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江苏高考数学试卷纵向分类汇总(2008-2014):第9章 圆锥曲线


中小学高频考点范例教学

中小学 1 对 1 课外辅导专家

金桃李教育补充练习
圆锥曲线
(一)填空题
x2 y2 1、 (2008 江苏卷 12)在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为 a b
半径的圆,过点 ?

? a2 ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?



【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故

a2 ? 2a , c

解得 e ?

c 2 . ? a 2

x2 y 2 2、 (2009 江苏卷 13)如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四 a b
个顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的 中点,则该椭圆的离心率为 .

【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。 直线 A1B2 的方程为: 直线 B1F 的方程为:

x y ? ? 1; ?a b x y 2ac b(a ? c ) ? ? 1 。二者联立解得: T ( , ), c ?b a?c a?c

则M(

x2 y 2 ac b(a ? c) , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a b a ? c 2(a ? c)

c2 ( a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e2 ? 10e ? 3 ? 0 , (a ? c)2 4(a ? c)2
解得: e ? 2 7 ? 5

3.(2010 江苏卷 6)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 到双曲线右焦点的距离是__________ [解析]考查双曲线的定义。

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 4 12

MF 4 ? e ? ? 2 , d 为点 M 到右准线 x ? 1 的距离, d =2,MF=4。 d 2

4、 (2012 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线
1

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , 则 m 的值为 ▲ . m m ?4
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中小学高频考点范例教学 【解析】由

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x y ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 . m m ?4

2

2

c m ? m2 ? 4 ∴ e= = = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 . a m
【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的,在对本部分复习 时要注意:侧重于基本关系和基本理论性质的考查,从近几年的高考命题趋势看,几乎年年都有所涉及, 要引起足够的重视.本题属于中档题,难度适中. 5.(2013 江苏 12)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 a 2 b2

F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d 1 ,F 到 l 的距离为 d 2 .若 d2 ? 6d1 ,
则椭圆的离心率为 解析:由题意知 d1 ? ▲ .

bc a2 b2 , d2 ? ?c ? a c c
两边平方得到 a b ? 6c ,即 a ? a c ? 6c
2 2 4 4 2 2 4

所以有

b2 bc ? 6 c a

4 2 4 两边同除以 a 得到 1 ? e ? 6e ,解得 e ?

2

1 3 ,即 e ? 3 3

(二)解答题
1、 (2010 江苏卷 18) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F。设过点 T 9 5

( t, m ) 的直线 TA、 TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y 2 ) , 其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无 关) 。 【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和
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中小学高频考点范例教学 探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。

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由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? [( x ? 3)2 ? y 2 ] ? 4, 化简得 x ?
2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2)将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程,以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得:M(2, ) 、N( , ? ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y ? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) N ( ,? )。 、 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一)当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: ? 2 40m 20m 3(80 ? m ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2
3 淮安金桃李教育

中小学高频考点范例教学 此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

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若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

?20m ? m2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 直线 ND 的斜率 k ND ? 20 MD ND 2 3m ? 60 40 ? m2 ? 1 20 ? m2 因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。
2、 (2011 江苏卷 18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标 4 2

原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并 延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; y (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥ PB
P B M A N C x

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基 础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分 16 分. 解: ( 1 ) 由 题 设 知 , a ? 2, b ?

2, 故M (?2,0), N (0,? 2 ), 所 以 线 段 MN 中 点 的 坐 标 为

(?1,?

2 由于直线 PA 平分线段 MN, 故直线 PA 过线段 MN 的中点, 又直线 PA 过坐标原点, ), 2
?

2 2 ? 2. 所以 k ? ?1 2
(2)直线 PA 的方程 y ? 2 x代入椭圆方程得 解得 x ? ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

2 2 4 2 4 ,因此 P( , ), A(? ,? ). 3 3 3 3 3 4 0? 2 3 ? 1, 故直线AB的方程为x ? y ? 2 ? 0. 于是 C ( ,0), 直线 AC 的斜率为 2 2 3 3 ? 3 3
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2 4 2 | ? ? | 2 2 因此, d ? 3 3 3 ? . 1 2 3 1 ?1
(3)解法一:

x2 y 2 2 2 ? ? 1, 解得x ? ? , 记? , 将直线 PA 的方程 y ? kx 代入 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
则 P(? , ?k ), A(?? ,??k ),于是C(? ,0) 故直线 AB 的斜率为 其方程 y ? 解得 x ?

0 ? ?k k ? , ??? 2

k ( x ? ? ), 代入椭圆方程得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0, 2

? (3k 2 ? 2)
2 ? k2

或x ? ??因此B(

? (3k 2 ? 2) ? k 3
2 ? k2 , 2 ? k2

).

?k 3
于是直线 PB 的斜率 k1 ?

2? k2
2

? ?k ?

? (3k ? 2)
2? k2

1 ?? . k 3k ? 2 ? (2 ? k )
2 2

k 3 ? k (2 ? k 2 )

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 解法二: 设 P( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 , A(? x1 ,? y1 ), C( x1 ,0) . 设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1 , k 2 因为 C 在直线 AB 上,所以 k 2 ? 从而

0 ? ( y1 ) y k ? 1 ? . x1 ? (? x1 ) 2 x1 2

k1k ? 1 ? 2k1k 2 ? 1 ? 2 ?

y 2 ? y1 y 2 ? (? y1 ) ? ?1 x2 ? x1 x2 ? (? x1 )

?

2 2 2 2 y2 ? 2 y12 ( x2 ? 2 y2 ) 4?4 ? 1 ? ? 2 ? 0. 2 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 3、 (2012 江苏 19)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 0) , 右焦点分别为 F1 (?c , a 2 b2

5

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? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. F2 (c , 0) .已知 (1 , ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若

AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e= 上,得

c e) 在椭圆 ,由点 (1 , a

12 e2 1 c2 ? ? 1 ? ? =1 ? b2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 , 2 2 2 2 2 a b a a b
∴ c 2 =a 2 ? 1 . 由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 2 2 4 4 1 4 a b a a
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1, 0) , F2 (1,
∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 .

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 . m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 .① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

.②

(i)

由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 。解 得 m 2 =2. 2 2 m ?2 m ?2 2
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中小学高频考点范例教学 ∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 .∴直线 AF1 的斜率为 ( ii ) 证 明 : ∵ AF1 ∥ BF2 , ∴

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1 2 = . m 2

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 PB ? ?1 ? 2 ?1? ? ,即 。 PF1 AF1 PF1 AF1 PF1 AF1

∴ PF1 =

AF1 BF1 . AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 . AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF 1= 1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF

?

?

同理 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 . AF1 ? BF2
∴ PF1 +PF2 =

?

?

AF1 BF2 2 AF BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF =

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF BF = m

2

?1

m ?2

2

,∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 3 = 2. 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值.

e) 和 ? e , 【点评】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 ,
(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ? 4.(2014 江苏卷 17)(本小题满分 14 分)

? ? ?

3? ? 都在椭圆上列式求解. 2 ? ?

6 ,用待定系数法求解. 2
x2 ? y3

? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,顶点 B 的坐标 a2 b2 为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连结 F1 C . 4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3 y (2)若 F1C ? AB, 求椭圆离心率 e 的值. B 2 C 1 x ? y 2 ? 1; 【答案】 (1) (2) .

如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆

2

2

【 解 析 】( 1 ) 由 题 意 , F2 (c,0) , B(0, b) ,

F1 O

F2 A

x

BF2 ? b 2 ? c 2 ? a ? 2





4 1 C( , ) 3 3



∴ (第 4 题)

4 1 ( )2 ( )2 2 3 ? 3 ? 1 ,解得 b ? 1 .∴椭圆方程为 x ? y 2 ? 1. 2 2 b2

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中小学高频考点范例教学 (2)直 线 BF2 方 程 为

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x y x2 y 2 ? ?1 , 与 椭 圆 方 程 2 ? 2 ?1 联 立 方 程 组 , 解 得 A 点 坐 标 为 c b a b
2 3

(

2a c b 2a c b , ? 2 2 ) ,则 C 点坐标为 ( 2 2 , 2 2 ) ,kF1C 2 2 a ?c a ?c a ?c a ?c b3 b ? (? ) ? ?1 ,即 b4 ? 2a 2c2 ? c4 , 2 3 2a c ? c c
c 1 ? . a 2

2

3

b3 2 2 b b3 ,又 k AB ? ? , ? a 2? c ? 2 3 c 2a c 2a c ? c ?c 2 2 a ?c

由 FC ? AB 得 1

∴ (a2 ? c2 )2 ? 2a2c2 ? c4 ,化简得 e ?

【考点】 (1)椭圆标准方程; (2)椭圆离心率.

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