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第2章2一元线性回归模型的参数估计_图文

§2.2 一元线性回归模型及其参数估计
一、线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计(OLS) 参数的普通最小二乘估计( ) 参数估计的最大似然法(不讲) 三、参数估计的最大似然法(不讲) 四、最小二乘估计量的性质 五、参数估计量的概率分布与随机项方差 的估计

线性回归模型的基本假设
关于变量和模型的假设; 关于变量和模型的假设; 关于随机误差项的假设。 关于随机误差项的假设。

一、线性回归模型的基本假设
?由于回归分析的主要目的是要通过样本回归函数 由于回归分析的主要目的是要通过样本回归函数 模型)SRF尽可能准确地估计总体回归函数 模型) 尽可能准确地估计总体回归函数( (模型)SRF尽可能准确地估计总体回归函数(模型) PRF。 PRF。即通过

? ? ? ? Yi = Yi + ? i = β 0 + β 1 X i + ei
估计 Yi

= E (Y X i ) + ? i = β 0 + β 1 X i + ? i

?采用普通最小二乘或者普通最大似然方法估计。 采用普通最小二乘或者普通最大似然方法估计。 采用普通最小二乘或者普通最大似然方法估计 ?需要对解释变量和随机项作出假设。 需要对解释变量和随机项作出假设。 需要对解释变量和随机项作出假设

线性回归模型在上述意义上的基本假设
是确定性变量, (1)解释变量 是确定性变量,不是随机变量; )解释变量X是确定性变量 不是随机变量; 解释变量之间互不相关。 解释变量之间互不相关。 (2)随机误差项具有0均值和同方差 )随机误差项具有0均值和同方差: E(?i)=0 i=1,2, …,n ? Var (?i)=σ?2 i=1,2, …,n ? σ (3)随机误差项在不同样本点之间是独立的, )随机误差项在不同样本点之间是独立的, 不存在序列相关: 不存在序列相关: i≠j i,j= 1,2, …,n Cov(?i, ?j)=0 ?

(4)随机误差项与解释变量之间不相关: )随机误差项与解释变量之间不相关: Cov(Xi, ?i)=0 i=1,2, …,n (5)随机误差项服从0均值、同方差的正态 )随机误差项服从0均值、 分布: 分布: ?i~N(0, σ?2 ) 注意: 注意: ? 如果第 条假设满足,则第(4)条也满足 如果第(1)条假设满足,则第 条也满足 条也满足; 条假设满足 ? 模型对变量和函数形式的设定是正确的,即 模型对变量和函数形式的设定是正确的, 不存在设定误差。 不存在设定误差。 i=1,2, …,n

? 为保证普通最小二乘法参数估计量具有良好的 性质,通常对模型提出若干基本假设。 性质,通常对模型提出若干基本假设。这些假 设通常被称为经典假设 经典假设。 设通常被称为经典假设。满足这些假设的线性 回归模型,称为经典线性回归模型。 回归模型,称为经典线性回归模型。 经典线性回归模型 ? 如果实际模型满足这些基本假设,普通最小 如果实际模型满足这些基本假设, 二乘法就是一种适用的估计方法; 二乘法就是一种适用的估计方法; ? 如果实际模型不满足这些基本假设,普通最 如果实际模型不满足这些基本假设, 小二乘法就不再适用,而要发展其它方法来 小二乘法就不再适用, 估计模型。 估计模型。 ? 所以,严格地说,这里的基本假设并不是针 所以,严格地说, 对模型的,而是针对普通最小二乘法 普通最小二乘法的 对模型的,而是针对普通最小二乘法的。

注释
? 几乎没有哪个实际问题能够同时满足所有基本假设; 几乎没有哪个实际问题能够同时满足所有基本假设; ? 通过模型理论方法的发展,可以克服违背基本假设带 通过模型理论方法的发展, 来的问题; 来的问题; ? 违背基本假设问题的处理构成了单方程线性计量经济 学理论方法的主要内容: 学理论方法的主要内容: 异方差问题(违背同方差假设) 异方差问题(违背同方差假设) 序列相关问题(违背序列不相关假设) 序列相关问题(违背序列不相关假设) 共线性问题(违背解释变量不相关假设) 共线性问题(违背解释变量不相关假设) 随机解释变量(违背解释变量确定性假设) 随机解释变量(违背解释变量确定性假设) ? 0均值、正态性假设是由模型的数理统计理论决定的。 均值、正态性假设是由模型的数理统计理论决定的。

模型参数估计的任务
? 模型参数估计的任务为两项: 模型参数估计的任务为两项:
一是求得反映变量之间数量关系的结构参数的估计量, 在一元线性回 归模型即是参数β0 和β1 的估计量;
二是求得随机误差项的分布参数, 由于随机误差项的均值已经被假定
2 为 0,所以所要求的分布参数只有方差σ ? 。

二、一元线性回归模型的参数估计
? 1、普通最小二乘法(Ordinary Least 普通最小二乘法( Square,OLS) Square,OLS) ? 给定一组样本观测值Xi, Yi(i=1,2, n),要 给定一组样本观测值X i=1,2,…n),要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值, 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值,即样 本回归线上的点与真实观测点的“误差” 本回归线上的点与真实观测点的“误差”尽可 能地小。 能地小。
最 小 二 乘法 给 出 的 判 断 的 标 准 是 : 二 者 之 差 的 平 方 和
? ? ? Q = ∑ (Y i ? Y i ) 2 = ∑ (Y i ? ( β 0 + β 1 X i )) 2
1 n

n

( 2.2.3 )

1

最小。

n ? ? ?i ) 2 = ∑ (Yi ? ( β 0 + β 1 X i )) 2 是 β$0 、 β$1 的 二 次 函 由 于 Q = ∑ ( Yi ? Y 1 1

n

数 ,并 且非 负 ,所 以 其极 小 值总 是存 在 的 。根 据 极值 存 在的 条 件 , 当 Q 对 β$0 、 β$1 的 一 阶 偏 导 数 为 0 时 , Q 达 到 最 小 。 即
??Q ??β = 0 ? ? ? ? ? Σ Yi = n β 0 + β 1 Σ X i ? ∑ ( β 0 + β 1 X i ? Yi ) = 0 ? ?0 ? ? ? ? ? ?? Q 2 ? ? ? + β X ? Y )X = 0 ? ∑ (β 0 ? Σ Yi X i = β 0 Σ X i + β 1 Σ X i 1 i i i ? ? ? =0 ? ? ? β1 ?

? ? 根据微分运算,可推得用于估计 β 0 、β1 的下列方程组:
? ? ? ∑ ( β 0 + β1 X i ? Yi ) = 0 ? ? ? ? ?∑ ( β 0 + β1 X i ? Yi ) X i = 0 ?

(2.2.4) (2.2.5)



? ? ? ΣYi = nβ 0 + β1ΣX i ? ? ? ΣYi X i = β 0 ΣX i + β1ΣX i2 ?

解得:

?? ΣX i2 ΣYi ? ΣX i ΣYi X i ?β 0 = ? nΣX i2 ? (ΣX i ) 2 ? ? ? β1 = nΣYi X i ? ΣYi ΣX i ? nΣX i2 ? (ΣX i ) 2 ?

(2.2.6)

方程组(2.2.5)称为正则方程组(normal equations) 正则方程组( 。 正则方程组 )

解得:
? ? ? β0 = Y ? β1X ? ? ?β1 = nΣYi X i ? ΣYi ΣX i ? nΣX i2 ? (ΣX i )2 ?
? ? 由于 β 0 、 β 1 的估计结果是从最小二乘原 理得到 的,故称为

计量(least-squares estimators)。 最小二乘估 计量 。

最小二乘参数估计量的离差形式(deviation form) 最小二乘参数估计量的离差形式
1 ? X = ∑ Xi ? n ? ? Y = 1 ∑Y 记? i n ?x = X ? X i ? i ? y i = Yi ? Y ?



? ? ?β0 = Y ? β1X ? 则参数估计量可以写成:? β = ∑ xi yi ? 1 2 ? ∑ xi ?

在计量经济学中, 往往以大写字母表示原始数据( 注 : 在计量经济学中 , 往往以大写字母表示原始数据 ( 观测 而以小写字母表示对均值的离差(deviation)。 值),而以小写字母表示对均值的离差(deviation)。

一元线性回归模型偏回归系数的意义
? 统计意义: 统计意义:

当解释变量X每增加一个单位时, 当解释变量X每增加一个单位时,被解释 变量Y平均增加 或减少) 个单位 增加( 个单位。 变量Y平均增加(或减少)…个单位。 经济意义: 以绝对收入假设消费函数模型为例) 经济意义:(以绝对收入假设消费函数模型为例) 当个人可支配收入每增加一百元时, 当个人可支配收入每增加一百元时,个人 消费支出平均增加(或减少) 百元 平均增加 百元。 消费支出平均增加(或减少)…百元。

四、最小二乘估计量的统计性质
当模型参数估计完成, 需考虑参数估计值的精度, 当模型参数估计完成 , 需考虑参数估计值的精度 , 即是 否能代表总体参数的真值, 否能代表总体参数的真值 , 或者说需考察参数估计量的 统计性质。 统计性质。 考察估计量的优劣性: 从三个方面考察估计量的优劣性: (1)线性性 )线性性(linear):是否是另一随机变量的线性函数; :是否是另一随机变量的线性函数; (2)无偏性 )无偏性(unbiased):即它的均值或期望值是否等于 : 总体的真实值; 总体的真实值; (3)有效性 )有效性(efficient):即它是否在所有线性无偏估计量 : 中具有最小方差。 中具有最小方差。

高斯—马尔可夫定理 高斯 马尔可夫定理
(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下, 在给定经典线性回归的假定下 , 最小二 乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计 量。

线性性:参数估计量是Y 1、线性性:参数估计量是Y的线性函数
? = ∑ xi yi = ∑ xi (Yi ? Y ) = ∑ xiYi + Y ∑ xi 证: β1 ∑ xi2 ∑ xi2 ∑ xi2 ∑ xi2

令k

i

xi = ∑ xi2

,因∑ x = ∑( X
i

i

? X ) = 0 ,故有

? β1 = ∑
? ? β 0 = Y ? β1 X =

xi Y = ∑ kiYi 2 i ∑ xi

1 1 Yi ? ∑ kiYi X = ∑ ( ? Xki )Yi = ∑ wiYi ∑ n n

无偏性: 2、无偏性: 参数估计量的期望等于总体 回归参数真值
证: β? = ∑ k Y = ∑ k ( β + β X ∑x = 0, 由于 k = ∑ ∑x
1 i i i 0 1 i

+ ? i ) = β 0 ∑ ki + β1 ∑ ki X i + ∑ ki ? i

i

i

2 i

∑ ki X i

∑x X = ∑x
i 2 i 1

i

∑ x ( X ? X + X ) = ∑ x (x + X ) = ∑ x = ∑x ∑x ∑x
i i i i 2 i 2 i

2 i 2 i

∑x +X ∑x

i

2 i

=1

故: β?

= β1 + ∑ ki ? i

? E ( β1 ) = E ( β1 + ∑ k i ? i ) = β1 + ∑ k i E (? i ) = β1

? β 0 = ∑ wiYi = ∑ wi (β 0 + β1 X i + ?i ) = β 0 ∑ wi + β1 ∑ wi X i + ∑ wi ?i

由于:∑w = ∑(1/ n ? Xk ) = 1 ? X ∑k
i i

i

=1
X i ? X ∑ ki X i = X ? X = 0

∑w X = ∑(1/ n ? Xk ) X
i i i

i

=1

n∑

故:

? β 0 = β 0 + ∑ wi ?i ? E(β 0 ) = E(β 0 + ∑ wi ?i ) = E(β 0 ) + ∑ wi E(?i ) = β 0

3、有效性:在所有线性无偏估计量中,最 、有效性:在所有线性无偏估计量中, 小二乘参数估计量具有最小方差。 小二乘参数估计量具有最小方差。

? (1)先求 β 、 β? 的方差
0
1

? ? ) = var( k Y ) = k 2 var(β + β X + ? ) = ? xi var(β 1 ∑ ii ∑ i ∑? x2 i 0 1 i ?∑ i

? 2 σ2 ?σ = ? ∑ xi2 ?

2

(2.2.10)
? var(β 0 ) = var(∑ wi Yi ) = ∑ wi2 var(β 0 + β 1 X i + ? i ) = ∑ (1 / n ? Xk i ) 2 σ 2
? 2 ?1 2 ?? 1 ? 1 ? ? X k + X 2 ? xi 2 2 = ∑ ?? ? ? 2 Xk i + X k i ?σ = ? ∑ i ∑? x2 ?∑ n ?n n ?? n ? ? i ? ? ? ?
2

? ? ? ?

2

? ?σ 2 ? ? ?

?1 X2 =? + ? n ∑ x2 i ?

? 2 ?σ = ? ?

xi2 + nX 2 ∑ n∑ xi2

σ2 =

X i2 ∑ n∑ xi

σ2 2

(2.2.11)

(2)证明最小方差性
假设 β? 是其他方法得到的关于 β 的线性无偏估计量:
* 1

1

? β 1* = ∑ ci Yi

其中, c

i

= k i + d i , d i 为不全为零的常数。

? E ( β 1* ) = E (∑ ci Yi ) = ∑ ci E (Yi ) = ∑ ci ( β 0 + β 1 X i ) = β 0 ∑ ci + β 1 ∑ ci X i

由 β? 的无偏性,即 E ( β?
* 1

* 1

) = β 1 可知:

β 0 ∑ ci + β 1 ∑ ci X i = β 1

从而有: ∑ c

i

= 0 , ∑ ci X i = 1

? β 1* 的方差

? var( β 1* ) = var( ∑ c i Yi ) =

∑c

2 i

var( Yi ) =

∑c

2 i

var( ? i ) =

∑c

2 i

σ2

= ∑ (k 由于

i

+ di )2σ 2 =
i i

∑k
i

2 i

σ 2 + ∑ d i2σ 2 + 2σ 2 ∑ k i d i
i 2 i

∑k d
i

i

=

∑ k (c

? ki ) =

∑ k c ?∑ k
∑X
i

=∑ 故 因为 所以 当d
i

xi c i ? ∑ k i2 = 2 ∑ xi

ci ? X ∑ ci

∑x

2 i

? ∑ k i2 =

1 ? x i2 ∑

1 =0 x i2 ∑
2

? var( β 1* ) =

∑ k i2σ 2 + ∑ d i2σ 2 =
2 i

1 σ 2 +σ 2 ∑ xi

2

∑d

2 i

? = var( β 1 ) + σ

∑d

2 i

∑d

≥0

? ? var( β 1* ) ≥ var( β 1 )

= 0 , i = 1, 2 L , n )等号成立,此时: (

? c i = k i , β 1* 就是

OLS 估计量 β? 。
1

? β1

? β 1*

1

? ? E ( β 1 ) = E ( β 1* ) = β 1
? ? Sampling distribution of OLS estimator β 1 and alternative estimator β 1*

同理可证明

?* ? var(β 0 ) ≥ var(β 0 )

4、结论
普通最小二乘参数估计量具有线性性、 无偏性、 普通最小二乘参数估计量具有线性性 、 无偏性 、 最小方差性等优良性质。 最小方差性等优良性质。 具有这些优良性质的估计量又称为最佳线性无偏 估计量, BLUE估计量 估计量,即BLUE估计量 显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设 基本假设。 显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设。
全部估计量 线性无偏估计量

BLUE 估计量

最小二乘参数估计量的概率分布
首先, 首先,由于解释变量 X i 是确定性变量,随机误差项 ? i 是 随机性变量,因此被解释变量 Yi 是随机变量,且其分布(特 征)与 ? i 相同。
? ? ? 其次, ? 其次 , β 0 和 β 1 分别是 Yi 的线性组合,因此 β 0 、 β 1 的概率 分

布取决于 Y。
? ? 在 ? 是正态分布的假设下, Y 是正态分布,因此 β 0 和 β 1 也

服从正态分布,其分布特征(密度函数)由其均值和方差唯 一决定。

因此: 因此:
? β1 ~ N ( β1 ,

∑x
? βi

σ2

2 i

),

? β 0 ~ N (β 0

∑X , n∑ x

2 i 2 i

σ 2)

βi
? ? β 0 和 β 1 的标准差 标准差分别为: 标准差 :
? S ( β 1 ) = σ 2 / ∑ xi2
? S (β 0 ) =

1

(2.2.12) (2.2.13)

σ 2 ∑ X i2
n∑ xi2

2、随机误差项 ? 的方差σ 2 的估计 、
? ? 在估计的参 数 β 0 和 β 1 的方差和标准差的表达式中,都含

总体方差。 有随机扰动项方差 σ 2 = var( ? i ) 。σ 2 又称为总体方差 总体方差
? ? 由于 σ 2 实际上是未知的,因此 β 0 和 β 1 的方差与标准差实

际上无法计算。 由于随机项 ? i 不可观测, 只能从 ? i 的估计——残差 ei 出发, 对总体方差 σ 2 进行估计。

可以证明:总体方差σ 2 的无偏估计量 无偏估计量为 可以证明 无偏估计量
? σ2

∑e =

2 i

n?2

(2.2.14)

1.用原始数据(观测值)Xi,Yi计算 用原始数据(观测值) 用原始数据

? ? β X )2 e = ∑ (Yi ? β 0 ?1 i ∑
2 i

2.用离差形式的数据 i,yi计算 用离差形式的数据x 用离差形式的数据
2 2 ∑ ei = ∑ yi ?
其中: 其中
2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ yi = ∑ (Yi ? Y ) = ∑Yi ? nY ∑xi = ∑(Xi ? X) = ∑ Xi ? nX

?2 ∑ x2 β1 i

? ? ? 在总体方差 σ 2 的无偏估计量 σ 2 求出后, 估计的参数 β 0 和 β 1

的方差和标准差的估计量分别是: 的方差和标准差的估计量
? β 1 的样本方差: ? β 1 的样本标准差:

? ? Var ( β 1 ) = σ 2

∑x
2 i

2 i

(2.2.15) (2.2.16) (2.2.17) (2.2.18)

? ? S ( β1 ) = σ

∑x ∑X

? β 0 的样本方差: ? β 0 的样本标准差:

? ? Var ( β 0 ) = σ 2 ∑ X i2 n∑ xi2

? S (β 0 ) = σ

2 i

n∑ xi2

例:在收入-消费支出例中,参数估计及其标准差的计算如下: 在收入-消费支出例中,参数估计及其标准差的计算如下:
收入X 支出Y X ? X Y ? Y (元) (元) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均 求和 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 1700 700 650 900 950 1100 1150 1200 1400 1550 1500 1110 -900 -700 -500 -300 -100 100 300 500 700 900 -410 -460 -210 -160 -10 40 90 290 440 390

( X ? X )(Y ? Y ) ( X ? X ) 2 X 2
369000 322000 105000 48000 1000 4000 27000 145000 308000 351000 1680000 810000 490000 250000 90000 10000 10000 90000 250000 490000 810000 640000 1000000 1440000 1960000 2560000 3240000 4000000 4840000 5760000 6760000

? Y
652 754 855 957 1059 1161 1263 1365 1466 1568

? (Y ? Y ) 2
2321 10740 1984 53 1674 119 3935 1257 6995 4649 33727

3300000 32200000 11100

? β1 =

∑ ( X ? X )(Y ? Y ) = 1680000 ? = 0.5091 3300000 ∑(X ? X )
2

? ? β 0 = Y ? β 1 X = 1110 ? 0.5091× 1700 = 244.5
? S (β1 ) = ? σ2 =

∑x

2 i

∑e ( n ? 2) ∑ x
2 i 2 i

2 i

=

33727 (10 ? 2) × 3300000

= 0.001278 = 0.0357 ? S (β 0 ) = ? σ 2 ∑ X i2 n∑ xi2 =

∑e ∑ X ( n ? 2) n ∑ x

2 i 2 i

=

33727 × 32200000 (10 ? 2) × 10 × 3300000

= 4113.705 = 64.1382

居民家庭收入与消费支出的回归方程为 :
? Yi = 244.5 + 0.5091Xi


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