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山东大学2013-2014学年第二学期高等数学试题


2013-2014 学年第二学期高等数学试题 (A)
一、填空题(共 5 小题,每题 4 分,共 20 分)

?1? 1. 数项级数 ? n ? ? n ?1 ? 2 ?

?

n ?1

等于



2. 设平面经过原点及点 ? 6, ?3, 2 ? ,且与平面 4 x ? y ? 2 z ? 8 垂直,则此平面方程 为 3. 积分 。

?

2 0

dx ? e ? y dy 的值等于
x
3

2

2



4. 设 z ? x f ? xy ,

? ?

y? ?2 z , f 具有二阶连续偏导数,则 = x? ?y 2 ?



5. 设 L 为由圆周 x 2 ? y 2 ? a 2 ,直线 y ? x 及 x 轴在第一象限中所围图形的边界,计 算

? ?

L

e

x2 ? y 2

ds =



二、选择题(共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 6. 设 u ? x, y ? ? ? ? x ? y ? ? ? ? x ? y ? ? 具有一阶导数,则必有 (A) 。 (B)

?

x? y

x? y

? ? t ? dt , 其中函数 ? 具有二阶连续导数, ?

? 2 u ? 2u ? ; ?x 2 ?y 2 ? 2u ? 2 u ? ; ?x?y ?y 2

? 2u ? 2u ? ? ; ?x 2 ?y 2 ? 2u ? 2 u ? ?x?y ?x 2

(C)

(D)

7 . 曲 面 3x 2 ? y 2 ? z 2 ? 12 上 点 M ? ?1,0, 3? 处 的 切 平 面 与 平 面 z ? 0 的 夹 角 为 (A) 。

? ; 6
2 2

(B)
2

? ; 4
2

(C)

? ; 3

(D)

? 2


8.设 ? : x ? y ? z ? a (A)

? z ? 0 ? , ?1 为 ? 在第一卦限中的部分,则有
(B)

?? xds ? 4?? xds ;
? ?1

?? yds ? 4?? xds ;
? ?1

(C)

?? zds ? 4?? xds ;
? ?1

(D)

?? xyzds ? 4?? xyzds
? ?1

1

9.累次积分
1 0

?

? 2 0

d? ?

cos ? 0

f ? r cos ? , r sin ? ? rdr 可以写成
(B) (D)



(A) (C)

?

dy ?
1

y? y2 0

f ? x , y ? dx ;

?
1 0

1 0

dy ?
0

1? y 2 0

f ? x, y ? dx ;

?

0
?

dx ? f ? x, y ? dy ;
0
?

1

?

dx ?

x ? x2

f ? x , y ? dy

10.若级数

? un 收敛,则级数 ? un2 是
n ?1 n ?1

。 (D 可能)收敛,也可能发散

(A)绝对收敛;

(B)条件收敛;
?

(C)发散;

三、 (12 分)求幂级数 四、 (12 分) 1.设直线 L : ?

xn 的收敛半径,收敛区间及和函数。 ? n ?0 n ? 1

?x ? y ? z ?1 ? 0 ,平面 ? : x ? y ? z ? 0 , ?x ? y ? z ?1 ? 0

(1)求直线 L 在平面 ? 上的投影直线 L0 的方程。 (2)求直线 L0 绕 z 轴旋转一周所得曲面的方程。 2. 设函数 f (u ) 具有连续导数,求 lim 五、 (10 分) 1. 假设 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 上连续,记 求

1 t ?0 ? t 2

x 2 ? y 2 ? z 2 ?t 2

???

f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dxdydz. 。

? f ? x ? dx ? 6 ,
0

1

?

1

0

dx ? dy ? f ? x ? f ? y ? f ? z ? dz 。
x x

1

y

2.设 ? 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 的外侧, 求I ?

? ??
?

x 2 ? y 2 ? z 2 ? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ?

六、 (10 分)计算曲线积分 I ?

? ?

L

xdy ? ydx ,其中 L 是以点 ?1, 0 ? 为中心, R 为半径的圆 4 x2 ? y 2

周 ? R ? 1? ,取逆时针方向。 七、 (10 分)设 z ? z ? u, v ? 具有二阶连续偏导数,且 z ? z ? x ? 2 y , x ? 3 y ? 满足

6

?2 z ?2 z ?2 z ?z ?z ? ? 2 ? 2 ? ,求 z ? z ? u, v ? 所满足的关系式。 2 ?x ?x?y ?y ?x ?y
2

八、 (6 分) 设函数 f ( x, y ) 在圆域 x 2 ? y 2 ? 1 上二阶连续可微, 且满足

?? x2 ? y 2 ? ?2 f ? 2 f ? ? e , ?x 2 ?y 2

计算

? ?f ?f ? x ? y dxdy 。 ? ??2 ? ?x ?y ? 2 ? x ? y ?1

3


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