 ? 5, → → 法二 以AB,AD作为基底, ∵M,N 分别为 BC,CD 的中点, → → → → 1→ ∴AM=AB+BM=AB+2AD, → → → → 1→ BN=BC+CN=AD-2AB, → → → ? μ? → ? λ ?→ 因此AC=λAM+μBN=?λ-2?AB+?2+μ?AD, ? ? ? ? → → → 又AC=AB+AD, μ ? λ - ? 2=1, 6 2 因此? 解得 λ=5且 μ=5. λ ? ?2+μ=1, 8 所以 λ+μ=5. 答案 D 典型题二:平面向量的数量积 2018 年高中数学高考二轮复习 【例 2】(2017· 浙江卷)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB → → → → =BC=AD=2, CD=3, AC 与 BD 交于点 O, 记 I1=OA· OB, I2=OB· OC, → → I3=OC· OD,则( ) A.I1<I2<I3 C.I3<I1<I2 答案:C B.I1<I3<I2 D.I2<I1<I3 解析:(1)如图所示,四边形 ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的 交点,易得 AO<AF,而∠AFB=90° ,∴∠AOB 与∠COD 为钝角, → → → → ∠AOD 与 ∠BOC 为锐角,根据题意, I1 - I2 = OA · OB - OB · OC = → → → → → OB· (OA-OC)=OB· CA= → → |OB||CA|· cos∠AOB<0, ∴I1<I2,同理 I2>I3,作 AG⊥BD 于 G, 又 AB=AD, ∴OB<BG=GD<OD,而 OA<AF=FC<OC,

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