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重庆市高三数学上学期期末试卷理(含解析)

重庆市 2015 届高三上学期 期末数学试卷(理科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知等比数列{an}中,a1=1,a3=4,则 a2=() A. 2 B. C. ±2 2. (5 分)“a>b”是“a+1>b”的() A. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. ± B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 k 3. (5 分) 已知集合 A={x|x=2n, n∈Z}, B={x|x=2n+1, n∈Z}, i 是虚数单位, 若 k∈Z 且 i ∈{﹣ 1,1},则() A. k∈A B. k∈B C. k∈A∩B D. k∈? 4. (5 分)若数据 x1,x2,…,x10 的均值为 ,标准差为 σ ,则数据 2x1+1,2x2+1,…,2x10+1 的均值和标准差分别为() A. 和 2σ B. 2 +1 和 2σ +1 C. 2 +1 和 2σ 2 2 D. 2 +1 和 4σ 5. (5 分)记集合 A={(x,y)| }、B={(x,y)|x +y ≤1}构成的平面区域分别为 M、N,现随机地向 N 中抛一粒豆子(大小忽略不计) ,则该豆子落入 M 中的概率为() A. B. C. D. 6. (5 分)在△ABC 中, A. 等腰三角形 ? = ? ,则△ABC 一定是() C. 直角三角形 D. 钝角三角形 B. 锐角三角形 7. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 -1- 8. (5 分) (1)当 x=x0 时,函数 f(x)= 取得最大值,则 cos2x0 的值为() A. ﹣1 B. ﹣ C. 0 D. 1 9. (5 分)对任意实数 x 定义:2 为 x 的幂数,已知 a,b,c∈R,若 a,b 的幂数之和与 a,b 之和的幂数相等,且 a,b,c 的幂数之和与 a,b,c 之和的幂数也相等,则 c 的最大值为() A. 2﹣log23 B. log32 C. 1 D. log23 x 10. (5 分)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点和右焦点分别为 A(a,0) 、F(c, 0) ,若在直线 x=﹣ A. (1, ] 上存在点 P 使得∠APF=30°.则该双曲线的离心率的取值范围是() B. [ ,+∞) C. (1,4] D. [4,+∞) 二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 11. (5 分)已知函数 f(x)=2x﹣lnx 的导函数为 f′(x) .则 f′(2)=. 12. (5 分)有 4 名优秀大学毕业生被某公司录用,该公司共有 5 个科室,由公司人事部门安 排他们到其中任意 3 个科室上班,每个科室至少安排一人,则不同的安排方案种数为. 13. (5 分)已知函数 f(x)= 根的个数为. ,则方程 f(x)=2x 在[0,2015]内的 选做题(共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 14. (5 分) 已知圆 O 的半径为 1, 过圆外一点 P 作圆 O 的割线与圆 O 交于 C、 D 两点, 若 PC?PD=8, 则线段 PO 的长度为. 选做题(共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) -2- 15. (5 分)已知点 P 在曲线 C1: (θ 为参数)上运动,以坐标原点为极点, x 的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 L 的极坐标方程为 ρ cos(θ + 运动,则|PQ|的最小值是. )= ,点 Q 在 L 上 选做题(共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 16.若关于 x 的不等式|x﹣2|+|x+a|≥3 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是. 六、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 2 2 17. (13 分)已知命题 p:关于 x 的方程 x +ax+4﹣a =0 有一正一负两实数,命题 q:函数 f(x) = x ﹣ax﹣1 在(﹣∞,1]上为减函数,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18. (13 分)重庆 Z 中学为筹备参加“汉字听写比赛”,对初二年级的 400 名同学进行了一次 模拟听写比赛.每位同学听写 150 个字,听写正确 130 个字以上(含 130 个)的同学才可以 参加市级决赛.据统计,该年级同学在摸底听写比赛中听写正确的字数的频率分布直方图如 图. (Ⅰ)根据频率分布直方图,该校可以参加市级决赛的同学有多少人?假设同一组中的每个 数据用该组区间的中点值代替,估算这 400 名同学平均听写正确的字数; (Ⅱ)重庆 Z 中学在可以参加市级决赛的同学中派 1 人参加市级决赛,按决赛规定:每人最 多有 5 次听写机会,累计听写正确 3 个字或听写错误 3 个字即终止.设参加决赛的这名同学 每个字听写正确的概率相同,且相互独立,若该同学连续两次听写错误的概率是 ,求该同学 在决赛中听写正确的字数 X 的分布列及数学期望. 2 19. (13 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,且 cosC= ,5(a +b )﹣6ab=20. (Ⅰ)求 c; (Ⅱ)当△ABC 的面积最大时,求 sinA. 2 2 -3- 20. (12 分)已知曲线 f(x)=a(x﹣1) +blnx(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线的斜 率为 1. (Ⅰ)若函数 f(x)在[2,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 x∈[1,+∞)时,不等式 f(x)≤x﹣1 恒成立,求 a 的取值范围. 2 21. (12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 .A 为椭圆 C 上一动点(A 异 于左、右顶点) ,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,且△AF1F2 面积的最大值为 1;

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