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等比数列课件


仁智教育 一.等比数列
1.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列 叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0). - 2.等比数列的通项公式:an=a1qn 1. 3.等比中项的定义 如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,且 G=± . 4.一般地,如果 m,n,k,l 为正整数,且 m+n=k+l,则有 am·n=ak·l,特别地,当 m a a 2 +n=2k 时,am·n=ak. a 5.在等比数列{an}中,每隔 k 项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为 等比数列. 1 bn 6.如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为 q1,q2,那么数列{an},{an·n},{an},{|an|} b 1 q2 仍是等比数列,且公比分别为q1,q1q2,q1,|q1|.

二.等比数列前 n 项和
1.等比数列前 n 项和公式: (q≠1 (1)公式:Sn=na1 (q=1. (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. a1 2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn=1-q(1-qn)=A(qn-1).其中 a1 A=q-1. 3.推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数 列对应项积的前 n 项和. 4.(1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成等比数列.(注意:q≠-1 或 m 为奇 数) (2)Sm+n=Sm+qmSn(q 为数列{an}的公比). S偶 (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则S 奇=q.

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仁智教育 一.选择题
1.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于( ) A.64 B.81 C.128 D.243 2.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 3.一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为( ) 5 A.3 4 B.3 3 C.2 1 D.2

a3+a5 4.若正项等比数列{an}的公比 q≠1,且 a3,a5,a6 成等差数列,则a4+a6等于( ) 5-1 A. 2 1 C.2 5+1 B. 2 D.不确定

5.已知各项为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于( ) A.5 B.7 C.6 D.4 a c 6.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则m+n=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7. 在由正数组成的等比数列{an}中, a4a5a6=3, 3a1+log3a2+log3a8+log3a9 的值为( ) 若 log 4 A.3 3 B.4 C.2 4 D.33

a5 8.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·8=6,a4+a6=5,则a7等于( ) a 5 A.6 6 B.5 2 C.3 3 D.2

9.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 10.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3+a4+a5 等于( ) A.33 B.72 C.84 D.189 1 11.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{an}的前 5 项和为( ) 15 A. 8 或 5 31 B.16或 5 31 C.16 15 D. 8

12.在等比数列中,S30=13S10,S10+S30=140,则 S20 等于( ) A.90 B.70 C.40 D.30

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13.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,那 么 an 等于( ) - A.2n-1 B.2n 1-1 C.2n+1 D.4n-1 14.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a 等于( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4

二.填空题
1.首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48,第 2n-3 项是 192,则 n=________. 2.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是________. 3.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=________. a2-a1 4.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 b2 的 值是________. - 5.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3n 1+t,则 t=________. 6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为________. 7.在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12=________. 8.已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,Sn=54,S2n=60,求 S3n=________. 9.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 2 个伙伴;第 2 天,3 只蜜蜂飞出去, 各自找回了 2 个伙伴??如果这个找伙伴的过程继续下去, 6 天所有的蜜蜂都归巢后, 第 蜂 巢中一共有_______只蜜蜂. 10.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为________.

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数列求和的方法
1、公式法:
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运 用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式: Sn ?

n ? a1 ? an ? 2

? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d

? na1 ? q ? 1? ? ②等比数列求和公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q 1? q ? n(n ? 1) 常见的数列的前 n 项和: 1 ? 2 ? 3 ?……+n= , 1+3+5+??+(2n-1)= n 2 2
n(n ? 1)(2n ? 1) ? n( n ? 1) ? , 13 ? 23 ? 33 ?……+n3 = ? 等. 1 ? 2 ? 3 ?……+n = 6 ? 2 ? ?
2
2 2 2 2

2、倒序相加法:
类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 ? an ? ,与首末两项等距 的两项之和等于首末两项之和, 可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加, 就得到一个常 数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例1、 已知函数 f ? x ? ?

2x 2x ? 2

(1)证明: f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1 ; (2)求 f ?

?1? ?? ? 10 ?

? 2? f ? ? ??? ? 10 ?

? 8? f ? ?? ? 10 ?

? 9? f ? ? 的值. ? 10 ?

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3、错位相减法:
类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。 若数列各项是由一个等差数列和一个等 比数列对应项相乘得到,即数列是一个“差·比”数列,则采用错位相减法. 若 an ? bn ? cn ,其中 ?bn ? 是等差数列, ?cn ? 是公比为 q 等比数列,令

Sn ? b c? b c ? ? 1 1 2 ? 2
则 qS n ?

n ?

b

1n ?

c1 ?

n

bn c

b1c2 ? b2c3 ? ? ? bn?1cn ? bn cn ?1

两式相减并整理即得 例 2、已知 an ? n ? 2n ?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

变式.求和:

4、裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一 些正负项相互抵消, 于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和, 这一求和方法称为裂项相消 法。适用于类似 ?

?

c ? ? (其中 ?an ? 是各项不为零的等差数列, c 为常数)的数列、部分 ? an an ?1 ?

无理数列等。用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法: (1)

1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ,特别地当 k ? 1 时, n ?n ? k ? k ? n n ? k ? n ? n ? 1? n n ? 1
1 1 ? n?k ? n k

(2)

?

n ? k ? n ,特别地当 k ? 1 时

?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

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例 3、数列 ? an ? 的通项公式为 an ?

1 ,求它的前 n 项和 S n n(n ? 1)

针对训练 5、求数列

1 1 1 1 , , ,? , ,? 的前 n 项和 S n . 1? 2 2 ? 3 3 ? 2 n ? n ?1

5、分组求和法:
有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
?1 ?2 ?3 ?n 例 4、求和: S n ? 2 ? 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 6 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 3 ? 5

?

? ?

? ?

?

?

?

2 3 n 针对训练 6、求和: S n ? ? a ? 1? ? a ? 2 ? a ? 3 ? ? ? a ? n

?

? ?

?

?

?

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变式练习
2 2 2 1.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2 -1,则 a12 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n =________________.


2.设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1)n (2n ? 1) ,则 S n =_______________________.

3.

1 1 1 ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

.

4.

1 1 1 1 =__________ ? ? ? ... ? 2 ? 4 3?5 4 ? 6 (n ? 1)(n ? 3)

5. 数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),?,(1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ),? 的通项公式 an ?

,前 n 项和

Sn ?

6

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 , ?, n , ?; 的前 n 项和为_________ 2 2 2 2

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