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100测评网北京市西城区2009年高三抽样测试数学试题(文科)2009.01

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北京市西城区 2009 年高三抽样测试 高三数学试卷(文科)
2009.1

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

题号




15 16 17


18 19 20

总分

分数

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项.

, 2, 3, 4}, B ? {2, 1.若集合 A ? {1 4, 7,, 8} C ? {1,3, 4,5,9},则集合 ( A
A. {2, 4} B. {1, 2,3, 4} C. {2, 4,7,8} )

B) C 等于( )

D. {1,3, 4}

, 2) , b = (?3, 4) ,则 (a ? b)(a + b) 等于( 2.若向量 a ? (1
A. 20 C. 54 3. 若 tan ? ? B. (?10,30) D. ( ?8, 24)

3 5 4 C. ? 5
A. ?

3 ,且 sin ? ? cot ? ? 0 ,则 sin ? 等于( ) 4 3 B. 5 4 D. 5

4.已知函数 f ( x) ? 3x ,那么函数 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) 的定义域为( ) A. {x | x ? 1} C. {x | x ? 0且x ? 1} B. {x | x ? 0} D. R

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5.已知 m 是平面 ? 的一条斜线,点 A ? ? ,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出 现的是( ) A. l / / m, l ? ? C. l ? m, l / /? B. l ? m, l ? ? D. l / / m,l / /?

6. 分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里检查暖气管道. 要求 4 名水暖工都分配出去,且每 个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有(
3 A. A4 种 2 3 C. C4 A3 种



3 1 B. A3 A3 种 1 1 3 D. C4 C3 A3 种

7.已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N (2,0) ,线段 AN 的垂直 平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A. 圆 C. 双曲线 ) B. 椭圆 D. 抛物线 A am B P 4m D

8.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙 的距离分别是 a m(0<a<12)、4m,不考虑树的粗细. 现在想用 16m 长的 篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD. 设此矩形花圃的最大面积 为 S,若将这棵树围在花圃内,则函数 S ? f (a ) (单位 m2)的图象大 致是( A S ) B. C. S S

C

D.








S


。 O a O a O


a O

。 a

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第Ⅱ卷(

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9.若双曲线的离心率为 2,两焦点分别为 (?2, 0), (2, 0) ,则此双曲线的方程为___________.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为___________. ? x ? 1. ?
11. 在 (2 x ?

1 6 ) 展开式中,常数项为___________ . x

12. 若 A,B 两点在半径为 2 的球面上,且以线段 AB 为直径的小圆周长为 2 ? ,则此球的表 面积为___________, A,B 两点间的球面距离为__________. 13. 对于函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? cos x, h( x) ? x ? 1 f ( x) ? g ( x) 的最大值为 ○

?
3

,有如下三个命题:

2;

2 f [h( x)] 在区间 [? , 0] 上是增函数; ○ 2 3 将 f ( x ) 的图象向右平移 个单位可得 g ( x) 的图象. ○ 2 其中真命题的序号是___________. 14. 已知 f (x)、g(x)都是定义在 R 上的函数,如果存在实数 m、n 使得 h (x) = m f(x)+ng(x), 那么称 h (x)为 f (x)、g(x)在 R 上生成的函数. 设 f (x)=x2+x、g(x)=x+2,若 h (x)为 f (x)、g(x)在 R 上生成的一个偶函数,且 h(1) ? 3 ,则 函数 h (x)=__________.

?

?

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 在 V ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,设 a=4,c=3, cos (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 V ABC 的面积.

B 3 = . 2 4

16.(本小题满分 12 分) 在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出 3 件进行质量检验. 已知甲、乙批次每件产品 检验不合格的概率分别为 、 ,假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响. (Ⅰ)求至少有 2 件甲批次产品检验不合格的概率; (Ⅱ)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多 2 件的概率.

1 4

1 3

17.(本小题满分 14 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中,平面 PCD ^ 平面 ABCD,PC=PD=CD=2. (Ⅰ)求证: PD ^ BC ; (Ⅱ)求二面角 B - PD - C 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 PBC 的距离. D C B P

A

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18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? ax(a ? R)在其图象上一点 A (2, m) 处切线的斜率为-1. 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间(b-1, b)内的极值.

19.(本小题满分 14 分) 给定抛物线 C : y 2 ? 4x ,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,O 为 坐标原点. (Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)设 | FA |? 2 | BF | ,求直线 l 的方程.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1=1, 数列 {an ? Sn }是公差为 2 的等差数列. (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)证明数列 {an ? 2} 为等比数列; (Ⅲ)判断是否存在 ? (? ? Z),使不等式 Sn ? n ? 1 ? ?an 对任意的 n ?N*成立,若存在, 求出

? 的最大值;若不存在,请说明理由.

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北京市西城区 2009 年抽样测试参考答案 高三数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 C 6 C 7 B 8 C 2009.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. x 2 -

y2 =1 3

10. 14 13. ○ 1 ○ 2

11. 160 14. -3x2+6

12. 16p ,

2 p 3

注:两空的题目,第一个空 2 分,第二个空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:因为 cos B = 2 cos 2

B 1 - 1= , 2 8

--------------------------3 分

在 V ABC 中,由余弦定理 b2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B , 得 b 2 = 16 + 9 - 24? 所以 b= 22 ; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 cos B =
1 8 22 ,

-------------------------6 分

1 , B ? (0, p ) , 8

所以 sin B =

1- cos 2 B =

3 7 , 8

--------------------------9 分

由三角形的面积公式 S = 得 S = 1 创4 3? 3 7 2 8

1 ac sin B , 2

9 7. 4

所以 V ABC 的面积为 9 7 . 4 16.(本小题满分 12 分)

--------------------------12 分

(Ⅰ)解:记 “至少有 2 件甲批次产品检验不合格” 为事件 A. 由题意,事件 A 包括以下两个互斥事件:

------------------------1 分

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1 事件 B:有 2 件甲批次产品检验不合格. ○ 的概率 由 n 次独立重复试验中某事件发生 k 次

1 1 9 公式,得 P( B) = C32 鬃 ; ( ) 2 (1- )1 = 4 4 64
2 事件 ○

--------------------------3 分

C : 3 件甲批次产品检验都不合格 . 由相互独立事件概率乘法公式,得

1 1 ; P(C ) = ( )3 = 4 64
所 以 ,“ 至 少 有 2 件 甲 批 次 产 品 检 验 不 合 格 ” 的 概 率 为

P( A) = P( B) + P(C ) =

5 ------------------------6 分 32

(Ⅱ)解:记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多 2 件”为事件 D. 由题意,事件 D 包括以下两个互斥事件: 1 事件 E:3 件甲批次产品检验都不合格,且有 1 件乙批次产品检验不合格. ○ 其概

1 1 2 1 1 1 1 率 P( E ) = ( )3 ?C3 ; ( ) (1 ) = 4 3 3 144

--------------------------9 分 其概

2 事件 F:有 2 件甲批次产品检验不合格,且有 0 件乙批次产品检验不合格. ○

1 1 1 3 1 率 P( F ) = C32 ( ) 2 (1- ) ?(1 ; ) = 4 4 3 24
所以, 事件 D 的概率为 P ( D ) = P ( E ) + P ( F ) = 17.(本小题满分 14 分) 方法一: (Ⅰ)证明: Q 平面 PCD ^ 平面 ABCD, 又平面 PCD I 平面 ABCD=CD, BC ^ CD ,
\ BC ^ 平面 PCD, Q PD ? 平面 PCD, \ BC ^ PD ;

7 . 144

--------------------------12 分

P E F C B

--------------------------3 分

--------------------------4 分 A

D

(Ⅱ)解:取 PD 的中点 E,连接 CE、BE,
QVPCD 为正三角形, \ CE ^ PD ,

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由(Ⅰ)知 BC ^ 平面 PCD,
\ CE 是 BE 在平面 PCD 内的射影, \ BE ^ PD , \ CEB 为二面角 B-PD-C 的平面角,

--------------------------7 分

在 VCEB 中, ? BCE

90o , BC=2, CE =

3,

\ tan ? CEB

BC 2 3 , = CE 3
--------------------------10 分

2 3 ; \ 二面角 B-PD-C 的大小为 arctan 3
(Ⅲ)解:过 D 作 DF ^ PC 于 F,
Q BC ^ 平面 PCD, \ BC ^ DF ,

Q P CI B C =

, \ DF ^ 平面 PBC, 且 DF I 平面 PBC=F, C --------------------------13 分

\ DF 为点 D 到平面 PBC 的距离,

在等边 VPCD 中, DC = 2, DF ^ PC ,
\ CF = 1, DF = DC 2 - CF 2 = 3,

\ 点 A 到平面 PBC 的距离等于 3 .
方法二: (Ⅰ)证明:取 CD 的中点为 O,连接 PO,

--------------------------14 分

Q PD=PC, \ PO ^ CD ,
Q 平面 PCD ^ 平面 ABCD, 平面 PCD I 平面 ABCD=CD,
\ PO ^ 平面 ABCD,

z

---------------------------2 分 E D

P

如图,在平面 ABCD 内,过 O 作 OM ^ CD 交 AB 于 M, 以 O 为原点, OM、OC、OP 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角 坐标系 O-xyz, A 则 B(2,1,0), C(0,1,0), D(0, - 1,0), P(0,0, 3) , x

O M B

C

uuu r Q PD = (0, - 1, uuu r uuu r \ PD?BC 0,

uuu r 3), BC = (- 2,0,0) ,

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\ BC ^ PD ;
---------------------------4 分

(Ⅱ)解:取 PD 的中点 E,连接 CE、BE,如(Ⅰ)建立空间坐标系,则 E (0, QVPCD 为正三角形, \ CE ^ PD ,

1 3 , ), 2 2

uuu r uur Q BD = (- 2, - 2,0), BP = (- 2, - 1, 3) ,
uuu r uur \ | BD |= | BP |= 2 2 , \ BE ^ PD ,
\ CEB 为二面角 B-PD-C 的平面角,

--------------------------7 分

uur r 3 3 uuu 3 3 Q EB = (2, , ), EC = (0, , ), 2 2 2 2 uur uuu r EB ×EC 3 21 , \ cos ? BEC uur uuu r = = 7 7× 3 | EB | ×| EC |
21 ; \ 二面角 B-PD-C 的大小为 arccos 7
(Ⅲ)解:过点 D 作 DF ^ 平面 PBC 于 F,
\ DF 为点 D 到平面 PBC 的距离, 设|DF|=h,

---------------------------10 分

uuu r uur Q BC = (- 2,0,0), CP = (0, - 1, 3) ,
uuu r uur \ BC ?CP 0 ,即 BC ^ CP ,
1 | BC | ?| PC | 2 , 2

\ VPBC 的面积 SV PBC =

Q 三棱锥 D-PBC 的体积 VD- PBC = VP- BCD ,
\ 1 1 2 鬃 SV PBC h = 鬃 SV BCD | PO | ,即 ?h 3 3 3 2 3 3 ,解得 h =

3,

\ 点 D 到平面 PBC 的距离为 3 .
18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? x2 ? 4 x ? a , 由题意,得 f ?(2) ? ?4 ? a ? ?1, 所以 a ? 3 ,

---------------------------14 分

------------------------2 分

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故 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3x ; 3

--------------------------5 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 f ?( x) ? x 2 ? 4x ? 3 , 由 f ?( x) ? x2 ? 4x ? 3 ? 0 , 得 x=1, 或 x=3. x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化如情况下表:

x

(??,1)

1 0 极大值

(1,3)
-

3 0 极小值 0

(3, ??)
+

f ?( x ) f ( x)

?
Z

4 3

]

Z

--------------------------8 分 所以,当 b ? 1 或 b ? 1 ? 3 时,函数 f ( x) 无极值; -------------------------10 分

当 b-1<1, 且 b>1 时,函数 f ( x) 在 x=1 时,有极大值

4 ,此时函数无极小值; 3

当 b-1<3, 且 b>3 时,函数 f ( x) 在 x=3 时,有极小值 0,此时函数无极大值; 当 b ?1 ? 1,且 b ? 3 时,函数 f ( x) 无极值. --------------------------13 分

故当 b ? (??,1] [2,3] [4, ??) 时,函数 f ( x) 无极值; 当 b ? (1, 2) 时,函数 f ( x) 在 x=1 时,有极大值

4 ,此时函数无极小值; 3

当 b ? (3, 4) 时,函数 f ( x) 在 x=3 时,有极小值 0,此时函数无极大值.-------14 分 19.(本小题满分 14 分) 方法一: (Ⅰ)解:由题意,得 F (1, 0) ,直线 l 的方程为 y = x - 1.

ì y = x- 1 ? 由? , 得 x2 - 6 x + 1 = 0 , í 2 ? y = 4 x ? ?
设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 M 的坐标为 M ( x0 , y0 ) ,

则 x1 = 3 + 2 2, x2 = 3- 2 2, y1 = x1 - 1 = 2 + 2 2, y2 = x2 - 1 = 2 - 2 2 , 故点 A(3 + 2 2,2 + 2 2), B(3- 2 2,2 - 2 2), --------------------------3 分

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所以 x0 =

x1 + x2 = 3, y0 = x0 - 1 = 2 , 2

故圆心为 M (3, 2) , 直径 | AB |=

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 = 8 ,

所以以 AB 为直径的圆的方程为 ( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 ;----------------------6 分 (Ⅱ)解:因为 | FA |? 2 | BF | , 三点 A, F, B 共线且点 A, B 在点 F 两侧, 所以 FA ? 2 BF , 设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 FA ? ( x1 ?1, y1 ), BF ? (1 ? x2 , ? y2 ) ,

ì x1 - 1 = 2(1- x2 ), ? 所以 ? í ? ? ? y1 = - 2 y2 .
因为点 A, B 在抛物线 C 上,
2 所以 y12 = 4x1 , y2 = 4x2 ,

1 ○

2 ○

-------------------------10 分

祆 x1 = 2, x1 = 2, 镲 镲 镲 镲 y1 = 2 2, y1 = - 2 2, 镲 由○ 1 ○ 2 ,解得 镲 镲 或 眄 1 1 镲 x2 = , x2 = , 镲 镲 2 2 镲 镲 镲 y2 = - 2. y2 = 2. 镲 铑

所以 A(2, 2 2), B( , 故 直 线 l

1 2

1 2), 或 A(2, - 2 2), B( , 2) , ------------------------13 分 2
的 方 程 为

2 2x - y - 2 2 = 0,



2 2x + y - 2 2 = 0 .-------------------------14 分
方法二: (Ⅰ)解:由题意,得 F (1, 0) ,直线 l 的方程为 y = x - 1.

ì y = x- 1 ? 由? , 得 x2 - 6 x + 1 = 0 , í 2 ? ? ? y = 4x
设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 M 的坐标为 M ( x0 , y0 ) ,

因为 D = 62 - 4 = 32 > 0, 所以 x1 + x2 = 6, x1 x2 = 1 , 所以 x0 =

x1 + x2 = 3, y0 = x0 - 1 = 2 , 故圆心为 M (3, 2) , ------------------------3 分 2

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由抛物线定义,得 | AB |= | AF | + | BF |= ( x1 + 所以 | AB |= x1 + x2 + p = 8 (其中 p=2). 所以以 AB 为直径的圆的方程为 ( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 ; -------------------6 分

p p ) + ( x2 + ) = x1 + x2 + p = 8 , 2 2

(Ⅱ)解:因为 | FA |? 2 | BF | , 三点 A, F, B 共线且点 A, B 在点 F 两侧, 所以 FA ? 2 BF , 设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 FA ? ( x1 ?1, y1 ), BF ? (1 ? x2 , ? y2 ) ,

ì x1 - 1 = 2(1- x2 ), ? 所以 ? í ? ? ? y1 = - 2 y2 .

1 ○

-----------------------9 分

设直线 AB 的方程为 y = k ( x - 1) 或 x = 1 (不符合题意,舍去).
ì ? y = k ( x - 1) 由? ,消去 x 得 ky2 - 4 y - 4k = 0 , í 2 ? ? ? y = 4x

因为直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,所以 k ? 0 , 则 D = 16 + 16k 2> 0 , y1 + y2 =

4 , y1 y2 = - 4 , k

2 ○

ì 4 ? ? ì ì y1 + y2 = ? ? k= - 2 2 k= 2 2 ? ? ? ? k ? ? ? ? ? 由○ 1 ○ 2 ,得方程组 ? y1 = - 2 2 或 í y1 = 2 2 -----------13 分 í y1 y2 = - 4 ,解得 í ? ? ? ? ? ? ? ? ? y 2 y y = 2 y =- 2 1 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?
故直线 l 的方程为 2 2 x - y - 2 2 = 0, 或 2 2x + y - 2 2 = 0 .---------------14 分 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: Q 数列 {an ? Sn }是公差为 2 的等差数列,

\ (an+ 1 + Sn+ 1 ) - (an + Sn ) = 2,
即 an+ 1 =

an + 2 , 2 \ a2 = 3 7 , a3 = ; 2 4

------------------------2 分 -------------------4 分

Q a1 = 1,

(Ⅱ)证明:由题意,得 a1 - 2 = - 1,

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a - 2 Q n+ 1 = an - 2 an + 2 - 2 1 2 = , an - 2 2
------------------------8 分

1 \ {an ? 2} 是首项为-1,公比为 的等比数列; 2 1 (Ⅲ)解:由(Ⅱ)得 an - 2 = - ( ) n- 1 , 2 1 \ an = 2 - ( ) n- 1 , 2

Q {an ? Sn }是首项为 a1 + S1 = 2 ,公差为 2 的等差数列,
\ an + Sn = 2 + (n - 1)? 2
1 \ Sn = 2n - 2 + ( ) n- 1 , 2

2n ,
------------------------9 分

设存在整数 ? ,使不等式 Sn ? n ? 1 ? ?an 对任意的 n ?N*成立, 即存在整数 ? ,使不等式 n ? 1 ? ( ) n ?1 ? ?[2 ? ( ) n ?1 ] 对任意的 n ?N*成立,

1 2

1 2

\ 当 n=1 时,不等式成立,解得 ? ? 1 ,

------------------------10 分

以下证明存在最大的整数 ? ? 1 ,使不等式 Sn ? n ? 1 ? ?an 对任意的 n ?N*成立.

3 3 ? ,成立; 2 2 1 当 n ? 3 时, Q ( Sn ? n ? 1) ? an ? n ? 3 ? ( ) n ? 2 ? 0 , 2
当 n=2 时,不等式化简为

\ (Sn ? n ? 1) ? an 成立.
综上,知存在整数 ? ,使不等式 Sn ? n ? 1 ? ?an 对任意的 n ? N*成立,且 ? 的最 大值为 1. --------------------------14 分

===================================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级:

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