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上海市华东师范大学2014-2015学年高一上学期入学数学试卷 Word版含解析


上海市华东师范大学 2014-2015 学年高一上学期入学数学试卷
一.选择题以下每小题为 10 分,满分 150 分 1. (10 分)有一种测验可以随时在网上报名.若某人用过这种测验的概率是 0.5,且他连续 两次参加测验,则其中有一次通过的概率是() A. B. C. D.

2. (10 分)已知 a 为正整数,且关于 x 的方程 lg(4﹣2x )=lg(a﹣x)+1 有实根,则 a 等于() A.1 B.1 或 2 C. 2 D. 2 或 3

2

3. (10 分) 已知等比数列, a1=2, 公比 q=2, 其前 n 项和为 Sn, 前 n 项积为 Tn, 那么, 等于() A.0 B.1 C. D. 2

4. (10 分)设 F1,F2 是双曲线 为 9,则 P 到 F2 的距离等于() A.0 B.17



=1 的焦点,P 是双曲线上一点.若 P 到 F1 的距离

C.

D. 2

5. (10 分)下列函数中,既是奇函数又在上是单调递减的函数是() A.f(x)=sinx B. f(x)=﹣|x﹣1| C.f(x)= (a +a ) (a>0,a≠1)
2 x
﹣x

D.f(x)=ln

6. (10 分)已知 c 是实数,二次方程 x +x+c=0 有两个复数根 a,b.若|a﹣b|=3,则 c=() A. B. C. ﹣2 D. 2

7. (10 分)函数 f(x)=a +loga(x+1)在上的最大值与最小值的和为 a,则 a 的值为() A. B. C. 2 D. 4

x

8. (10 分)由动点 P 向圆 x ﹣y =2 引两条切线 PA,PB,切点分别是 A,B.若∠APB=60°, 则动点 P 的轨迹是() A.椭圆 B.圆 C. 双曲线 D. 抛物线

2

2

9. (10 分)如果(1﹣2 ) 的展开式中第三项等于 288,则 A. B. C.

x

9

( + 1

+…+ D. 2

)等于()

10. (10 分) 过三角形 OAB 的重心 G 的直线 L 分别与边 OA, OB 交于点 P, Q, 已知 倍的 , =n 倍的 ,则() B.m+n= C. + =

=m

A.m+n=

D. + =3

11. (10 分)已知{an}为等差数列,a2+a3+a4=30,a5+a6=40,则公差 d 等于() A.2 B.2 C. 4 D. 5 12. (10 分)已知集合 M={x|sinx>cosx,0<x<π}和 N={x|sin2x>cos2x,0<x<π},则 M 与 N 的交集为() A.( ( ,π) B.( , ) C. ( , ) D.

,π)

13. (10 分)已知 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=() A.0 B.1 C.
2

3

D. 5

14. (10 分)一个酒杯的截面是抛物线的一部分,其方程 x =2y(0≤y≤20) ,杯内放入一个 球,要使 球触及杯底部,则球的半径的取值范围为() A.(0,1] ] B.(0, ] C. (0, ] D. (0,

15. (10 分)棱长为 1 的正方体各顶点都在同一个球面上,则该球面的表面积等于() A.2π B. C. 3π D. 4π

上海市华东师范大学 2014-2015 学年高一上学期入学数 学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题以下每小题为 10 分,满分 150 分 1. (10 分)有一种测验可以随时在网上报名.若某人用过这种测验的概率是 0.5,且他连续 两次参加测验,则其中有一次通过的概率是() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答: p=

相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 概率与统计. 利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式求解. 解:他连续两次参加测验,其中有一次通过的概率: = .

故选:C. 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要注意 n 次独立重复试验中事件 A 恰好 发生 k 次的概率计算公式的合理运用. 2. (10 分)已知 a 为正整数,且关于 x 的方程 lg(4﹣2x )=lg(a﹣x)+1 有实根,则 a 等于() A.1 B.1 或 2 C. 2 D. 2 或 3 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依 题意,可得 x ﹣5x+(5a﹣2)=0,由△ ≥0 即可求得 a 的值. 2 解答: 解:∵lg(4﹣2x )=lg(a﹣x)+1, 2 ∴lg(4﹣2x )=lg10(a﹣x) ,
2 2


2


2

由 4﹣2x =10(a﹣x) ,得 x ﹣5x+(5a﹣2)=0, 依题意,△ =25﹣4(5a﹣2)=32﹣20a≥0, ∴a≤ ,又 a 为正整数, ∴a=1. 故选:A. 点评: 本题考查根的存在性及根的个数判断,着重考查等价转化思想与解方程的能力, 属于中档题.

3. (10 分) 已知等比数列, a1=2, 公比 q=2, 其前 n 项和为 Sn, 前 n 项积为 Tn, 那么, 等于()

A.0

B.1

C.

D. 2

考点: 极限及其运算. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由已知求出 Sn,Tn,代入 得答案.

解答: 解:由已知得,







=

=

=



故选:A. 点评: 本题考查了等比数列的前 n 项和,考查了数列的极限,是基础题.

4. (10 分)设 F1,F2 是双曲线 为 9,则 P 到 F2 的距离等于() A.0 B.17



=1 的焦点,P 是双曲线上一点.若 P 到 F1 的距离

C.

D. 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a=12,已知|PF1|=9,进而可求|PF2|. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1 得:a=4,

由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||=2a=8,|PF1|=9, ∴|PF2|=1(不合,舍去)或|PF2|=17, 故|PF2|=17. 故选:B. 点评: 本题主要考查了双曲线的性质,运用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a,是解题的关 键,属基础题. 5. (10 分)下列函数中,既是奇函数又在上是单调递减的函数是() A.f(x)=sinx B. f(x)=﹣|x﹣1|

C.f(x)= (a +a ) (a>0,a≠1)

x

﹣x

D.f(x)=ln

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题是选择题,可采用逐一检验的方法,只要不满足其中一条就能说明不正确. 解答: 解:f(x)=sinx 是奇函数,但其在区间上单调递增,故 A 错; ∵f(x)=﹣|x﹣1|,∴f(﹣x)=﹣|﹣x﹣1|≠﹣f( x) ,∴f(x)=﹣|x+1|不是奇函数,∴故 B 错; ∵a>1 时,y=a 在上单调递增,y=a
x
﹣x

上单调递减,∴f(x)= (a +a ) (a>0,a≠1)

x

﹣x

在上单调递增,故 C 错; 故选:D. 点评: 题综合考查了函数的奇偶性与单调性,本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对 选项逐一检验的方法,本类题是函数这一部分的常见好题. 6. (10 分)已知 c 是实数,二次方程 x +x+c=0 有两个复数根 a,b.若|a﹣b|=3,则 c=() A. B. C. ﹣2 D. 2
2

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出. 解答: 解:∵二次方程 x +x+c=0 有两个复数根 a,b. ∴a+b=﹣1,ab=c. ∵|a﹣b|=3, ∴3= ∴3= , ,
2

解得 c=﹣2. 故选:C. 点评: 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,属于基础题. 7. (10 分)函 数 f(x)=a +loga(x+1)在上的最大值与最小值的和为 a,则 a 的值为() A. B. C. 2 D. 4
x

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: f(x)在上,当 a>1 时是增函数;当 0<a<1 时是减函数;由单调性分析可得 f (0)+f(1)=a,即可解得 a= . 解答: 解:f(x)是上的增函数或减函数,

故 f(0)+f(1)=a,即 1+a+loga2=a?loga2=﹣1, ∴2=a ?a= . 故选 B 点评: 可分类讨论做.因为单调性不变,也可合二为一做. 8. (10 分)由动点 P 向圆 x ﹣y =2 引两条切线 PA,PB,切点分别是 A,B.若∠APB=60°, 则动点 P 的轨迹是() A.椭圆 B.圆 C. 双曲线 D. 抛物线 考点: 专题: 分析: 解答: 轨迹方程. 计算题;直线与圆. 由已知不难发现,动点 P 到原点的距离等于已知圆的半径的 2 倍,可求结果. 解:由题设,在直角△ OPA 中,OP 为圆半径 OA 的 2 倍,即 OP=2,
2 2 2 2
﹣1

∴点 P 的轨迹方程为 x +y =4. 故选:B. 点评: 本题考查圆的切线方程,圆的定义,考查转化思想,是基础题. 9. (10 分)如果(1﹣2 ) 的展开式中第三项等于 288,则 A. B. C.
x 9

( + 1

+…+ D. 2

)等于()

考点: 数列的极限. 专题: 计算题;二项式定理. 分 析: 由(1﹣2 ) 的展开式中第三项等于 288 求出 x,然后利用等比数列的求和公式求 和,则 ( +
x x 9

+… +
9

)可求. ,解得 .

解答: 解: (1﹣2 ) 的展开式中第三项为

∴ +

+…+

=





( +

+…+

)=



故选:D. 点评: 本题考查了二项式定理,考查了等比数列的前 n 项和,考查了数列极限的求法, 是中档题.

10. (10 分) 过三角形 OAB 的重心 G 的直线 L 分别与边 OA, OB 交于点 P, Q, 已知 倍的 , =n 倍的 ,则()

=m

A.m+n=

B.m+n=

C.

+ =

D. + =3

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据三角形重心的性质,得 式,再根据已知条件得 关于向量 = 、 + ,进而得到 关于向量 、 的表达

的表达式,利用向量共线的条件列式,化简整理

可得本题的答案. 解答: 解:∵G 是△ OAB 的重心, ∴点 G 在△ OAB 的中线 OC 上,且 ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ = ( = × ( =m = = , ﹣ ﹣ + + =n =n ) , )= , ﹣m , ﹣ , 、 是共线向量 + , = ,

=(m﹣ )

∴(m﹣ )×n=(﹣m)×(﹣ ) , 整理得 + =3, 故选:D

点评: 本题以三角形的重心为载体,求满足条件的一个等式,着重考查了三角形重心的 性质和平面向量基本定理等知识,属于基础题. 11. (10 分)已知{an}为等差数列,a2+a3+a4=30,a5+a6=40,则公差 d 等于() A. 2 B. 2 C. 4 D. 5 考点: 等差数列的通项公式.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质结合 a2+a3+a4=30 求得 a3,代入 a5+a6=40 求得 d 的值. 解答: 解:在等差数列{an}中, ∵a2+a3+a4=30,∴3a3=30,a3=10, 又 a5+a6=40,∴2a3+5d=40, 即 5d=20,d=4. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础题. 12. (10 分)已知集合 M={x|sinx>cosx,0<x<π}和 N={x|sin2x>cos2x,0<x<π},则 M 与 N 的交集为() A.( ( ,π) B.( , ) C. ( , ) D.

,π)

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 M 中 sinx>cosx,0<x< π,得到 由 N 中 sin2x>cos2x,0<2x<2π,得到 解得: <x< , ,即 N=( ) . , ) , <2x< <x<π,即 M=( , ,π) ,

则 M∩N=(

故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 13. (10 分)已知 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=() A.0 B.1 C. 3 D. 5

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(x)=f(1﹣x) ,从而 f(﹣x)=f(1+x)=﹣f(x)f(2+x)=﹣f(1+x) =f(x) ,进而 f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2)=f(4)=0,由此能求出结 果. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,f( +x)=f( ﹣x) ,

∴f(x)=f(1﹣x) , ∴f(﹣x)=f(1+x)=﹣f(x) ,f(2+x)=﹣f(1+x)=f(x) , ∴f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2)=f(4)=0, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0, 故答案为:0. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运 用. 14. (10 分)一个酒杯的截面是抛物线 的一部分,其方程 x =2y(0≤y≤20) ,杯内放入一个 球,要使球触及杯底部,则球的半径的取值范围为() A.(0,1] ] B.(0, ] C. (0, ] D. (0,
2

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设小球圆心(0,y0) 抛物线上点(x,y) ,求得点到圆心距离平方 的表达式,进 2 而根据若 r 最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底 需 1﹣y0≥0 进而求得 r 的范围. 解答: 解:设小球圆心(0,y0) 2 2 2 2 2 2 抛物线上点 (x, y) 点到圆心距离平方 r =x + (y﹣y0) =2y+ (y﹣y0) =y +2 (1﹣y0) y+y0 , 2 若 r 最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底, 所以 1﹣y0≥0, 所以 0<y0≤1, 所以 0<r≤1. 故选:A. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题 的能力. 15. (10 分)棱长为 1 的正方体各顶点都在同一个球面上,则该球面的表面积等于() A.2π B. C. 3π D. 4π

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上,球的直径是正方体的对角线, 知道棱长为 1 的正方体的对角线是 ,做出半径,利用圆的表面积公式得到结果. 解答: 解:∵棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上, ∴球的直径是正方体的对角线, ∴球的半径是 r= , =3π

∴球的表面积是 4×π× 故选:C.

点评: 本题考查球内接多面体,注意在立体几何中,球与正方体的关系有三种,这是其 中一种,还有球和正方体的面相切,球和正方体的棱相切,注意把三个题目进行比较.


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