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2014届高三数学辅导精讲精练67


2014 届高三数学辅导精讲精练 67
1.与直线 4x-y+3=0 平行的抛物线 y=2x2 的切线方程是 A.4x-y+1=0 C.4x-y-2=0 答案 解析 C ∵y′=4x=4,∴x=1,y=2,过(1,2)斜率为 4 的直线为 y-2=4(x B.4x-y-1=0 D.4x-y+2=0 ( )

-1),即 4x-y-2=0. 2. (2013· 石家庄质检)已知抛物线 y2=2px, 直线 l 经过其焦点且与 x 轴垂直, 并交抛物线于 A、B 两点,若|AB|=10,P 为抛物线的准线上一点,则△ABP 的 面积为 A.20 C.30 答案 解析 B 本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单 B.25 D.50 ( )

几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.抛物线 y2=2px,直线 l 经过其焦 点且与 x 轴垂直,并交抛物线于 A、B 两点,则|AB|=2p,|AB|=10,所以抛物线 方程为 y2=10x,P 为抛物线的准线上一点,P 到直线 AB 的距离为 p=5,则△ 1 ABP 的面积为2×10×5=25. → → 3. O 为坐标原点, 为抛物线 y2=4x 的焦点, 为抛物线上一点, 设 F A 若OA· AF =-4,则点 A 的坐标为 A.(2,± 2) 2 C.(1,2) 答案 解析 B → 设 A(x0,y0),F(1,0),OA=(x0,y0), B.(1,± 2) D.(2,2 2) ( )

→ → → AF=(1-x0,-y0),OA· =x0(1-x0)-y2=-4. AF 0
2 ∵y0=4x0,∴x0-x2-4x0+4=0?x2+3x0-4=0,x1=1,x2=-4(舍). 0 0

∴x0=1,y0=± 2.

→ → 4.已知坐标原点为 O,A、B 为抛物线 y2=4x 上异于 O 的两点,且OA· = OB → 0,则|AB|的最小值为 A.4 C.16 答案 解析 B → → 1 由于OA· =0,设直线 OA、OB 的方程为 y=kx、y=- kx,分别与 OB 4? ? 2 4 ?2 ? ?4k -k2? +?4k+k?2= ? ? ? ? B.8 D.64 ( )

? 4 4? 抛物线方程联立求得 A?k2, k?,B(4k2,-4k),|AB|= ? ? 4 1 1 k4+k4+k2+k2≥8,故选 B.

1 5.已知抛物线 C 的方程为 x2=2y,过点 A(0,-1)和点(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) ? ? 2? ? 2 B.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 答案 解析 D 1 如下图,设过 A 的直线方程为 y=kx-1,与抛物线方程联立得 x2-2 ( )

1 1 kx+2=0,Δ=4k2-2=0,k=± 2,求得过点 A 的抛物线的切线与 y=3 的交点 2 为(± 2,3),则当过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,实 数 t 的取值范围是(-∞,- 2)∪( 2,+∞),故选 D.

6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上滑动,则线段 AB 中 点 M 到 y 轴距离的最小值是 ( )

l A.2 l C.4 答案 解析 D

l2 B. 2 l2 D. 4

l2 l2 由 l<2p=1,则当 AB⊥x 轴时,x0 取得最小值8p,即 4 .故选 D.

7.直线 l 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 P、Q 两点, 由 P、Q 分别向准线引垂线 PR、QS,垂足分别为 R、S.若|PF|=a,|QF|=b,M 为 RS 的中点,则|MF|的值为 A.a+b C.ab 答案 1 B.2(a+b) D. ab ( )

D 解析 根据抛物线的定义,有|PF|=|PR|,|QF|=|QS|.易知△RFS 为直角三角

形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长. 在直角梯形 PRSQ 中,容易求得 |RS|=2 ab. 1 故|FM|= |RS|= ab. 2 8.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为 ?1 ? A.?4,-1? ? ? C.(1, 2) 答案 A ?1 ? B.?4,1? ? ? D.(1,-2) ( )

解析

焦点 F(1,0),准线为 l:x=-1.过 Q 点作直线 l 的垂线交抛物线于 P

点,交准线 l 于 M 点,则|QP|+|PF|=|QP|+|PM|=|QM|=3 为所求的最小值,此 ?1 ? 时 P?4,-1?. ? ? → → 9.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若FA+FB+ → → → → FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|= A.9 C.4 答案 B B.6 D.3 ( )

解析 C(x3,y3).

焦点 F 坐标为(1,0),设 A、B、C 坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),

→ → → ∴FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FC=(x3-1,y3). → → → ∵FA+FB+FC=0, ∴x1-1+x2-1+x3-1=0. ∴x1+x2+x3=3. → → → ∴|FA|+|FB|+|FC| = ?x1-1?2+y2+ ?x2-1?2+y2+ ?x3-1?2+y2 1 2 3 = ?x1+1?2+ ?x2+1?2+ ?x3+1?2 =x1+1+x2+1+x3+1=6. 10.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的一 → → 点,FA与 x 轴正向的夹角为 60° ,则|OA|为 21p A. 4 23 C. 6 p 21p B. 2 13p D. 36 ( )

答案

B

解析

设 A(x0,y0)(y0>0),

则过 A 作 AB⊥x 轴于 B. p p 则|BF|=x0-2,|AF|=x0+2. 又∵∠AFB=60° ,∴|AF|=2|BF|. 3 ∴x0=2p,y0= 3p.
2 ∴|OA|= x2+y0= 0

21p . 2

11.(2012· 陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水 面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽________米. 答案 解析 2 6 设抛物线的方程为 x2=-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p

=1,所以 x2=-2y.当 y=-3 时,x2=6.所以水面宽为 2 6米. 1 12.已知抛物线 C:y2=x,过点 A(x0,0)(x0≥8)作直线 l 交抛物线于 P,Q(点 P 在第一象限). (1)当过抛物线 C 的焦点,且弦长|PQ|=2 时,求直线 l 的方程; (2)设点 Q 关于 x 轴的对称点为 M,直线 PM 交 x 轴于点 B,且 BP⊥BQ.求 证:点 B 的坐标是(-x0,0),并求点 B 到直线 l 的距离 d 的取值范围. 解析 为 1 x=ny+4,P(x1,y1),Q(x2,y2). ?1 ? (1)由抛物线 C: 2=x 得抛物线的焦点坐标为?4,0?, y 设直线 l 的方程 ? ?

2 ?y =x, ? 由? 1 ?x=ny+4, ?

1 得 y2-ny-4=0.

所以 Δ=n2+1>0,y1+y2=n. 1 1 因为 x1=ny1+4,x2=ny2+4, 1 1 1 所以|PQ|=x1+4+x2+4=x1+x2+2 =n(y1+y2)+1=2. 所以 n2=1,即 n=± 1. 1 1 所以直线 l 的方程为 x-y-4=0 或 x+y-4=0. (2)设 l:x=my+x0(m≠1),P(x1,y1),Q(x2,y2),则 M(x2,-y2). ?x=my+x0, 由? 2 得 y2-my-x0=0. ?y =x, 1 因为 x0≥8,所以 Δ=m2+4x0>0,y1+y2=m,y1y2=-x0. → → 设 B(xB,0),则BM=(x2-xB,-y2),BP=(x1-xB,y1). → → 由题意知,BM∥BP,∴x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2.
2 即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=y1y2+y2y1 2

=(y1+y2)·1y2. y 显然 y1+y2=m≠0,∴xB=y1y2=-x0. ∴B(-x0,0). 由题意知,△BMQ 为等腰直角三角形,∴kPB=1, 即 y1+y2 y1+y2 =1,即 2 2=1. x1-x2 y1-y2

∴y1-y2=1.∴(y1+y2)2-4y1y2=1. ∴m2+4x0=1.∴m2=1-4x0>0. 1 1 1 1 ∴x0<4.∵x0≥8,∴8≤x0<4.

∴d=

2x0 2x0 = = 2 m +1 2-4x0

2 ? 1 ?2 ? 1 ? ?x ? -2?x ? ? 0? ? 0?



2 ? 6 1? ∈? , ?. ? 12 2? 1 ? ? ?x -1?2-1 ? 0 ?

? 6 1? 即 d 的取值范围是? , ?. ? 12 2? 13.在四边形 ABCD 中,已知 A(0,0),D(0,4),点 B 在 x 轴上,BC∥AD, 且对角线 AC⊥BD. (1)求点 C 的轨迹方程; (2)若点 P 是直线 y=2x-5 上任意一点, 过点 P 作点 C 的轨迹的两切线 PE、 PF,E、F 为切点,M 为 EF 的中点.求证:PM⊥x 轴; (3)在(2)的条件下, 直线 EF 是否恒过一定点?若是, 请求出这个定点的坐标; 若不是,请说明理由.

解析

→ (1)如右图,设点 C 的坐标为(x,y)(x≠0,y≠0),则 B(x,0),AC=(x,

→ → → 1 y),BD=(-x,4),∵AC⊥BD,∴x· (-x)+y· 4=0,即 y=4x2(x≠0). ∴所求的轨迹是除去顶点的抛物线. 1 1 (2)对函数 y=4x2 求导,得 y′=2x. 1 ? 1 ? 设切点为?x0,4x2?,则过该切点的切线的斜率是2x0. 0 ? ? 1 1 该切线方程是 y-4x2=2x0(x-x0). 0 又设点 P 的坐标为(t,2t-5), 1 2 1 ∵切线过点 P,∴有 2t-5-4x0=2x0(t-x0),化简得 x2-2tx0+8t-20=0. 0 1 2? ? 1 2? ? 设 E、F 两点的坐标分别为?x1,4x1?,?x2,4x2?,则 x1、x2 为方程 x2-2tx+ ? ? ? ?

8t-20=0 的两根, x1+x2=2t,x1x2=8t-20. ∴xM= x1+x2 2 =t.

因此, t=0 时, 当 直线 PM 与 y 轴重合, t≠0 时, 当 直线 PM 与 y 轴平行. 因 此可证:PM⊥x 轴. 1 ? 1 1?1 1 1 ? 1 (3)∵yM=2?4x2+4x2?=8[(x1+x2)2-2x1x2]=8[4t2-2(8t-20)]=2t2-2t+5, 2 ? ? 1 ? ∴点 M 的坐标为?t,2t2-2t+5?. ? ? 1 2 1 2 4x1-4x2 1 1 1 又∵kEF= =4(x1+x2)=4· 2t, 2t= x1-x2 ?1 ? 1 ∴直线 EF 的方程为 y-?2t2-2t+5?=2t(x-t), ? ? 即 t(x-4)+10-2y=0.(*) ∵当 x=4,y=5 时,方程(*)恒成立. ∴对任意实数 t,直线 AB 恒过定点,定点坐标为(4,5). x2 y2 3 14.(2013· 江南十校联考)已知椭圆 C1: 4 +b2=1(0<b<2)的离心率为 2 ,抛 物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)过点 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E,F 两点,过 E,F 作抛物线 C2 的切线 l1,l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. 解析 4-b2 c (1)∵椭圆 C1 的长半轴长 a=2,半焦距 c= 4-b2,由 e=a= 2

3 = 2 ,得 b2=1. ∴椭圆 C1 的上顶点为(0,1). ∴抛物线 C2 的焦点为(0,1). ∴抛物线 C2 的方程为 x2=4y. (2)由已知可得直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1, 1 y1),F(x2,y2).由 x2=4y,得 y=4x2.

1 ∴y′=2x. 1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为2x1,2x2. 1 1 当 l1⊥l2 时,2x1·x2=-1,即 x1x2=-4. 2 ?y=k?x+1?, 由? 2 得 x2-4kx-4k=0. ?x =4y, ∴Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0.① 由 x1x2=-4k=-4,得 k=1,满足①式, ∴直线 l 的方程为 x-y+1=0.

1.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,抛物线 准线与 x 轴交于 C 点,若∠CBF=90° ,则|AF|-|BF|的值为 p A.2 C. 3p 2 D 如图,设 B(x1 ,yB)在直角三角形 CBF 中利用射影定理得 y 2 = B B.p D.2p ( )

答案 解析

2 5-2 5-1 p? ?p ? ? p ?x1+2?·2-x1?= -x2=2px1,x1= ? p,|BF|= 2 p,又直角三角形 CBF 1 2 ? ?? ? 4

5+3 |AF| |DF| |AF|-p 与直角三角形 ADF 相似,∴ p = |BF| = |BF| ,|AF|= 2 p,则|AF|-|BF| 的值为 2p,故选 D.

2.(2013· 衡水调研卷)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为

( A.y2=± 4x C.y2=4x 答案 解析 B B.y2=± 8x D.y2=8x

)

a 由题可知抛物线焦点坐标为(4,0),于是过焦点且斜率为 2 的直线方

a a 1 |a| |a| 程为 y=2(x-4),令 x=0,可得 A 点坐标为(0,-2),所以 S△OAF=2· · =4. 4 2 ∴a=± 8,故选 B. 3.(2013· 粤西北九校联考)已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ,点 R 在直 → 1 → → 线 PQ 上,且满足OR=2(OP+OQ),R 在抛物线准线上的射影为 S,设 α、β 是 △PQS 中的两个锐角,则下列四个式子中不一定正确的是 A.tanαtanβ=1 B.sinα+sinβ≤ 2 C.cosα+cosβ>1 α+β D.|tan(α-β)|>tan 2 答案 解析 D π π 由 题 意 ∠ PSQ = 2 , α + β = 2 , 所 以 A.tanαtanβ = 1.B.sinα + ( )

sinβ≤ 2.C.cosα+cosβ>1 都正确. 4.(2012· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦 点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心 3 为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为4. (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; 1 (3)若点 M 的横坐标为 2, 直线 l: y=kx+4与抛物线 C 有两个不同的交点 A, 1 B,l 与圆 Q 有两个不同的交点 D,E,求当2≤k≤2 时,|AB|2+|DE|2 的最小值.

解析

p p (1)依题意知 F(0,2),圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线 y=4上,因抛

p 物线 C 的准线方程为 y=-2, 3p 3 所以 4 =4,即 p=1, 因此抛物线 C 的方程为 x2=2y. x2 0 (2)假设存在点 M(x0, 2 )(x0>0)满足条件,抛物线 C 在点 M 处的切线斜率为 x2 y′|x=x0=( 2 )′|x=x0=x0, x2 0 所以直线 MQ 的方程为 y- 2 =x0(x-x0). 1 x0 1 令 y=4,得 xQ= 2 +4x .
0

x0 1 1 所以 Q( 2 +4x ,4). 0 又|QM|=|OQ|, 1 x0 2 1 x2 2 1 x0 1 0 故(4x - 2 ) +(4- 2 ) =(4x + 2 )2+16. 0 0 1 x2 2 9 0 因此(4- 2 ) =16,又 x0>0, 所以 x0= 2,此时 M( 2,1). 故存在点 M( 2,1),使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M. 5 2 1 (3)当 x0= 2时,由(2)得 Q( 8 ,4), ⊙Q 的半径为 r= 5 2 1 3 6 ? 8 ?2+?4?2= 8 ,

5 2 1 27 所以⊙Q 的方程为(x- 8 )2+(y-4)2=32.

?y=1x2, ? 2 由? 1 ?y=kx+4, ?

整理得 2x2-4kx-1=0.

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

1 由于 Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-2, 所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)(4k2+2).

??x-5 8 2?2+?y-1?2=27, ? 4 32 由? 1 ?y=kx+4, ?
5 2 1 整理得(1+k2)x2- 4 x-16=0. 设 D,E 两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), k2 27 5 2 由于 Δ2= 4 + 8 >0,x3+x4= , 4?1+k2? 1 x3x4=- . 16?1+k2? 所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4] = 25 1 + . 8?1+k2? 4 25 1 2 + . 8?1+k ? 4

因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+

1 5 令 1+k2=t,由于2≤k≤2,则4≤t≤5, 25 1 所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ 8t +4 25 1 =4t2-2t+ 8t +4. 25 1 5 设 g(t)=4t2-2t+ 8t +4,t∈[4,5], 25 因为 g′(t)=8t-2-8t2, 5 5 5 所以当 t∈[4,5]时,g′(t)≥g′(4)=6,即函数 g(t)在 t∈[4,5]上是增函数, 5 13 所以当 t=4时,g(t)取到最小值 2 . 1 13 因此当 k=2时,|AB|2+|DE|2 取到最小值 2 . 5.已知动圆 C 过点 A(1,0),且与直线 l0:x=-1 相切.

(1)求动圆圆心 C 的轨迹 D 的方程; (2)设圆心 C 的轨迹在 x≤4 的部分为曲线 E,过点 P(0,2)的直线 l 与曲线 E → → 交于 A,B 两个不同的点,且PA=λPB(λ>1),试求 λ 的取值范围. 解析 (1)设动圆圆心 C 的坐标为(x,y),圆心 C 到直线 l0 的距离为 d,由题

意可知|CA|=d,故由抛物线的定义可知动圆圆心 C 的轨迹 D 的方程为 y2=4x. (2)易知曲线 E 的方程为 y2=4x(x≤4),显然当直线 l 的斜率为零或不存在时 不符合题意, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+2(k≠0). → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由PA=λPB(λ>1)知 x1=λx2,
2 ?y =4x, 且 0<x2≤4,0<x1≤4.由? ?y=kx+2,

消去 y,得 k2x2+4(k-1)x+4=0, (*) 则方程(*)在[0,4]内有两个不相等的实数根. 记 f(x)=k2x2+4(k-1)x+4,

?f?0?=4>0, ? 则?f?4?=4?4k +4k-3?>0, ?0<2?1-k?<4, ? k
Δ=16?k-1?2-16k2>0,
2 2

3 从而可得 k<-2.

4?1-k? 4 由根与系数的关系可知 x1+x2= k2 ,x1x2=k2. 又 x1=λx2,所以 ?1+λ?2 4?1-k?2 1 = k2 =4(k-1)2. λ

3 2 1 1 25 而 k<- ,所以- < <0,故可得 1<( -1)2< . 2 3 k k 9 ?1+λ?2 100 1 从而可得 4< λ < 9 ,解得9<λ<1 或 1<λ<9. 又 λ>1,所以 λ 的取值范围是(1,9). → → 6.已知 A、B 两点在抛物线 C:x2=4y 上,点 M(0,4),满足MA=λBM. → → (1)求证:OA⊥OB;

(2)设抛物线 C 过 A、B 两点的切线交于点 N. (ⅰ)求证:点 N 在一定直线上; (ⅱ)设 4≤λ≤9,求直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围. 解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=kx+4,与 x2=4y 联立得 x2-4kx

-16=0,Δ=(-4k)2-4(-16)=16k2+64>0, x1+x2=4k,x1x2=-16. → → OA· =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)=(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16= OB (1+k2)(-16)+4k(4k)+16=0, → → ∴OA⊥OB. (2)(ⅰ)过点 A 的切线 1 1 1 y=2x1(x-x1)+y1=2x1x-4x2,① 1 1 1 过点 B 的切线 y=2x2x-4x2,② 2 ?x1+x2 ? 联立①②得点 N? ,-4?. ? 2 ? 所以点 N 在定直线 y=-4 上. → → (ⅱ)∵MA=λBM, ∴(x1,y1-4)=λ(-x2,4-y2).

?x1=-λx2, 联立?x1+x2=4k, ?x1x2=-16.
?1-λ?2 λ2-2λ+1 1 可得 k = λ = =λ+λ -2,4≤λ≤9. λ
2

9 64 ∴4≤k2≤ 9 . -8 直线 MN:y= 2k x+4 在 x 轴的截距为 k, ∴直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围是 3? ?3 8? ? 8 ?-3,-2?∪?2,3?. ? ? ? ?

7.(2012· 课标全国)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一 个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 解析 = 2p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 1 因为△ABD 的面积为 4 2,所以2|BD|· d=4 2,即 1 2p· 2· 2p=4 2,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB= 90° . 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|=2|AB|, 3 3 所以∠ABD=30° ,m 的斜率为 3 或- 3 . 3 3 2 3 当 m 的斜率为 3 时, 由已知可设 n:y= 3 x+b,代入 x2=2py 得 x2- 3 px -2pb=0. 4 p 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ=3p2+8pb=0,解得 b=-6. p |b1| 因为 m 的纵截距 b1=2, |b| =3,所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3 当 m 的斜率为- 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值 为 3. (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|

8.(2013· 孝感统考)如图,曲线 E 是以原点 O 为中心,F1,F2 为焦点的椭圆

的一部分.曲线 W 是以 O 为顶点,F2 为焦点的抛物线的一部分,A 是曲线 E 和 7 5 W 的交点且∠AF2F1 为钝角,若|AF1|=2,|AF2|=2. (1)求曲线 E 和 W 的方程; (2)设点 C 是 W 上一点,若|CF1|= 2|CF2|,求△CF1F2 的面积. 解析 x2 y2 (1)设曲线 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0),

7 5 则 2a=|AF1|+|AF2|=2+2=6,解得 a=3. 7 5 2 设 A(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),则(x0+c)2+y0=(2)2,(x0-c)2+y2=(2)2, 0 3 两式相减得 x0c=2. 5 由抛物线的定义可知|AF2|=x0+c=2, 3 3 则 c=1,x0=2或 x0=1,c=2. 因为∠AF2F1 为钝角, 3 所以 x0=1,c= 不合题意,舍去.当 c=1 时,b=2 2, 2 x2 y2 3 所 以曲线 E 的方程 为 9 + 8 =1(- 3≤x≤ 2 ), 曲线 W 的方程为 y2 = 3 4x(0≤x≤2).

(2)过点 F1 作直线 l 垂直于 x 轴,过点 C 作 CC1⊥l 于点 C1,依题意知|CC1| =|CF2|. 在 Rt△CC1F1 中, 1|= 2|CF2|= 2|CC1|, |CF 所以∠C1CF1=45° 所以∠CF1F2 , =∠C1CF1=45° . 在△CF1F2 中,设|CF2|=r,则|CF1|= 2r,|F1F2|=2. 由余弦定理得 22+( 2r)2-2×2× 2rcos45° 2, =r 解得 r=2,

1 所以 S△CF1F2=2|F1F2|· 1|sin45° |CF 1 =2×2×2 2sin45° =2.


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