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高中数学人教版必修1知识点总结梳理

一 集合
1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的对象的全体。 2、集合的中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。 3、集合的表示:
(1)用大写字母表示集合:A,B… (2)集合的表示方法: a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} b、 描述法: 集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合, ?x ? R x ? 2 ? 3? c、维恩图:用一条封闭曲线的内部表示.

4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 ? 5、元素与集合的关系: a ?A; a ? A ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集:(即自然数集)N 正整数集: N*或 N+ 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R

6、集合间的基本关系 (1)?包含?关系—子集
定义:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含 关系,称集合 A 是集合 B 的子集。记作: A ? B (或 B ? A) 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分; (2)A 与 B 是同一集合。 ? B 或 B? ?A 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? (2)?包含?关系—真子集 如果集合 A ? B ,但存在元素 x?B 且 x ? A, 则集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A)

(3?相等?关系:A=B ?元素相同则两集合相等?,如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 (4)集合的性质 ① 任何一个集合是它本身的子集,A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③如果 A B 且 B C,那么 A C ④有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

7、集合的运算

运算类型 定 义









由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 A 或属 的 元 素 所 组 成 的 集 合 , 于集合 B 的元素所组成 叫做 A,B 的交集.记作 的集合,叫做 A,B 的并 A ? B(读作‘A 交 B’) 集.记作: A ? B (读作 ‘A 并 B’)

补 集 全集:一般,若一个集合含有我们 所研究问题中的所有元素,我们就 称这个集合为全集,记作:U 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集, 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或 余集)记作 C S A ,

韦恩图示
A B

A

B

S

A

图1

图2



质 A ∩ A=A A ∩Φ=Φ A ∩B=B ? A A ∩B ? A B?B

A U A=A A U Φ=A A U B=B U A A ∩ A U B ?A A U B ?B

CU (CU A) ? A

AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ.

二 函数 1.函数的概念:记法 y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3.函数的表示方法:(1)解析法:(2)图象法:(3)列表法: 4.函数的基本性质 a、函数解析式子的求法 (1)代入法:(2)待定系数法: (3)换元法:(4)拼凑法: b、定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数大于等于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)零次幂式的底数不等于零; (5)分段函数的各段范围取并集; (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使 各部分都有意义的 x 的值组成的集合; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. c、相同函数的判断方法;?定义域一致②对应法则一致

d.区间的概念: e.值域 (先考虑其定义域) 5.分段函数 6.映射的概念 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 注意:函数是特殊的映射。 7、函数的单调性(局部性质) (1)增减函数定义 (2)图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:○ 1 取值;○ 2 作差;○ 3 变形;○ 4 定号;○ 5 结论. (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在 一起写成其并集. 8、函数的奇偶性(整体性质) (1)奇、偶函数定义 (2)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (3)利用定义判断函数奇偶性的步骤: a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则 是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断; b、确定 f(-x)与 f(x)的关系; c、作出相应结论:若 f(-x) = f(x), 则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x),则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.首先看函 数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. (4)函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 (5)若已知是奇、偶函数可以直接用特值 9、 基本初等函数 一、一次函数 二、二次函数:二次函数的图象与性质,注意:二次函数值域求法

三、指数函数 (一)指数 1、有理指数幂的运算法则 2、根式的概念 3、分数指数幂 正数的分数指数幂的
a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a
m
? m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(二)指数函数的性质及其特点
1、 指数函数的概念: 一般地, 函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R.

2、指数函数的图象和性质 a>1
6 5 4

0<a<1
6 5 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 ?0,??? 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

定义域 R 值域 ?0,??? 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

四、对数函数 (一)对数 1. 对数的概念: 一般地, 如果 a x

? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N

的对数,

记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○ 2 ○
log a M ? loga M N

- loga N ;
(n ? R) .

3 loga M n ? n loga M ○ 注意:换底公式
loga b ? logc b logc a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

利用换底公式推导下面的结论

(1) log a

m

bn ?

1 n log a b ;(2) loga b ? m logb a



(三)对数函数 1、 对数函数的概念: 函数 y ? loga x(a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是(0,+∞). 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 ?0,??? 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点 (1, 0)

定义域 ?0,??? 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

五、幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右 边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 10、方程的根与函数的零点 (1) 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ?x ? , 把使 f ?x ? ? 0 成立的实数叫做函数的零点。 (2)函数零点个数的求法:(代数法)求方程的实数根;(几何法)对于不能用 求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. (3)二次函数的零点: ? 判断 (4)二分法可用来求变号零点.


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