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2013年安徽省江南十校高三联考 文科数学WORD 扫描版 答案


2013 年安徽省“江南十校”高三联考

数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D 9.D 10.A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 1 11 11. ?? ?,?1? ? ?? 1,0? 12. 13. 2 14. 15.①②④ 3 15 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解析: (Ⅰ)∵ g ( x) ? 2 sin?( x ? ∴ f?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ……………………5 分 ? ? g ? ? ? 2 sin? ? ? ? 3 ? 2 sin ? 1 3 ?4? ?6? ? 4 12 ? ? (Ⅱ)∵ g ( x ) ? 2 sin( x ? ) 6 ? ? ? ∴当 x ? ? ? 2k? , (k ? z ) 即 x ? ? 2k? , (k ? z ) 时, g ( x) 取得最大值. 6 2 3 ? ? x ? B 时 g ( x) 取得最大值,又 B ? (0, ? ) , ∴B ? ………………7 分 3 ? 2 2 2 2 2 而 b ? a ? c ? 2ac cos ? a ? c ? ac ? (a ? c) 2 ? 3ac ? 16 ? 3ac 3 a?c 2 ? 16 ? 3 ? ( ) ? 16 ? 12 ? 4 ……………………………………………10 分 2 ∴b ? 2, 又b ? a ? c ? 4
∴ b 的取值范围是 ?2,4? …………………………………………………………12 分 17.解析: (Ⅰ)由题意,被调查的男性人数为 查的女性人数应为

? ?

?
4

)?

? 3 ? 3 ? 2 sin(x ? ) 12? 6 ?

??

?

………2 分

2n n ,其中有 人的休闲方式是运动;被调 5 5

3n n ,其中有 人的休闲方式是运动,则 2 ? 2 列联表如下: 5 5
运动 非运动 总计

男性 女性 总计

n 5 n 5 2n 5

n 5 2n 5 3n 5
2

2n 5 3n 5

n
…………………4 分

? n 2n n n ? n? ? ? ? ? ?5 5 5 5? ? n , 2 (Ⅱ) 由表中数据, k ? 得 要使在犯错误的概率不超过 0.05 的 2n 3n 2n 3n 36 ? ? ? 5 5 5 5 n 2 ? 3.841 前提下,认为“性别与休闲方式有关”,则 k ? 3.841.所以 36

解得 n ? 138 .276 . 又 n ? N * 且

n ? N * ,所以 n ? 140 5
…………………………………………9 分

即本次被调查的人数至少有 140 人. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知: 140 ? 动.

2 ? 56 ,即本次被调查的人中,至少有 56 人的休闲方式是运 5

………………………………………………………………………12 分 18.解析: (Ⅰ)证明:取 EF 中点 M ,连 GM 、 MC ,则 GM // 又等腰梯形 ABCD 中, BC ? 1, AD ? 3 ,∴ BC // ∴ GM // BC ,∴四边形 BCMG 是平行四边形, ∴ BG // CM . 又 CM ? 平面FCE ∴ BG / / 平面FCE

1 AE , 2

F M E

1 AE. 2

G

A

B C …………………6 分

(Ⅱ)∵平面 FCE ? 平面 ABCE ,平面 FCE ? 平面 ABCE ? CE 又 EF ? 平面 FCE , FE ? CE ,? FE ? 平面ABCE …………………8 分 又∵ VF ? BEG ? VB ?GEF ? ∵ S ?ABC ? 分 19.解析: (Ⅰ)设 M ( x, y )

1 1 VB ? AEF ? VF ? ABE 2 2
∴ VF ?BEG ?

…………………………………10 分 ………………………12

1 ? 2 ?1 ? 1 , 2

1 1 1 ? ? 1? 1 ? 2 3 6

x ? P( , y) 2 2 x 2 x 2 ? y2 ? 1 又? P 在圆 C1 上,? ( ) ? y ? 1 ,即 C2 的方程是 2 4

? MD ? 2MP ,

…………5 分

(Ⅱ)解法一:当直线 l 的斜率不存在时,点 B 与 A 重合,此时点 T 坐标为 ? 显然不在圆 C1 上,故不合题意;

?4 5 ? ? ? 5 ,0 ? , ? ?

……………………………………………6 分

所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 ? y2 ? 1 ? 4 ?
解得 x B ?

8k 2 ? 2 4k 2 ,∴ y B ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2

? 8k 2 ? 2 ? 4k ? 即 B? ? 1 ? 4k 2 , 1 ? 4k 2 ? ? ? ? 5 ? 16k 2 ? 4k ? ? ? , 2 5 ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? ?
2

………………8 分

? 16k 2 ? 4k ? ? OA ? OB ? ? , 2 ? 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 ? ? ? ?

? OT ?
2

…………10 分

1 ?? 16k 2 ? ? ? 4k ? ? ?? 因为 T 在圆 C1 上,所以 ?? ? 5 ?? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4k 2 ? ? ? ?

? ? ?1 ? ?

化简得, 176k ? 24k ? 5 ? 0
4 2

?k ? ?

1 2

1 5 2 或k ? ? (舍去) 4 44 1 故存在满足题意的直线 l ,其方程为 y ? ? ( x ? 2) 2
解得 k ?
2

…………12 分 ………13 分

解法二: 当直线 l 的斜率为 0 时, B 坐标为 ?? 2,0? , 点 此时 OA ? OB ? 0 , T 坐标为 ?0,0? , 点 显然不在圆 C1 上,故不合题意; ………………………………………6 分 设直线 l 的方程为 x ? ty ? 2, t ? R .

? x ? ty ? 2 ? 由 ? x2 得 t 2 ? 4 y 2 ? 4ty ? 0 . 2 ? 4 ? y ?1 ?

?

?

解得 y B ? 由 OT ?

? 4t , t2 ? 4

∴ xB ?

? 8 ? 2t 2 ? 4t ? 8 ? 2t 2 ,即 B? 2 ? t ? 4 , t2 ? 4? ? t2 ? 4 ? ?

…………………8 分

5 5 ? 16 ? 4t ? …………………10 分 (OA ? OB) 得 OT ? , 2 ? 2 ? 5 5 ?t ? 4 t ? 4? 2 2 1 ?? 16 ? ? ? 4t ? ? 因为 T 在圆 C1 上,所以 ?? 2 ?? 2 ? ? ? ? 1, 5 ?? t ? 4 ? ? t ? 4 ? ? ? ? 44 2 4 2 2 化简得, 5t ? 24t ? 176 ? 0 ,解得 t ? 4 或 t ? ? (舍去) ………………12 分 5
?t ? ?2 . 故存在满足题意的直线 l ,其方程为 x ? ?2 y ? 2
20.解析: (Ⅰ)由已知得 f ?? x ? ? ……………………13 分

即 f ?0? ? 1 . …………………………………………………………………………2 分 f ??1? 又 f ?0? ? ,所以 f ??1? ? e . e

f ??1? x e ? f ?0 ? ? x ,所以 f ??1? ? f ??1? ? f ?0? ? 1 , e

1 2 x . ………………………………………………………4 分 2 x 显然 f ??x? ? e ? 1 ? x 在 R 上单调递增且 f ?(0) ? 0 ,故当 x ? ?? ?,0? 时, f ??x ? ? 0 ; 当 x ? ?0,??? 时, f ??x ? ? 0 . ………………7 分 ? f ?x ? 的单调递减区间是 ?? ?,0? ,单调递增区间是 ?0,??? .
x

从而 f ? x ? ? e ? x ?

x x (Ⅱ)由 f ?x ? ? g ?x ? 得 a ? e ? x .令 h?x? ? e ? x ,则 h??x? ? e ? 1 .
x

由 h??x ? ? 0 得 x ? 0 .

? h?x ? 在 ?? 1,0? 上单调递减,在 ?0,2? 上单调递增. 1 2 又 h?0 ? ? 1, h?? 1? ? 1 ? , h?2 ? ? e ? 2 且 h?? 1? ? h?2? e


当 x ? ?? 1,0? 时, h??x ? ? 0 ;当 x ? ?0,2? 时, h??x ? ? 0 .

…………………………………………………………9 分

…………11

1? ? ? 两个图像恰有两个不同的交点时,实数 a 的取值范围是 ?1,1 ? ? . …………13 e? ?
分 21.解析: (Ⅰ)圆 C n 的圆心到直线 l n 的距离 d n ?

n ,半径 rn ? 2a n ? n

?1 ? 2 2 ………………4 分 ? an?1 ? ? An Bn ? ? rn ? d n ? (2an ? n) ? n ? 2an ?2 ? 又 a1 ? 1 ……………………………………………6 分 ? an ? 2n?1
(Ⅱ)当 n 为偶数时, Tn ? (b1 ? b3 ? ? ? bn?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn )

2

? [1 ? 5 ? ? ? (2n ? 3)] ? (2 ? 23 ? ? ? 2 n?1 )
n(n ? 1) 2(1 ? 2 n ) ? 2 1? 4 2 n ?n 2 n ? ? (2 ? 1) . ………………………………9 分 2 3 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 n?1 ? (2 ? 1) 当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, Tn ?1 ? 2 3 2 n ? n 2 n ?1 ? ? (2 ? 1) 2 3 2 n ?n 1 n ? (2 ? 2) . 而 Tn?1 ? Tn ? bn?1 ? Tn ? 2 n ,∴ Tn ? ………………12 分 2 3 ?n2 ? n 2 n ? (2 ? 1) (n为偶数) ? ? 2 3 ………………………………………13 分 ? Tn ? ? 2 ? n ? n ? 1 (2 n ? 2) (n为奇数) ? 2 3 ? ?


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