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2014高三数学模拟试卷答案

东莞一中 2014 高三数学(文科)模拟试卷参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D 7 D 8 D 9 B 10 C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.0 12. (1,??) 13.

(1 ? 3 )? 24

14.

16 7

15. (1,2)

三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? cos x ? sin x cos x
2

?
?????2 分

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2

??????

?

2 2 2 1 ( sin 2 x ? cos2 x) ? 2 2 2 2 2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2
??????

?

????? 4 分 ∵ ? 1 ? sin( 2 x ? ∴

?
4

) ? 1,
的 最 大 值 为

f ( x)

2 1 ? . 2 2
(2)∵ f ( ∴

????????????? 6 分

A ? ? ) ? 1, 2 8

2 A ? ? 1 sin[2( ? ) ? ] ? ? 1 , 2 2 8 4 2
即 ∴

??????????????7 分

sin( A ?

?
2

)?

2 , 2

cos A ?

2 . 2
∵ A 为 ?ABC 的内角, ∴

??????????????9 分

sin A ?

2 . 2
∵ AB ? AC ? 3 , ∴

??????????????10 分

?ABC







S?

1 ? AB ? AC ? s 2

A?

9 2 . i 4

???????????? 12 分 n

17. (本小题满分 12 分) 解 : ( 1 )

6



















1 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 7.5 6
∴ 该 市 的

????????????3 分 合

总 体 交 通 状 况 等 级 为 格. ????????????5 分 (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 ”.

从 6 条道路中抽取 2 条的得分组成的所有基本事件为: (5,6) , (5,7) , (5,8) ,

(5,9) , (5,10) , (6,7) ,(6,8) ,(6,9) ,(6,10) ,(7,8) ,(7,9) ,(7,10) ,(8,9) ,(8,10) ,(9,10) ,
共 15 个 基 件. 本 ????????????8 分 事件 A 包括 (5,9) , (5,10) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) 共 7 个基本 事件,?10 分 ∴ P ( A) ? 事

7 . 15 7 .?????? 15

答: 该样本平均数与总体平均数之差的 绝对值不超过 0.5 的概率为 12 分. 18. (本小题满分 14 分) 证明: (1)如图,取 AC 中点 O ,连结 SO , BO .???1 分 ∵ SA ? SC , ∴ SO ? AC . ?????????3 分 又∵ ?ABC 是正三角形,

S

N . C

O
A

. M

B

∴ BO ? AC . ∵ SO ? BO ? O ,

??????????5 分

∴ AC ⊥平面 SOB . ??????????6 分 又∵ SB ? 平面 SOB , ∴ AC ⊥ SB . ??????????7 分 解: (2)∵ M 是 AB 的中点, ∴

S ?CMB ?

1 1 1 3 3 3 . S ?ABC ? ? ? 2 3 ? 2 3 ? ? 2 2 2 2 2

???????????9 分

ABC .

∵平面 SAC ⊥平面 ABC , SO ? AC , SO ? ∴ 平 ??????????10 分 又∵ SA ? 2 , AO ? 3 , ∴ SO ? 1 ,即点 S 到平面 ABC 的距离为 1. ∵ N 是 SB 的中点, N ABC ∴ 点 到 平 面











1 . 2


????????????12 分

1 3 3 1 3 VB ?CMN ? VN ?CMB ? ? ? ? 3 2 2 4
19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可得, c ? 1 , a ? 2 , ∴

????????????14 分

b? 3.
∴ 所 求 的 椭 圆 的 标

????????????2 分 准 方 程 为 :

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

????????????4 分

(2)设 M ( x0 , y0 ) (x0 ? ?2) ,则

x0 2 y0 2 ? ?1 . 4 3
?5 分 且



???????????

MP ? (t ? x0 ,? y0 )
????????????6 分



MH ? (2 ? x0 ,? y0 ) ,

由 MP ? MH 可得 MP ? MH ? 0 ,即 ∴ ② (t ? x0 )(2 ? x0 ) ? y0 ? 0 . 由①、②消去 y0 整理得 1 2 t (2 ? x0 ) ? ? x0 ? 2 x0 ? 3 . 4 ?????9 分 ∵ x0 ? 2 , ∴
2

????????????7 分

???????

1 1 3 t ? ? (2 ? x0 ) ? 1 ? x0 ? . 4 4 2
∵ ? 2 ? x0 ? 2 , ∴ ? 2 ? t ? ?1 . ∴ (?2,?1) .

????????????11 分

t



????????????13 分 取 值 范 围 为 ????????????14 分

20. (本小题满分 14 分) 解 : ( 1 ) 函 数

f ( x) ? m ln x ?

1 2 x 2











(0,??) .
? f / ( x) ?
?m ? 2

????????????1 分

m ? x ,由 f / (1) ? 1 得 m ? 1 ? 1 , x
, ????????????2 分 即

f / ( x) ?

2 2 ? x2 ?x? . x x


f / ( x) ? 0





x? 2



x?? 2





去) .

????????????3 分
/ 当 x ? (0, 2 ) 时 , f ( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0, 2 ) 上 是 增 函 数 ; [ 来

源:Z§xx§k.Com]
/ 当 x ? ( 2,??) 时 , f ( x) ? 0 , ? f ( x) 在 ( 2 ,??) 上 是 减 函

数.????????5 分

? 函 数
( 2 ,??) .

f ( x)

的 增 区 间 是

(0, 2 ) , 减 区 间 是

???????????6 分

(2)由(1)可知 f ( x ) ? 2 ln x ? ∴

1 2 x , 2

g ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? 3x ? c ,
分 ∴

???????????7

g / ( x) ?

2 ? 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 2x ? 3 ? . x x


???????????8 分

g / ( x) ? 0





x?2



x??

1 2





去).

???????????9 分 当 x ? [1,2) 时, g / ( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 [1,2) 上单调递增; 当 x ? (2,3] 时 , g / ( x) ? 0 , 则 g ( x) 在 (2,3] 上 单 调 递

减.

??????????10 分 又 ∵ 函 数

g ( x) 在 [1,3] 有 两

个 零 点 等 价 于 :

? g (1) ? 0 ? ? g ( 2) ? 0 , ? g (3) ? 0 ?


??????????12 分

?2 ? c ? 0 ?c ? 2 ? ? ?2 ln 2 ? 2 ? c ? 0 ? ?c ? 2 ln 2 ? 2 ? 2 ln 3 ? c ? 2 ln 2 ? 2 , ?2 ln 3 ? c ? 0 ?c ? 2 ln 3 ? ?

?????13 分

?





c













[2 ln 3, 2 ln 2 ? 2) .
21. (本小题满分 14 分) 解: (1) a n ?1 ?

???????????14 分

4 n?1 4 n?1 3 ? 4 n ? 3a n ? ? ?3a n ? ? 4 n 7 7 7
???????????1 分

4n ? ?3(a n ? ) , 7
a1 ?
分 当 k?

4 4 3 ? 1 ? 3k ? ? ? 3k . 7 7 7

???????????2

1 4 4n 时 , a1 ? ? 0 , 则 数 列 {a n ? } 不 是 等 比 数 7 7 7

列; ???????????3 分

1 4 4n 当 k ? 时 , a1 ? ? 0 , 则 数 列 {a n ? } 是 公 比 为 ? 3 的 等 比 数 7 7 7

列.???????4 分 (2)由(1)可知当 k ?

1 4n 3 ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 , 时, a n ? 7 7 7
???????????6 分 ,

3 4n a n ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 ? . 7 7 1 k? 当 时 7
式, 所 以 , 数

4n an ? 7











???????????7 分 列

?an ?













3 4n a n ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 ? . ???????????8 分 7 7 4n?1 ? 3 4n ? 3 n n ?1 ? ? (3) an?1 ? an ? ? ? ? 3k ? ? ?3? ? ? ? ? 3k ? ? ?3? 7 ?7 7 ?7 ? ?

3 ? 4n 12 ? ? ?3? n ?1 ? ? ? 12 ? ? ?3? k . 7 7 ∵ ?an ? 为递增数列,
n ?1

???????????9 分

∴ 立.

3 ? 4n 12 ? ? ?3? ? 7 7

n ?1

? 12 ? ? ?3?

n ?1

k ?0





???????????11 分 ①当 n 为奇数时, 有
n ?1 3 ? 4n 12 ? 3n ?1 1 ? ?4? ? ? ? 12 ? 3n ?1 k ? 0 , 即 k ? ?1 ? ? ? ? 恒 7? 7 7 ? ?3? ? ?

成立, 由

k ? 0.

?4? 1? ? ? ?3?

n ?1

? 4? ? 1? ? ? ? 3?

1?1

?0



???????????12 分 ②当 n 为偶数时, 有
n ?1 1 ? ?4? ? 3 ? 4n 12 ? 3n ?1 ? ? 12 ? 3n ?1 k ? 0 , 即 k ? ?1 ? ? ? ? 恒 7? 7 7 ? ?3? ? ?

成立, 由

?4? 1? ? ? ?3?

n ?1

?4? ? 1? ? ? ?3?

2?1

?

7 3





1 k? . 3

???????????13 分

故 k 的取值范围是 ? 0, ? .

? 1? ? 3?

???????????14


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