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坐标系与参数方程综合复习讲义 (1)

高二理科专题复习讲义 坐标系与参数方程 一、 《考试说明》呈现 主备人:常青藤实验中学高二数学组 何睦 要 内 容 A 坐标系的有关概念 简单图形的极坐标方程 极坐标方程与直角坐标方程的互化 坐标系与参数 参数方程 方程 直线、圆及椭圆的参数方程 参数方程与普通方程的互化 参数方程的简单应用 二、高考试题展示(看看高考是怎么考的?) 1. (08 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y ) 是椭圆 求 S ? x ? y 的最大值. (考查参数方程的简单应用) √ √ √ √ √ √ √ B C 求

x2 ? y 2 ? 1上的一个动点, 3

1 ? x? t? ? ? t 2. (09 年江苏)已知曲线 C 的参数方程为 ? .求曲线 C , ( t 为参数, t ? 0 ) ? y ? 3(t ? 1) ? t ?
的普通方程. (考查参数方程与普通方程的互化) 3. (10 年江苏)在极坐标系中,已知圆 ? ? 2 cos? 与直线 3? cos? ? 4 ? sin ? ? a ? 0 相 切,求实数 a 的值. (考查极坐标方程与直角坐标的互化) 4. (11 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ?

? x ? 5cos ? ( ? 为参数)的右焦点 ? y ? 3sin ?

且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行直线普通方程. (考查参数方程与普通方程的互化) ?y ? 3?t
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三、试题分类汇总 题型一:考查极坐标方程与直角坐标的互化 例 1: 若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ? ? 2 cos?? ? 求线段 AB 的长度;

? ?

??

它们相交于 A, B 两点, ?, 3?

例 2:圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos? , ? ? ?4 sin ? (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆 O1 和圆 O2 的交点的直线的直角坐标方程.

例 3:在极坐标系中,已知点 P? 2, ? ? ,点 Q 为圆 C : ? ? 2 cos? 上的动点,求点 P 与 点 Q 间距离的最大值和最小值.

? ?

2 ? 3 ?

题型二:参数方程与普通方程的互化 例 4:圆的方程是 x ? y ? 2a cos? ? x ? 2a sin ? ? y ? 0
2 2

(1)若 a 是参数, ? 是常数,求圆心的轨迹; (2)若 ? 是参数, a 是常数,求圆心的轨迹

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题型三:参数方程的应用

? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ? ( ? 为 例 5: (2011,湖南)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 为_____________个. 例 6:设直线 l1 的参数方程为 ?

? ? cos? ? sin ? ? ?1 ? 0

,则 C1 与 C2 的交点个数

?x ? 1 ? t , ( t 为参数) ,直线 l 2 的方程为 y ? 3x ? 4 ,则 l1 ? y ? 1 ? 3t

与 l 2 间的距离为____________________ 例 7:若直线 3x ? 4 ? m ? 0 与圆 ? 取值范围是______________ 例 8: (2011,陕西)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

? x ? 1 ? cos? , ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的 ? y ? ?2 ? sin ?

? x ? 3 ? cos ? C1 : ? ? y ? 4 ? sin ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的 系,设点 A,B 分别在曲线
最小值为______________ 例 9: (2011,福建)在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程

? ? x ? 3cos? (? 为参数) ? y ? sin ? ? 为? .
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴

π 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, 2 ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;
(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

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? x ? 2cos ? (? ? C y ? 2 ? 2sin ? 1 ? 例 10: (2011, 全国卷) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 的参数方程为 为
参数) ,M 为 (I)求

C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 .

C2 的方程;

??
(II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 交点为 A,与

?
3 与 C1 的异于极点的

C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 例 11: (2010,福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求|PA|+|PB|.

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