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最新-2018高二数学 第1章综合测试 北师大版必修5 精品

第一章综合测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题有 4 个选项,其中有且仅有一个是正确 的,把正确的选项填在答题卡中) 1.在等差数列{an}中,a3=-6,a7=a5+4,则 a1 等于( A.-10 [答案] A [解析] 设公差为 d,∴a7-a5=2d=4, ∴d=2,又 a3=a1+2d, ∴-6=a1+4,∴a1=-10. 2.在等比数列{an}中,a4,a12 是方程 x +3x+1=0 的两根,则 a8 等于( A.1 [答案] B [解析] 由题意得,a4+a12=-3<0, B.-1 C.±1
2

) C.2 D.10

B.-2

) D.不能确定

a4·a12=1>0,∴a4<0,a12<0.
∴a8<0,又∵a 8=a4·a12=1, ∴a8=-1. 3.(2018·江西理,5)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10= ( A.1 [答案] A [解析] 本题主要考查数列的求和公式和赋值法. 令 m=n=1,则 S1+S1=S2,即 a1+a1=a1+a2,所以 a2=a1=1; 令 n=1,m=2,所以 S1+S2=S3.即 a1+a1+a2=a1+a2+a3,则 a3=a1=a2=1,…,故 a10=1,故选 A. 4.在等比数列{an}中,an<an+1,且 a2a11=6,a4+a9=5,则 B.9 C.10 D.55 )
2

a6 等于( a11



A.6 [答案] B

B.

2 3

C.

1 6

D.

3 2

[解析] ∵a4·a9=a2a11=6, 又∵a4+a9=5,且 an<an+1, ∴a4=2,a9=3, ∴q =
5

a9 3 = , a4 2



a6 1 2 = = . a11 q 5 3
1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)


5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=

A.1 [答案] B [解析] ∵an= ∴S5=a1+a2+…+a5 =(1-

B.

5 6

C.

1 6

D.

1 30

1 1 1 = ? , n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 )+( - )+…+( - ) 5 6 2 2 3

=1-

1 5 = . 6 6
) B.16 C.9 D.16 或 9

6.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边形的边数 n 等于 ( A.12 [答案] C [解析] 由题意得,120°n+ 化简整理,得 n -25n+144=0, 解得 n=9 或 16. 当 n=16 时,最大角为 120°+(16-1)×5° =195°>180°,不合题意. ∴n≠16. 故选 C. 7.设{an}是公差为-2 的等差数列,若 a1+a4+a7+…+a97=50,则 a3+a6+a9+…+a99 的值为( A.-78 [答案] B [解析] ∵a1+a4+a7+…+a97=50,d=-2, ∴a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d) =(a1+a4+a7+…+a97)+33×2d =50+33×(-4)=-82. 8.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=x·3 n-1
2

1 n(n-1)×5°=180°(n-2), 2



B.-82

C.-148

D.-182

1 ,则 x 的值为( 6
1 2



A.

1 3

B.-

1 3

C.

D.-

1 2

[答案] C [解析] a1=S1=x-

1 , 6

a2=S2-S1=3x-

1 1 -x+ =2x, 6 6

a3=S3-S2=9x-

1 1 -3x+ =6x, 6 6 1 ), 6

∵{an}为等比数列, ∴a 2=a1a3,∴4x =6x(x2 2

解得 x=

1 . 2
) B.30 C.45 D.60

9.(2018·浙江省金华十校)等差数列{an}中,Sn 是{an}前 n 项和,已知 S6=2,S9=5,则 S15=( A.15 [答案] A

S6=2
[解析] 解法 1:由等差数列的求和公式及 知,

S9=5
6a1+

6?5 d=2 2
,∴

a1=-

1 27


9a1+

9?8 d=5 2 15 ? 14 d=15. 2

d=

4 27

∴S15=15a1+

解法 2:由等差数列性质知,{

Sn S S 5 2 2 }成等差数列,设其公差为 D,则 9 - 6 =3D= ? ? , 9 6 9 n 9 6

∴D=

2 , 27



S15 S9 5 2 ? ? 6D ? ? 6 ? ? 1 ,∴S15=15. 15 9 9 27 1 a ? a5 a3,a1 成等差数列,则 4 的值为( 2 a3 ? a4
C. )

10.各项都是正数的等比数列{an}中,a2,

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

1? 5 2

D.

5 ?1 5 ?1 或 2 2

[答案] B [解析] 设{an}的公比为 q, ∵a1+a2=a3, ∴a1+a1q=a1q ,即 q -q-1=0, ∴q= ∴
2 2

1? 5 1? 5 ,又∵an>0,∴q>0,∴q= , 2 2

a4 ? a5 1? 5 =q= .故选 B. 2 a3 ? a4

11.(2018· 四川理, 8)数列{an}的首项为 3, {bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N+).若 b3=-2, b10=12,则 a8( = A.0 [答案] B [解析] 本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项,由 b3=-2,b10=12,∴d=2 B.3 C.8 D.11



b1=-6,∴bn=2n-8,
∵bn=an+1-an ∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =b7+b6+b5+b4+b3+b2+b1+a1 =

7(?6 ? 2 ? 7 ? 8) +3=3. 2 S1 ? S 2 ? ? ? S n 为 A 的“凯森和” , n
) D.990

12.(2018·杭州模拟)有限数列 A:a1,a2,…,an,Sn 为其前 n 项和,定义

若有 99 项的数列 a1,a2,…,a99 的 “凯森和” 为 1000, 则有 100 项的数列 1, a1,a2,…,a99 的 “凯森和” 为 ( A.1001 [答案] B [解析] 由定义知 B.991 C.999

S1 ? S 2 ? ? ? S99 =1000 99

∴数列 1,a1,a2,…,a99 的“凯森和”为

1 ? (1 ? S1 ) ? (1 ? S 2 ) ? ? ? (1 ? S99 ) 1000
=

100 ? S1 ? S2 ? ? ? S99 100 ? 99 ? 100 = =991. 100 100
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)

13.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,a5=-2,a8=16,则 S6 等于 [答案]

.

21 8
3 3

[解析] ∵{an}为等比数列,∴a8=a5q ,∴q =
4

16 =-8,∴q=-2. ?2

又 a5=a1q ,∴a1=

?2 1 =- , 8 16

1 ?[ 1 ? (?2)6] 21 a1 (1 ? q ) 8 ∴S6= = = . 8 1? q 1? 2
6

14.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9= [答案] 15

.

[解析] 设等差数列公差为 d,则 S3=3a1+

3? 2 ×d=3a1+3d=3, 2

a1+d=1,
又 S6=6a1+



6?5 ×d=6a1+15d=24, 2


即 2a1+5d=8.

联立①②两式得 a1=-1,d=2, 故 a9=a1+8d=-1+8×2=15. 15.在等差数列{an}中,Sn 为它的前 n 项和,若 a1>0,S16>0,S17<0, 则当 n= 大. [答案] 8 时,Sn 最

S16=
[解析] ∵

16(a1 ? a16 ) =8(a8+a9)>0 2
,

S17=

17 ( a1 ? a17 ) =17a9<0 2
2

∴a8>0 而 a1>0,∴数列{an}是一个前 8 项均为正,从第 9 项起为负值的等差数列,从而 n=8 时,Sn 最大. 16.设{an}为公比 q>1 的等比数列,若 a2018 和 a2018 是方程 4x -8x+3=0 的两根,则 a2018+a2018= . [答案] 18 [解析] ∵a2018 和 a2018 是方程 4x -8x+3=0 的两根,故有
2

a2018=

1 2


a2018=

3 2
(舍),∴q=3.

a2018=

3 2

a2018=

1 2

a2018+a2018=a2018(q+q2)=

3 2 ×(3+3 )=18. 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

a1+2d=5
[解析] (1)由题意得 ,解得

a1=9
.

a1+9d=-9
∴an=a1+(n-1)d=9-2(n-1)=11-2n. (2)由(1)知,Sn=na1+

d=-2

n( n ? 1) d 2

=10n-n =-(n-5) +25, ∴当 n=5 时,Sn 取最大值. 18.(本小题满分 12 分)(2018·重庆文,16)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. [分析] (1)问设出公比 q,由已知建立有关 q 的方程,求出公比 q,写出通项公式. (2)问用分组求和,先求 an 的和,再求 bn 的和,然后相加得 Sn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,由 a1=2,a3=a2+4 得 2q =2q+4 即 q -q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍),∴q=2 ∴an=a1·q =2·2 =2
n-1 n-1 n
2 2

2

2

(2)数列 bn=1+2(n-1)=2n-1 ∴Sn=
n+1

n( n ? 1) (1 ? 2n ) +n×1+ ×2 2 1? 2
2

=2 -2+n -n+n=2 +n -2. [点评] 此题考查等差、等比数列的通项公式,及求和公式,考查方程的思想,注意等比数列的公比为 正数,此题属基础保分题. 19.(本小题满分 12 分)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由题设知公差 d≠0,由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列,得 解得 d=1 或 d=0(舍去). 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2 =2 ,由等比数列前 n 项和公式,得 Sn=2+2 +2 +…+2 =
an n
2 3

n+1

2

an

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

n

2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2. 1? 2

20.(本小题满分 12 分)(2018·山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn=

1 (n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. a ?1
2 n

[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,

a1+2d=7
由题意,得 2a1+10d=26 ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1. ,解得

a1=3
.

d=2

Sn=na1+
=3n+

1 n(n-1)d 2

1 n(n-1)×2=n2+2n. 2

(2)由(1)知 an=2n+1 ∴bn=

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ) 2 a ? 1 (2n ? 1) ? 1 4 n(n ? 1) 4 n n ? 1
2 n

∴Tn= =

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1

1 1 n . (1 ? )? 4 n ? 1 4(n ? 1)

21.(本小题满分 12 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,数列{bn}中,b1=1,且点(bn+1,bn)在直线 y=x-1 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)若 cn=an+3,求数列{bncn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)∵an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3), ∴

an ?1 ? 3 =2, an ? 3
n-1

a1+3=4,

∴{an+3}是首项为 4,公比为 2 的等比数列, ∴an+3=4·2 =2 , ∴an=2 -3. (2)∵(bn+1,bn)在直线 y=x-1 上,∴bn=bn+1-1,即 bn+1-bn=1,又 b1=1, ∴数列{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴bn=n. (3)cn=an+3=2 -3+3=2 , ∴bncn=n·2 .
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1

Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,
2Sn=1×2 +2×2 +…+(n-1)·2
2 3 4 3 4

n+1 n+1

+n·2 ,
n+2

n+2

两式相减,得-Sn=2 +2 +2 +…+2 -n·2 =

4(1 ? 2n ) ? n ? 2n ? 2 1? 2
n+2 n+2 n+2

=2 -4-n·2 , ∴Sn=(n-1)·2 +4. 22.(本小题满分 14 分)如图所示,某市 2018 年新建住房 400 万平方米,其中 250 万平方米是中低价房, 预计今年后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房 的面积比上一年增加 50 万平方米,那么到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2018 年累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? [分析] 本题主要考查构建数学模型解决实际问题,通过阅读之后,找出题目中的相关信息,构建等差 数列和等比数列,利用等差数列和等比数列中的相关知识求解. [解析] (1)设中低价房面积构成数列{an} ,由题意知: {an}是等差数列,其中 a1=250,d=50 ∴Sn=250n+
2

n(n ? 1) ? 50 ? 25n 2 ? 225 n 2

令 25n +225n≥4750 即 n +9n-190≥0 解得 n≤-19 或 n≥10 ∴n≥10 故到 2018 年底,该市历年所建中低价房累计面积首次不少于 4750 万 m . (2)设新建住房面积构成等比数列{bn}. 由题意知{bn}为等比数列,b1=400,q=1.18. ∴bn=400×(1.18) 令 an>0.85bn 即 250+(n-1)×50>400×(1.18) ×0.85 ∴满足不等式的最小正整数 n=6. 故到 2018 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.
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2

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