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广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)

高二理科数学期末考试试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集 R , M ? x x ? 1, x ? R , N ? ? 1,2,3,4? ,则 (CR M ) ? N 等于 ( A. ?4? B. ?3,4? ) B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 C. ?2,3,4? D. ? 1,2,3,4?

?

?

)

2. f ( x) ? sin x cos x 是(

A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

3. 如果命题“ p 且 q ”是假命题, “ ? q ”也是假命题,则( ) A.命题“ ? p 或 q ”是假命题 B.命题“ p 或 q ”是假命题 C.命题“ ? p 且 q ”是真命题 D.命题“ p 且 ? q ”是真命题 4.用二分法求方程 lg x ? 3 ? x 的近似解,可以取的一个区间是( A. ? 0,1? B. ?1, 2 ? C. ? 2,3? D. ? 3, 4 ? ) )

5. 以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( A. ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

B. ( x ?1) ? y ? 1
2 2

1 1 2 1 2 D. ( x ? ) ? y ? 4 2 4 6.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是 ?BAD ? 60? 的菱形,且 PA ? PC , PB ? PD , 则该四棱锥的主视图(主视方向与平面 PAC 垂直)可能是( )
C. ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

P D A. A. 充分不必要条件 B. C.
x

C B

D. )

A

7.“ a ? 2 ”是 “函数 f ( x) ? ax ? 2 有零点”的 ( B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.设 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中,真命题为( A.若 a , b 与 ? 所成角相等,则 a // b C.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ? 9.已知函数 f ( x) ?



B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

1 ? ln x ,正实数 a 、 b 、 c 满足 f (c) ? 0 ? f (a) ? f (b) ,若实数 d 是函 x

数 f ( x) 的一个零点,那么下列四个判断:① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可 能成立的个数为( A.1 ) B.2

C.3

D.4

-1-

10.曲线 y ? ? x 3 ? 2 x 在横坐标为 ? 1 的点处的切线为 l ,则点(3,2)到 l 的距离是( )

A.

7 2 2

B.

9 2 2

C.

11 2 2

D.

9 10 10

A

CO 的延长线与线段 AB 11. 如图所示,A, B, C 是圆 O 上的三个点,
交于圆内一点 D ,若 OC ? xOA ? yOB ,则 ( A. 0 ? x ? y ? 1 C. x ? y ? ?1 B. x ? y ? 1 D. ?1 ? x ? y ? 0 )
C B D O

12.设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a2 b2

在点 P ,满足 | PF2 |?| F1 F2 | ,且 F2 到直线 PF 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 渐近线方程为( ) B. 4 x ? 3 y ? 0 C. 3x ? 5 y ? 0 D. 5 x ? 4 y ? 0

A. 3x ? 4 y ? 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a5 ? 8 ,则 S 8 ? 14.曲线 y ? 3 ? 3x 与 x 轴所围成的图形面积为
2

. .

?y ? x ?1 y ? 15. 设实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ? 1 , 则 的取值范围是________. x ? 2 ?y ? 0 ?
16.定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使 得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,则称函数 f ( x) 在 D 上的几何平均数为 C .已知 f ( x) ? x, x ?[2, 4] ,


则函数 f ( x) ? x 在 [2, 4] 上的几何平均数为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)某公司欲招聘员工,从 1000 名报名者中筛选 200 名参加笔试,按笔 试成绩择优取 50 名面试,再从面试对象中聘用 20 名员工. (1)随机调查了 24 名笔试者的成绩如下表所示: 分数段 人数 [60,65) 1 [65,70) 2 [70,75) 6 [75,80) 9 [80,85) 5 [85,90) 1

请你预测面试的切线分数(即进入面试的最低分数)大约是多少?

-2-

(2)公司从聘用的四男 a 、 b 、 c 、 d 和二女 e 、 f 中选派两人参加某项培训,则选派结果 为一男一女的概率是多少?

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图所示. (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 若 f ( ) ?

?
2

) 的部分图象如

?

2

4 ? , 0 ? ? ? ,求 cos? 的值. 5 3

19 . (本题满分 12 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,

PB ? BC ? CA ? 2 , E 为 PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 2 PF ? FA .
(1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦 值.

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ?

2x ?1 1 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? f ( ) ? x ? 0? , x an ?1

? n ? N , 且n ? 2 ? 。
*



(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1? 求实数 t 的取值范围.
n ?1

an an ?1 ,若 T2n ? 4tn2 对 n ? N * 恒成立,

-3-

x2 y2 ? ? 1 的两焦点, P 是椭圆在第一象限弧上一 2 4 a ? R )与椭圆交于 A, B 两 点,且满足 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,若直线 l : y ? 2 x ? m( m ? (0, a] 且
21. (本题满分 12 分)已知 F1 , F2 是椭圆 点, (1)求点 P 的坐标;
y A F1 B x F2 P

6 (2)若 ?PAB 的面积的最大值为 ,求实数 a 的值. 2

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? (1)求 f ( x ) 在区间 [?1,1) 上的最大值;

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 ?a ln x, x ? 1

(2)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P 、 Q ,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?说明理由.

高二理科数学期末考试试题参考答案
CDCCB 13. 32 BADBA CB 15. ?0, ? 2

? 1? 16. 2 2 ? ? 17.解: (1)设 24 名笔试者中有 x 名可以进入面试,依样本估计总体可得: 50 x ? ,解得: x ? 6 ,从表中可知面试的切线分数大约为 80 分. 200 24
14. 4 答:可以预测面试的切线分数大约为 80 分. ????4 分 ( 2 ) 从 聘 用 的 四 男 、 二 女 中 选 派 两 人 的 基 本 事 件 有 :( a , b ) ,( a , c ) , ( a, d ) ,( a , e ) ,( a, f ) ,( b, c ) , ( b, d ) ,( b, e ) ,( b, f ) ,( c, d ) , ( c , e ),( c, f ) ,( d , e ) ,( d , f ) ,( e, f ),共 15 种. ????6 分

-4-

记事件 A:选派一男一女参加某项培训,事件 A 包含的基本事件有 ( a , e ) , ( a, f ) , ( b, e ) ,( b, f ) , ( c , e ),( c, f ) , ( d , e ) ,( d , f ),共 8 种,????8 分 ∴ P ( A) ?

8 .????9 分 15 8 . 15
???10 分

答:选派结果为一男一女的概率为 18.解: (1)由图象知 A ? 1 ???1 分

f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? (
将点 (

?

5? ? 2? ? ) ? ? ,故 ? ? ?2 12 6 T

???3 分

,1) 代入 f ( x) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 , ???4 分 6 3

?

又 | ? |?

?

2

, ∴? ?

?

6

???5 分

故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (2) f ( ) ?

?
6

)

?????????????6 分

?

2

又0 ?? ?

?
3

4 ? 4 , 即 sin(? ? ) ? ,???7 分 5 6 5
,则

?

6 6 2 ? 3 所以 cos(? ? ) ? .???9 分 6 5
又 cos ? ? [(? ?

?? ?

?

?

?

,???8 分

? ? ? ? ? 3 3?4 ???12 分 ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? )sin ? 6 6 6 6 6 6 10 19. (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB ???????1 分 AC ? CB ? BCA ? 90 由 ,可得 ??????????2 分 又∵ PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC ??????????3 分 又 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE ??????????4 分 E PB ? BC PC BE ? PC , 为 中点,∴ ??????????5 分 ∵ ??????????6 分 ∵ PC ? AC ? C , BE ? 平面 PAC
(2)解法 1:如图,以 B 为原点、 BC 所在直线为 x 轴、 BP 为 z 轴建立空间直角坐标系.则 C (2,0,0) , A(2,2,0) , P(0,0,2) , E (1,0,1) ??????????7 分

?

1 2 2 4 BF ? BP ? PF ? BP ? PA ? ( , , ) . ??????????8 分 3 3 3 3 设平面 BEF 的法向量 m ? ( x, y, z) . 2 2 4 由 m ? BF ? 0 , m ? BE ? 0 ,得 x ? y ? z ? 0 , 3 3 3 即 x ? y ? 2 z ? 0 ?????(1) x ? z ? 0 ?????(2)
取 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , m ? (1,1,?1) . 取平面 ABC 的法向量为 n ? (0,0,1) 则 cos ? m, n ?? ?????10 分

m?n m?n

??

3 , 3

-5-

故平面 ABC 与平面 PEF 所成角的二面角(锐角)的余弦值为

3 . 3

????12 分

解法 2:取 AF 的中点 G , AB 的中点 M ,连接 CG, CM , GM , ∵ E 为 PC 的中点, 2 PF ? AF ,∴ EF / / CG . CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF ∵ ∴ CG / / 平面BEF . ?????7 分 又 CG ? GM ? G , 同理可证: GM // 平面BEF .

∴ 平面CMG / / 平面BEF .????8 分 则 平面CMG 与平面 ABC 所成的二面角的平面角(锐角)就等于 平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角) 又 PB ? 底面ABC , AC ? BC ? 2 , CM ? 平面 ABC ∴ CM ? PB ,∴ CM ? AB ????9 分 又∵ PB ? AB ? B ,∴ CM ? 平面 PAB 由于 GM ? 平面 PAB , ∴ CM ? GM 而 CM 为 平面CMG 与平面 ABC 的交线, 又∵ AM ? 底面 ABC , GM ? 平面 CMG

? ?AMG 为二面角 G ? CM ? A 的平面角 ????10 分 1 2 3 根据条件可得 AM ? 2 , AG ? PA ? 3 3 AB 6 在 ?PAB 中, cos?GAM ? ? AP 3 6 在 ?AGM 中,由余弦定理求得 MG ? ????11 分 3 AM 2 ? GM 2 ? AG 2 3 cos?AMG ? ? 2 AM ? GM 3 3 故平面 ABC 与平面 PEF 所成角的二面角(锐角)的余弦值为 . ????12 分 3 1 1 ) ? 2? ? an ?1 ? 2 , ? n ? N * , 且n ? 2 ? 20.解:(1)∵ an ? f ( 1 an ?1 an ?1
又 ∵ a1 ? 1 ,∴数列 ?an ? 是以 1 为首项,公差为 2 的等 差数列. ∴ an ? 2n ? 1 (n ? N ) (2)解法 1: T2n ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ? ? (?1)
2n?1
?

∴ an ? an?1 ? 2 , ?2 分

?4 分

a2n a2n?1 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2n (a2n?1 ? a2n?1 ) a ?a ? ?4(a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n ) ? ?4 ? 2 2 n ? n ? ?2n(3 ? 4n ? 1) ? ?8n 2 ? 4n 2
??8 分

因为 T2n ? 4tn2 恒成立,所以 t ?

?8n ? 4n 1 ? ?2 ? , 2 4n n
2

-6-

又 y ? ?2 ? 故 ?2 ?

1 ? 在 n ? N 单调递增, n

1 ? ?3 ,即 t ? ?3 ????12 分 n 解法 2: a2n?1a2n ? a2n a2n?1 ? a2n (a2n?1 ? a2n?1 ) ? ?4(4n ? 1) ? ?16n ? 4

T2n ? (a1a2 ? a2 a3 ) ? (a3 a4 ? a4 a5 ) ? ? ? (a2n?1a2n ? a2n a2n?1 ) 1? n ? 4 n ? ?8 n 2 ? 4 n ??8 分 ? ?16(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 4n ? ?16n ? 2 ?8n 2 ? 4n 1 ? ?2 ? , 因为 T2n ? 4tn2 恒成立,所以 t ? 2 4n n 1 ? 又 y ? ?2 ? 在 n ? N 单调递增, n 1 故 ?2 ? ? ?3 ,即 t ? ?3 ????12 分 n 21.解: (1)依题意,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ( x0 ? 0, y0 ? 0) , F1 (0, 2 ) , F2 (0,? 2 )
2 2 ∵ PF 1 ? PF 2 ? 1 ,∴ (? x0 , 2 ? y0 ) ? (? x0 ,? 2 ? y0 ) ? x0 ? 2 ? y0 ? 1 ??1 分
2 2 即 x0 ? y0 ? 3 ①,又 P 是椭圆上一点,∴ 2 2 联立①②得, x0 ? 1, y0 ? 2 ,??3 分
2 x0 y2 ? 0 ? 1 ,②??2 分 2 4

又 x0 ? 0, y0 ? 0 ,∴ x0 ? 1, y0 ? 故点 P 的坐标为 (1, 2 ) ??4 分

2

(2)∵直线 AB 的方程为 y ? 2x ? m ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? y ? 2x ? m ? 2 2 联立方程,得 ? x 2 ,消去 y 得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 ??5 分 y2 ? ?1 ? 4 ? 2 m2 ? 4 2 ∴ x1 ? x 2 ? ? ,??6 分 m, x1 x 2 ? 4 2 由 ? ? 0 ,得 m ? (?2 2 ,2 2 ) ,又 0 ? m ? a ,则 0 ? a ? 2 2 ??7 分
易知点 P (1, 2 ) 到直线 AB 的距离为 d ?

m 3



1 AB ? 3 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 3(4 ? m 2 ) 2 1 1 2 ∴ S ?PAB ? AB ? d ? m (8 ? m 2 ) ??8 分 2 8 1 2 2 令 t ? m ,则 0 ? t ? a , S ?PAB ? t (8 ? t ) 8 2 令 g (t ) ? t (8 ? t ) ( 0 ? t ? a ) , g (t ) 是二次函数,其图象是开口向下的抛物线, 对称轴为 t ? 4 ,且 g (4) ? 16 ??9 分
又 ?PAB 面积的最大值为

6 时, g (t ) 也有最大值为 12 ? g (4) ? 16, 2
-7-

故 a ? 4 ,??10 分
2

∴ g (t ) 在 (0, a 2 ] 单调递增,∴ g (t ) max ? g (a 2 ) ? a 2 (8 ? a 2 ) ? 12??11 分 解得 a ? 2 或 a ? 6 (舍去)
2 2

∴当 a ? 2 ,即 a ?
2

2 (满足 0 ? a ? 2 2 )时, ?PAB 面积的最大值为

6 。 2
??12 分

22.解: (1)∵ f ( x) ? ?

?? x ? x , x ? 1 ?a ln x, x ? 1
3 2
2

当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ?3 x ? 2 x ? ?3 x( x ? ) ,???1 分 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ?

2 3

x
f ' ( x) f ( x)

(?1,0)
递减

2 ,当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 3 2 2 2 (0, ) ( ,1) 0 3 3 3
0 极小值 + 递增 0 极大值 递减 ???3 分

2 4 , f (0) ? 0 3 27 ∴ f ( x ) 在区间 [?1,1) 上的最大值为 2???4 分 (2)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P 、 Q 满足题设要求,则点 P, Q 只能在 y 轴的两侧,
又 f (?1) ? 2 , f ( ) ? 不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0), 则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,显然 t ? 1 .???5 分 ∵ ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, ∴ OP ? OQ ? 0 ,即 ? t ? f (t )(t ? t ) ? 0 . (1)
2 3 2

是否存在两点 P 、 Q 等价于方程(1)是否有解.???6 分 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 , 代入(1)式得,

? t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0, 即 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0, , 而此方程无实数解,因此 t ? 1 .???8 分 ∴ f (t ) ? a ln t ,代入(1)式得, 1 ? t 2 ? (a ln t )(t 3 ? t 2 ) ? 0, 即 ? (t ? 1) ln t . (*)???9 分 a 1 考察函数 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) ,则 h ?( x) ? ln x ? ? 1 ? 0 , x ∴ h( x) 在 [1,??) 上单调递增,∵ t ? 1 ,∴ h(t ) ? h(1) ? 0 , 当 t ? ??时, h(t ) ? ?? ,∴ h(t ) 的取值范围是 (0,??) .???11 分 ∴对于 a ? 0 ,方程(*)总有解,即方程(1)总有解. 因此对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上总存在两点 P 、 Q ,使得 ?POQ 是以 O 为
直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.???12 分

-8-


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