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立体几何三视图及体积表面积的求解


立体几何三视图及体积表面积的求解
一、空间几何体与三视图
1. (吉林省实验中学 2013—2014 年度高三上学期第四次阶段检测)一个长方体截去两个三棱锥,得到的几 何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为( )

A 【答案】C

B

C

D

【解析】正视图是含有一条左下到右上实对角线的矩形;侧视图是含有一条从左上到右下的实对角线的矩 形,故选 C 2. (广州 2014 届高三七校第二次联考)如图为几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为( A.圆锥 C.三棱柱 【答案】C 【解析】由三视图知,这是一个横放的三棱柱 3.(黄冈中学 2014 届高三十月月考数学试卷)如图,一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形, 则这个三棱柱的俯视图为( ) B.三棱锥 D.三棱台 )

3
2 A 【答案】 :D 2 B

3
2 C

2
2 D

2

【解析】 :由正视图和侧视图可知,这是一个水平放置的一个正三棱柱,底面三角形的高为 3 ,底面边长 为2。 4. (江西省稳派名校学术联盟 2014 届高三 12 月调研考试)如图所示是一个几何体的三视图,若该几何体

1 的体积为 2 ,则主视图中三角形的高 x 的值为(



1 A. 2
【答案】C 【解析】

3 B. 4

C. 1

3 D. 2

5.(石家庄 2014 届高三第一次教学质量检测)用一个平面去截正方体,有可能截得的是以下平面图形中 的 .(写出满足条件的图形序号) (3)直角三角形 (4)矩形

(1)正三角形 (2)梯形 【答案】 (1) (2) (4) 【解析】

6.(黄冈中学 2014 届高三十月月考数学试卷)一个底面是等腰直角三角形的直棱柱,侧棱长与底面三角形 的腰长相等,其体积为 4,它的三视图中俯视图如右图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的对角线长 为 .

【答案】 : 6

【解析】 :设底面的等腰直角三角形的腰长为 a ,则侧棱长也为 a ,则 V ?

1 3 a ? 4 ,解得 a ? 2 ,则其 2

侧视图是一个长为 2 ,宽为 2 的矩形,其对角线长为

? 2?

2

? 22 ? 6 。

二、空间几何体的体积和表面积
1.(湖北省黄冈中学 2014 届高三数学(文)期末考试)某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体 积为( A.48 ) B.56 C.64 D.72

【答案】C

4 5 = 40 , 6 1 = 24 , 【解析】 该组合体由两个棱柱组成, 上面的棱柱体积为 2创 下面的棱柱体积为 4创
故组合体的体积为 64 2.(四川省泸州市 2014 届高三数学第一次教学质量诊断性考试)一个几何体的三视图如图所示,其中俯 视图是菱形,则该几何体的侧面积为( A. B. C. ) D.

3. (2014 年福建宁德市普通高中毕业班单科质量检查) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的 侧面积为 A. 8 ? 2 2 ( ) B. 10 C. 8 ? 2 5 D. 12

【答案】A 【解析】该几何体为四棱柱,底面周长为 2 + 1+ 1+

2 = 4 + 2 ,高为 2,所以侧面积为 8 ? 2 2

3. (承德市联校 2013-2014 年第一学期期末联考) 把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 连结 AC, 得到三棱锥 C-ABD, 其正视图、 俯视图均为全等的等腰直角三角形 (如图所示) , 则其侧视图的面积为 ( 3 A. 2 1 B. 2 C.1 2 D. 2 )

【答案】B 【解析】由两个视图可以得到三棱锥如图:其侧视图的面积即 RtV ACE 的面积,由正方形的边长为 2得

AE =CE =1,故侧视图面积为 2
5. (安徽省六校教育研究会 2014 届高三 2 月联考)某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面 积中,最大的面积是( (A) 4 3 ) (B) 8 (C) 8 3 (D) 4 7

1

【答案】D 【解析】由三视图可得三棱锥如图所示: 底面是边长为 4 的正三角形, AD ^ 平面BDC ,故四个面的面积中,最大的面积是 V ABC 的面积为

1 创4 2

42 + 2 3

(

)

2

= 4 7

4. (宁夏银川一中 2014 届高三年级月考)如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视 图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几何体的全面积为( A.2+3 ? ? 4 2 B.2+2 ? ? 4 2 C.8+5 ? ? 2 3 ) D.6+3 ? ? 2 3

【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的组合体,该几何体的表面 积 S ? ? ? 2 ? 1 ? 4 2 ? 2( ? ? 1) ? 3? ? 4 2 ? 2 . 5. (湖南省 2014 届高三第五次联考数学) 已知三棱锥的三视图如图所示, 则它的外接球表面积为 ( A. 16p B. 4 p C. 8p D. 2 p )

1 2

7.(西安铁一中 2014 届高三 11 月模拟考试试题)一个几何体的三视图如图所示,则其外接球的表面积是 ( ) A. 25? B. 50? C.

125 2 ? 3

D.

50 2 ? 3

【答案】B 【解析】由三视图知:该几何体为长方体,长方体的棱长分别为 3、4、5,所以长方体的体对角线为

1 5 2 所以外接球的半径为 r ? l ? , 所以外接球的表面积为 S ? 4? r 2 ? 50? 。 l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2 , 2 2
8. (河北邯郸市 2014 届高三教学质量检测) 已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,

PA ? PD ? AB ? 2 , ?APD ? 90 ,若点 P, A, B, C , D 都在同一球面上,则此球的表面积等于
【答案】

?

28p 3

【解析】 如图, 球心 O 是分别过正三角形 PAD 的中心和矩形 ABCD 的中心与两平面都垂直的直线的交点,

骣3÷ ÷ 所以球半径的平方为 ? ? ÷+ ? ? 桫3 ÷

2

,故球的表面积为 ( 2) = 7 3
2

28p 3

课后练习
1. (2014 福建)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )

A. 圆柱
A.棱柱

B. 圆锥

C. 四面体

D. 三棱柱
( D.圆台 ) C.圆柱

2. (2013 四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是

B.棱台

3.(2013 浙江卷(文) )已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是

( A.108cm3 B.100 cm3 C.92cm3 D.84cm3



4. (2014 浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是 A. 90 cm
2

B. 129 cm

2

C. 132 cm

2

D. 138 cm

2

5.(2014 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.54

B.60

C.66

D.72

6. (2013 山东)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体 积分别是( )

A.

B.

C.

D.8,8

7.(2014 安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为

(A) 21? 3

(B) 18 ? 3

(C)21

(D)18

8. (2013 辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.

9. (2013 陕西)某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

10. (2014 江苏) 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 , S 2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等, 且
S1 9 V ? ,则 1 的值是 S2 4 V2

.

11. (2014 山东)三棱锥 P ? ABC 中,D ,E 分别为 PB ,PC 的中点, 记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 ,

P ? ABC 的体积为 V2 ,则

V1 ? V2

.

12.(2014 天津)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为_______ m .
2

3

4

2 4

2 4

正视图

侧视图

俯视图

13.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(

)

( A) 12?

( B ) 45?

(C ) ???

( D) ???

14. (2013 江西)一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为(

)

A.200+9π

B.200+18π

C.140+9π

D.140+18π


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