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函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳


●高考明方向 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简 单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利 用奇偶函数图象的特点解决相关问题, 利用函数奇偶性求 函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知 识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意:

研究函数奇偶性必须先求函数的定义域
知识点一 函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数.
1

3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于 y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若 f(x)是奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f (0) ? 0 . 3. 若 f(x)为偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) . 《名师一号》P19 问题探究 问题 1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于 原点对称. 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个 必要条件. (2)判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个 x, 均有 f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x), 而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). (补充) 1、若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的
既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
2

2)其次要考虑

f ? x ? 与 f ? ? x ? 的关系,

也可以用定义的等价形式: , f ( x) ? f (? x) ? 0 (对数型函数用)

f ( x) ? ?1(指数型函数用) . f (? x )
3)分段函数应分段讨论 (2)图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断. (3)复合函数奇偶性的判断 若复合函数由若干个函数复合而成, 则复合函数可依 若干个函数的奇偶性而定,概括为 “同奇为奇,一偶则偶”. 注意:证明函数的奇偶性的方法只有定义法 知识点三 函数的周期性 1.周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就 称函数 y=f(x)为周期函数,称非零常数 T 为这个函数的 周期. 2.最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正 数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 并不是任何周期函数都有最小正周期, 如常量函数 f ( x) ? a( x ? R) ;
3

3.几个重要的推论 ( 1) 《名师一号》P19 若函数 则

问题探究

问题 3

f ( x) 恒满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) (a ? 0) , f ( x) 是周期函数, 2 a 是它的一个周期; f ( x) 恒满足 f ( x ? a) ?
1 (a ? 0) , f ( x) 1 (a ? 0) , f ( x)

若函数 则

f ( x) 是周期函数, 2 a 是它的一个周期;

若函数 则

f ( x) 恒满足 f ( x ? a) ? ?

f ( x) 是周期函数, 2 a 是它的一个周期;

(补充)若函数 f ( x ) 恒满足 f ( x ? a) ? f ( x ? b) , 则

f ( x) 是周期函数, a ? b

是它的一个周期;

(2)(补充)注意区分: 若 f (a ? x) ? f (a ? x) (或 f ( x) ? f (2a ? x) ) 则函数 f ( x ) 关于 x ? a 对称。 若 f ( x) ? ? f (2a ? x) 则函数 f ( x ) 关于点 推广:若函数

? a, 0 ? 对称。
a?b 。 2
4

f ( x) 恒满足 f (a ? x) ? f (b ? x)

则 f ( x ) 图象的对称轴为 x ?

(3)(补充) 已知奇函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称, 若偶函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称,

则 f ? x ? 是周期函数,且 4a 为其中的一个周期 则 f ? x ? 是周期函数,且 2a 为其中的一个周期

二、例题分析: (一)证明(判断)函数的奇偶性 例 1. (补充) 判断下列函数的奇偶性. 2+x (1)f(x)=(2-x) . 2-x

?x+2 x (2)f(x)=? ?-x+
(3)f(x)= 1 1 + a -1 2
x

x<- . x (a>0 且 a≠1)

解析: 2+x (1)由 ≥0 得定义域为[-2,2),关于原点不对称, 2-x 故 f(x)为非奇非偶函数.
5

(2)x<-1 时,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). x>1 时,-x<-1,f(-x)=-x+2=f(x). -1≤x≤1 时,f(x)=0,-1≤-x≤1, f(-x)=0=f(x). ∴对定义域内的每个 x 都有 f(-x)=f(x). 因此 f(x)是偶函数. (3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}, 其定义域关于原点对称,并且有 1 1 1 1 ax 1 f(-x)= -x + = + = x+ 2 1-a 2 a -1 2 1 x-1 a x -a -1 1 1 1 =- + =-1+ x x+ 2 1-a 1- a 2 1? ? 1 =-?ax-1+2?=-f(x). ? ? 即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (4)(补充) 函数 y ? A. x 轴对称 C.原点对称

9 ? x2 的图象关于 | x ? 4| ? | x ?3| B. y 轴对称





D.直线 x ? y ? 0 对称

答案:B
6

注意:(补充) 1.如何判断函数奇偶性: 第一,求函数定义域,看函数的定义域是否关于原点 对称,若不对称,则该函数为非奇非偶函数. 第二, 若定义域关于原点对称, 函数表达式能化简的, 则对函数进行适当的化简,以便于判断,化简时要保持定 义域不改变; 第三,利用定义进行等价变形判断. 第四,分段函数应分段讨论,要注意据 x 的范围取相 应的函数表达式或利用图象判断. 2.分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观. (3)验证 f(-x)+f(x)=0 更方便些.

温故知新 P13 知识辨析 2(1) (2) (1) f ( x) ? log 2 x ? x 2 ? 1 (2) f ( x) ? ? x ? 1?

?

?

既不是奇函数也不是偶函数(
1? x 是偶函数( 1? x

) )

答案: (1)奇函数(2)非奇非偶 注意: 1、关注定义域 2、利用函数奇偶性定义的等价形式:
7

, f ( x) ? f (? x) ? 0 (对数型函数用) f ( x) ? ?1(指数型函数用) f (? x ) 练习:(补充)判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ?
lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2
2 ? ?x ? x 2 ? ?x ? x

(2) f ( x) ? ?

? x ? 0? ? x ? 0?

(3) f ( x) ? 3 ? x2 ? x2 ? 3
2 (4) f ( x) ? x ? x ? a ? 2

(5) f ( x ) ?

2x ? 1 2x ? 1

答案: (1)奇 (2)偶 (3)既奇又偶 (4) a ? 0 偶; a ? 0 非奇非偶 f (a) ? f ? ?a ?
f (a) ? f ? ?a ? ? 0

注意:否定函数奇偶性: 只须说明在定义域 D 中,

?x0 ? D ,使 f (? x0 ) ? ? f ? x0 ?

(5)证明:函数 f ? x ? 的定义域为 R,
8

且 f ( x) ?

2x ? 1 2 ?1? x ,所以 2x ? 1 2 ?1 2 2 2 2 f (? x) ? f ( x) ? (1 ? ? x ) ? (1 ? x ) ? 2 ? ( x ? ?x ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 x 2 2? 2 2 x( ? 2 1) ? 2? ( x ? x ) ? ? 2 x ? ?2 ? 2 . 0 2 ?1 2 ? 1 2 ? 1 即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数.

(二)函数奇偶性的应用 1、已知函数奇偶性,求值 例 1.(1) 《名师一号》P19

对点自测

4(2)

1 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+x, 则 f(-1)=-2.( )

例 1.(2)(补充)已知函数 f ( x ) ? lg 若 f (a ) ? A.

1? x , 1? x

1 ,则 f (?a) 等于( ) 2
C. 2 D. ? 2

1 2

B. ?

1 2

9

答案:B 注意:(补充) (1) 一般关于 f (a) 与 f (?a) 的值或关系的问题 首先考虑奇偶性。 (2) 已知函数的奇偶性注意利用 f ? x ? 与 f ? ? x ? 的关系 温故知新 P23 第 3 题 (2013 辽宁)已知函数 f ( x) ? log 2

?

1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1 ,

?

1 则 f (lg 2) ? f (lg ) ? 2 《名师一号》P19 变式思考 1(2)
f ( x) ? x2 ? x ? 1 2 ,若 f ? a ? ? ,则 f ? ?a ? ? 2 x ?1 3

练习:(补充) 已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数, 若 f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ? _______ 答案: 17

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2、已知函数奇偶性,求参数的值或取值范围 例 1.《名师一号》P19 对点自测 3 已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 那么 a+b 的值是( ) 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2

解析

依题意 b=0,且 2a=-(a-1), 1 1 ∴b=0 且 a= ,则 a+b= . 3 3 例 2.《名师一号》P20 特色专题 典例(1) k-2x 若函数 f(x)= 在定义域上为奇函数, 则实数 k=___. 1+k· 2x

【规范解答】 ∴f(-x)+f(x) k-2x =

k-2-x k· 2x - 1 ∵f(-x)= = , 1+k· 2-x 2x+k
x

+k + +k· 2x

k· 2x- x +k

+k· 2x
11

k2- 22x+ = . x +k· 2x +k 由 f(-x)+f(x)=0 可得 k2=1,∴k=± 1.

注意:本例易忽视函数 f(x)的定义域, 直接通过计算 f(0)=0 得 k=1. 注意: 1、利用函数奇偶性的定义:

f ? x ? 与 f ? ? x ? 的关系,

也可以用定义的等价形式: , f ( x) ? f (? x) ? 0 (对数型函数用)

f ( x) ? ?1(指数型函数用) f (? x )
2、利用特殊值 f (a) 与 f (?a) 的关系 得到关于待求参数的方程(组)求得参数 再利用奇偶性的定义证明 切记:若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条件
练习:(补充) 1 、已知 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为
2

12

[a ? 1,2a] .则 a ?

,b ?

解:函数是偶函数,所以定义域关于原点对称. ∴ a ? 1 ? ?2a ? a ?
1 ,b ? 0 3

2、设函数 f(x)=

?x+1??x+a? 为奇函数,则 a=__ x

分析:∵f(x)为奇函数,定义域为{x|x∈R 且 x≠0}, 故对 ? x∈R 且 x≠0 有 f(-x)=-f(x), 从而可取某个特殊值(例如 x=1)求解 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1), ∴a=-1. 须检验! 法二:由定义求解 对? x∈R 且 x≠0 有 f(-x)=-f(x)恒成立 答案:-1 3.定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x ) ? 则常数 m ? ____,

n ? _____。

x?m , x ? nx ? 1
2

13

答案: m ? 0 ; n ? 0 . 3、已知函数奇偶性,求解析式 例 1. 《名师一号》P20 变式思考 2(2) 已 知 函 数 y ? f ( x) 在 R 是 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x2 ? x ,则 f ( x) 的解析式为________

?? x 2 ? x, x ? 0 ? 答案: f ( x ) ? ?0, x ? 0 ? x 2 ? x, x ? 0 ?

例 2.(补充) ?1? 设 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,若 f(x)-g(x)=?2?x, ? ? 比较 f(1)、g(0)、g(-2)的大小________.

分析:奇偶性讨论的就是 f(-x)与 f(x)的关系,如果 题目中涉及 x 与-x 的函数值之间的关系,一般考虑用奇
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偶性解决.如果告诉了函数的奇偶性,应从 f(-x)=± f(x) 入手. 解析:∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). ?1? ∴f(-x)-g(-x)=?2?-x,即-f(x)-g(x)=2x. ? ?
x ? ?f?x?-g?x?=2- ∴? ,∴ x ? ?-f?x?-g?x?=2

? ? 2 +2 g ? x ? =- ? 2
2-x-2x f?x?= 2
x

-x

3 17 ∴f(1)=- ,g(0)=-1,g(-2)=- , 4 8 ∴g(-2)<g(0)<f(1). 注意: 已知函数的奇偶性注意利用 f ? x ? 与 f ? ? x ? 的关系 计时双基练 P220 培优 3 (三)抽象函数奇偶性 例 1. (补充)若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 则函数 F ( x ) ? A. x 轴对称 C.原点对称

f ( x ) ? f ( x ) 的图象关于( ) B. y 轴对称
D.以上均不对
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答案:B 注意: 抽象函数奇偶性应立足定义, 即从考虑

f ? x ? 与 f ? ? x ? 的关系入手

例 2. (补充) 定义在 R 上的函数 y=f(x), 对任意实数 x1、x2 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), 判断函数 y=f(x)的奇偶性,并证明.

解析:令 x1=x2=0 得,f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 令 x1=x,x2=-x 得,f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)+f(x)=0,∴f(x)是奇函数. 注意:(补充) 抽象函数奇偶性、单调性判断(证明)均立足定义 1、抽象函数奇偶性判断(证明) 赋值法,从考虑

f ? x ? 与 f ? ? x ? 的关系入手

2、抽象函数的单调性判断(证明) 赋值法,在指定区间内任取 x1 ? x2 ,
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从考虑 f ( x1 )、f ( x2 ) 的大小关系入手 3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质 或寻找思路,但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的 一般函数进行推理 抽象函数关系式 相应的模型函数 f ( x) ? kx f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y )
f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1)

x f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y )
f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1)
f ( x) ? cos x

f ( x ? y) ?

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

f ( x) ? x n f ( x) ? tan x

练习:(补充) 1、已知函数 f(x),当 x、y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)如果 x>0 时,f(x)<0,并且 f(1)=-2,
17

1

试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 解析:(1)证明:∵函数定义域为 R, ∴在 f(x+y)=f(x)+f(y)中令 y=-x 得, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解:设 x1<x2,且 x1、x2∈R. 则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0. 即 f(x)在 R 上单调递减. 从而 f(x)在[-2,6]上为减函数. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. ∵f(1)=-2,∴f(2)=f(1)+f(1)=-1, ∴f(-2)=-f(2)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 2、已知函数 y=f(x)对任意 x、y∈R,均有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- (1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最值.
18

1

2 . 3

解析:(1)f(x)在 R 上是单调递减函数 证明如下: 令 x=y=0,∴f(0)=0,令 y=-x 可得: f(-x)=-f(x), 在 R 上任取 x1、x2 且 x1<x2,则 x2-x1>0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). 又∵x>0 时,f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即 f(x2)<f(x1). 由定义可知 f(x)在 R 上为单调递减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大,f(3)最小. f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1) =3× =-2. ∴f(-3)=-f(3)=2. 即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最小值为-2. (四)函数的周期性 例 1.《名师一号》P19

2 3

对点自测 5

? 3? 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f?x+2?,且 ? ? f(1)=2,则 f(2 014)=________.
19

? 3? ∵f(x)=-f?x+2?, ? ? ?? 3? 3? ? 3? x+ ?+ ?=-f?x+ ?=f(x). ∴f(x+3)=f?? 2 ? 2? ? 2? ?? ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. 则 f(2 014)=f(671× 3+1)=f(1)=2. 解析 (五)函数奇偶性、单调性、周期性的综合应用 例 1. (补充) 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈(-∞, f?x2?-f?x1? 0](x1≠x2),有 >0.则 f(-2),f(1),f(3)从小到大 x2-x1 的顺序是________.

解析: 由

f?x2?-f?x1? >0 知 f(x)在(-∞, 0]上单调递增, x2-x1

又 f(x)是偶函数, 故 f(x)在(0,+∞]上单调递减, ∵3>2>1>0,∴f(3)<f(2)<f(1).
20

又 f(x)为偶函数,∴f(3)<f(-2)<f(1). 注意: (1)函数单调性的等价形式 f?x2?-f?x1? >0(或 (x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0) x2-x1 等价于 f(x)单调递增 f?x2?-f?x1? <0(或 (x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0) x2-x1 等价于 f(x)单调递减 (2)关于原点对称的两个区间上, 奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反

例 2.《名师一号》P19 高频考点 例 2(2) (2014· 新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上 单调递减, f(2) = 0. 若 f(x - 1)>0 ,则 x 的取值范围是 ________.

因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=f(x)=f(|x|), 故不等式 f(x-1)>0 可化为 f(|x-1|)>0. 因为 f(x)在[0,+∞)上单调递减,且 f(2)=0, 所以|x-1|<2,即-2<x-1<2,解得-1<x<3.
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所以 x 的取值范围是(-1,3).

注意:(补充) (1)解含函数记号“f”的不等式(抽象函数不等式), 一般都是利用函数的单调性. (2)关于原点对称的两个区间上, 奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反, 提到奇偶性,通常要分类讨论. (3)注意函数定义域对 x 的限制. (4) f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) 温故知新 P23 第 5 题 (2013 天津)已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间

?0, ?? ? 上单调递增,若实数 a 满足
2

f (log2 x) ? f (log 1 x) ? 2 f ?1? ,则实数 a 的取值范围是

答案:

?1 ? ,2 ? ? 2 ? ?

练习:
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1、函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是 1 增函数,若 f(1)=0,求不等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2 1 解析:f(1)=0,不等式可转化为 f[x(x- )]<f(1), 2 1 ∵f(x)在(0,+∞)上递增,∴0<x(x- )<1, 2 1+ 17 1- 17 1 ∴ <x< 或 <x<0. 2 4 4 又因为 f(x)是奇函数,它在关于原点对称的两个区间 上的单调性相同,且 f(-1)=-f(1)=0, 1 于是得 f[x(x- )]<f(-1), 2 1 即有 x(x- )<-1,∴x∈?. 2 ∴原不等式的解集是 1+ 17 1- 17 1 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4 变式:(补充) 函数 f ( x)( x ? 0) 是偶函数, 且当 x ? ? 0, ?? ? 时是增函数,

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若 f (1) ? 0 ,求不等式 f ? x ? x ?

? ? ? ?

1 ?? ? ? 0 的解集。 2 ?? ?

答案: ? x

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ? ? ?x? ? 4 4 ? ? ? ?

2、 已知 f(x)(x∈R)为奇函数, f(2)=1, f(x+2)=f(x)+f(2), 则 f(3)等于( ) 1 3 A. B. 1 C. D.2 2 2

[答案]

C

[分析] 为求 f(3)先求 f(1), 为求 f(1)先在 f(x+2)=f(x) +f(2)中,令 x=-1,利用 f(x)为奇函数,可解出 f(1). [解析] 令 x=-1 得 f(1)=f(-1)+f(2)=f(2)-f(1), 1 1 3 ∴f(1)= f(2)= ,∴f(3)=f(1)+f(2)= . 2 2 2 [点评] 解答此类题目,一般先看给出的值和待求值 之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系, 赋值时同时
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兼顾奇偶性或周期性的运用. (4 月 30 日,15 班讲至此) 例 3.《名师一号》P20 高频考点 例 3) 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图 象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)的值.

(1)证明:函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)是 以 4 为周期的周期函数. (2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又 f(x)的图象关于 x =1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2]. (3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1, 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(2 012)+f(2 013) =f(0)+f(1)=1.
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注意:(补充) (1)若 f (a ? x) ? f (a ? x) (或 f ( x) ? f (2a ? x) ) 则函数 f ( x ) 关于 x ? a 对称。 若 f ( x) ? ? f (2a ? x) 则函数 f ( x ) 关于点 推广:若函数

? a, 0 ? 对称。
a?b 。 2

f ( x) 恒满足 f (a ? x) ? f (b ? x)

则 f ( x ) 图象的对称轴为 x ?

(2)已知奇函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称, 若偶函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称,

则 f ? x ? 是周期函数,且 4a 为其中的一个周期 则 f ? x ? 是周期函数,且 2a 为其中的一个周期

温故知新 P14 第 6、10 题

练习:(补充) 1、 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1
对称,并且当 x ? ? 0,1 时, f ? x ? ? x ? 1
2

?

26

则 f (462) ? _____

[答案] 0 [解析] f ? x ? 是奇函数故 f ? ? x ? ? ? f ? x ?

f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1对称故 f ? 2 ? x ? ? f ? x ? f ?2 ? x? ? f ??x? ? ? f ? x?
f ?4 ? x? ? f ? x?

f (462) ? f (115 ? 4 ? 2) ? f ? 2 ? f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 故 f ? 2? ? f ? 0? ? 0
2、设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? _____

1 对称, 2

答案:0 3、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒 有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;
27

(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011).

分析:由 f(x+2)=-f(x)可得 f(x+4)与 f(x)关系,由 f(x)为奇函数及在 (0,2]上解析式可求 f(x)在 [- 2,0]上的解 析式,进而可得 f(x)在[2,4]上的解析式. 解析:(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = … =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011)=0.
28

例 4. (补充) 温故知新 P13 第 2 题 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 且 f(2)=0, 则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内的解最少有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个

解析:∵f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数, ∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,f(-1)=-f(1), ∴f(1)=0,f(4)=f(1)=0, 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0, ∴f(3)=f(0)=0, ∵f(1.5)=f(1.5-3)=f(-1.5)=-f(1.5), ∴f(1.5)=0,从而 f(4.5)=0, ∴f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=f(5)=0. 答案:D

练习:
f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f(2)=0,
29

则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数至少是( A.1 B.4 C.3 D.2

)

[答案]

B

[解析] 由 f(2)=0,得 f(5)=0, ∴f(-2)=0,f(-5)=0. ∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0, 故 f(x)=0 在区间(0,6)内的解至少有 1,2,4,5 四个. 练习.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 的图象关于直线

? (2)证明 f ? x ? 是周期函数,并且求出它的一个周期; (3)当 x ? ? 4,5? 时,求 f ? x ? 。
(1)当 x ? ?1,0 ? 时,求 f ? x ? 的表达式; 答案: (1)当 x ? ?1,0 ? 时 f ( x ) ? ? x ? 1
2

x ? 1 对称,并且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x ) ? x 2 ? 1

(2) f ? x ? 是周期为 4 的周期函数

?

(3)当 x ? ? 4,5 时 f ( x ) ? ? x ? 4 ? ? 1
2

?

30

例 5. (补充) 已知二次函数 f ( x) 有两个零点 0 和 ?2 , 且 f ( x) 最小值是
?1 ,函数 g ? x ? 与 f ( x) 的图象关于原点对称;

(1)求 f ( x) 和 g ? x ? 的解析式; 求实数 ? 的取值范围。

(2)若 h( x) ? f ? x ? ? ? g ? x ? 在区间 ??1,1? 上是增函数,

解: (1) 依题意 设 f ? x ? ? ax( x ? 2) ? ax2 ? 2ax (a ? 0)
f ( x ) 图 象 的 对 称 轴 是 x ? ?1

? f ? ?1? ? ?1



a ? 2a ? ?1 得 a ? 1 ? f ? x ? ? x2 ? 2 x

由函数 g ? x ? 的图象与 f ? x ? 的图象关于原点对称
? g ( x) ? ? f (? x) ? ?x2 ? 2x (2)由(1)得 h( x) ? x2 ? 2x ? ? (? x2 ? 2x) ? (? ? 1) x2 ? 2(1 ? ?) x ①当 ? ? ?1 时, h( x) ? 4 x 满足在区间 [?1,1] 上是增函数 ? ?1 ②当 ? ? ?1 时, h( x) 图象对称轴是 x ? ? ?1 ? ?1 ? 1 ,又 ? ? ?1 解得 ? ? ?1 则 ? ?1
31

③当 ? ? ?1 时,同理 则需

解得 ?1 ? ? ? 0 综上满足条件的实数 ? 的取值范围是 (??, 0] 注意:(补充) 两个不同函数图像之间的对称问题----已知函数 y ? f ( x) 解析式, 且 y ? f ( x) 图像与

? ?1 ? ?1 ? ?1

又 ? ? ?1

y ? g ( x) 图像关于直线 x ? a (或点 ? a, b ? )对称, 求 y ? g ( x) 解析式,则运用解析几何中
求轨迹方程的动点转移法求解即可 练习: 已知函数 f ( x) 的图象与 h( x ) ? x ? 关于点 A ? 0,1? 对称; (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? f ? x ? ?

1 ? 2 的图象 x

a 且 g ( x) 在区间 ? 0, 2? 上的值 x

不小于 6 ,求实数 a 的取值范围。

32

答案: f ? x ? ? x ?

1 x

课后作业 一、 计时双基练 P219 基础 1-10 课本 P18-19 变式思考 1、2; 二、 计时双基练 P220 基础 11、培优 1-4 课本 P20 变式思考 3;对应训练 1、2 复习 迎接期中考试 预习 第二章 第六节 指数与指数函数

33


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