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山东省临沂市2011届高三第一次教学质量检测考试(数学理)


山东省临沂市 2011 届高三第一次教学质量检测考试 (数学理) 数学理)
本试卷分为选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 2.非选择题必须用 0.5 毫米的黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上, 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知 M = {x || x ? 3 |< 4}, N = x{ A. φ B.{0}

x ?1 < 0, x ∈ Z }, 则M I N = x+2
C.{2}





D. {x | 2 ≤ x ≤ 7}

2.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 则表示复 数

z 的点是( 1? i



A.E B.F C.G D.H 3.某空间几何体的三视图如图,则该几何体 的体积是 ( ) A.3 B.2 C.

3 2

D.1

4.已知直线 ax ? by ? 2 = 0 与曲线 y = x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 A.

a 为( b



1 3

B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

1 3
( )

5.在样本的频率分布直方图中,一共有 n 个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形 面积之和的 A.32 6.设 n =

1 ,且样本容量为 240,则中间一组的频数是 5
B.30 C.40 D.60



π

2 0

1 4 sin xdx, 则二项式 ( x ? ) n 的展开式的常数项是 x





A.12 B.6 C.4 D.1 7.一个盒子中装有 4 张卡片,上面分别写着如下四个定义域为 R 的函数:

f1 ( x) = x3 , f 2 ( x) =| x |, f3 ( x) = sin x, f 4 ( x) = cos x 现从盒子中任取 2 张卡片, 将卡片上的函数相乘
得到一个新函数,所得函数为奇函数的概率是 A. ( D. )

1 6

B.

1 3

C.

2 3

5 6

本卷第 1 页(共 10 页)_

8.已知三条不重合的直线 m、n、l 两个不重合的平面 α , β ,有下列命题 ①若 l / /α , m / / β , 且α / / β , 则l / / m ② 若l ⊥ α , m ⊥

β , 且l / / m, 则α / / β

③若 m ? α , n ? α , m / / β , n / / β , 则α / / β ④若 α ⊥

β , α I β = m, n ? β , n ⊥ m, 则n ⊥ α
( D.1 ( ) )

其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 9.已知 0 < a < b ,且 a + b = 1 ,则下列不等式中,正确的是 A. log 2 a > 0 B. 2
a ?b

1 < 2

C. 2

a b + b a

<

1 2

D. log 2 a + log 2 b < ?2

?log 1 x, x > 0 ? 2 10.设函数 f ( x) = ? 若f (m) < f (? m) ,则实数 m 的取值范围是 ( ?log 2 (? x), x < 0 ?
A. (?1, 0) U (1, 0) C. ( ?1, 0) U (1, +∞) D. {?∞, ?1} U {0,1} B. {?∞, ?1} U {1, +∞}



11.设 P 是椭圆

x2 y2 + = 1 上一点,M、N 分别是两圆: ( x + 4) 2 + y 2 = 1 和 ( x ? 4) 2 + y 3 = 1 上的点, 25 8
( D.10,12 )

则 | PM | + | PN | 的最小值、最大值的分别为 A.9,12 B.8,11 C.8,12

12.设函数 f ( x ) 在 R 上满足 f (2 ? x ) = f (2 + x), f (7 ? x ) = f (7 + x ) ,且在闭区间[0,7]上,只有

f (1) = f (3) = 0 ,则方程 f ( x) = 0 在闭区间[—2011,2011]上的根的个数为
( A.802 B.803 C.804 D.805 )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在答题纸给定的横线上。 13.双曲线的渐近线方程为 y = ± 离心率是 。

3 x ,则双曲线的 4 1 , 2

14.某算法的程序框图如右图所示,若输出结果为 则输入的实数 x 的值是 。

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? y ≤ x, ? 15.若不等式组 ? y ≥ ? x, 表示的平面区域 M , x 2 + y 2 ≤ 1 所表示的平面的区域为 N,现随机向区域 ?2 x ? y ? 4 ≤ 0 ?
M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为 。 16.给出以下四个命题,所有真命题的序号为 。

①从总体中抽取的样本 ( x1 , y 2 ), ( x 2 , y2 ),L , ( xn , yn ), 若记 x =

1 n 1 n ∑ xi , y = n ∑ yi ,则回归直线 n i =1 i =1

y = bx + a 必过点( x, y )
②将函数 y = cos 2 x 的图象向右平移

π
3

个单位,得到函数 y = sin(2 x ?

π
6

) 的图象;

③已知数列 {an } ,那么“对任意的 n ∈ N * ,点 Pn ( n, aa ) 都在直线 y = 2 x + 1 上”是{ an }为等差数 列的“充分不必要条件” ④命题“若 {x} ≥ 2 ,则 x ≥ 2或x ≤ ?2 ”的否命题是“若 {x} ≥ 2, 则 ? 2 < x < 2 ” 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC中, a, b, c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2a sin A = (2b ? c ) sin B + (2c ? b) sin C. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B + sin C = 18. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且 a1 + a2 = 2 ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn = an + log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
2

3 ,试判断 ?ABC 的形状。

?1 ?1 1 ? 1 ? + ? , a3 + a4 = 32 ? + ? . ? a1 a2 ? ? a3 a4 ?

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD,D1A=D1D= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形, 其中 BC//AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2, O 为 AD 中点。 (Ⅰ)求证:A1O//平面 AB1C; (Ⅱ)求锐二面角 A—C1D1—C 的余弦值。

20. (本小题满分 12 分)投掷四枚不同的金属硬币 A、B、C、D,假定 A、B 两枚正面向上的概率均为

1 , 2

另两枚 C、D 为非均匀硬币,正面向上的概率均为 a(0<a<1) ,把这四枚硬币各投掷一次,设 ξ 表示正
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面向上的枚数。 (1)若 A、B 出现一正一反与 C、D 出现两正的概率相等,求 a 的值; (2)求 ξ 的分布列及数学期望(用 a 表示) ; (3)若出现 2 枚硬币正面向上的概率最大,试求 a 的取值范围。 21. (本小题满分 12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距 离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于点 P,与曲线 C 相交于 A、B 两点的直线,且 | OP |= 1 问:是否存在上述直线 l 使 AP ? PB = 1 成立?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明 理由。 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = ( x + ax + a )e , 其中x ∈ R, a 是实常数,e 是自然对数的底数。
2 ?x

uuu r

uuu uuu r r

(1)确定 a 的值,使 f ( x) 的极小值为 0; (2)证明:当且仅当 a = 5 时, f ( x ) 的极大值为 5; (3)讨论关于 x 的方程 f ( x ) = f ′( x ) = 2 xe
?x

1 + ( x ≠ 0) 的实数根的个数。 x

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